第2节　导数与函数的单调性

1/1第2节导数与函数的单调性1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.3.会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等.知识梳理1.函数的单调性与导数的关系条件恒有结论函数y＝f（x）在区间（a，b）内可导f'（x）＞0f（x）在区间（a，b）内单调递增f'（x）＜0f（x）在区间（a，b）内单调递减f'（x）＝0f（x）在区间（a，b）内是常数函数2.利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数的定义域；第2步，求出导数f'（x）的零点；第3步，用f'（x）的零点将f（x）的定义域划分为若干个区间，列表给出f'（x）在各区间上的正负，由此得出函数y＝f（x）在定义域内的单调性.提醒：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则.1.若函数f（x）在（a，b）内单调递增，则x∈（a，b）时，f'（x）≥0恒成立；若函数f（x）在（a，b）内单调递减，则x∈（a，b）时，f'（x）≤0恒成立.2.若函数f（x）在（a，b）内存在单调递增区间，则x∈（a，b）时，f'（x）＞0有解；若函数f（x）在（a，b）内存在单调递减区间，则x∈（a，b）时，f'（x）＜0有解.诊断自测1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）函数f（x）在（a，b）内单调递增，那么一定有f'（x）＞0.（×）（2）如果f（x）在某个区间内恒有f'（x）＝0，则f（x）在此区间内没有单调性.（√）（3）若在（a，b）内f'（x）≤0且f'（x）＝0的根有有限个，则f（x）在（a，b）内单调递减.（√）（4）若函数f（x）在定义域上都有f'（x）＞0，则f（x）在定义域上一定是增函数.（×）2.函数y＝f（x）的导函数f'（x）的图象如图，则下列判断正确的是（）A.f（x）在（－3，1）内单调递增B.f（x）在（1，3）内单调递减C.f（x）在（2，4）内单调递减D.f（x）在（3，＋∞）上单调递增解析：C当x∈（－3，0）时，f'（x）＜0，故f（x）在（－3，0）内单调递减；当x∈（0，2）时，f'（x）＞0，故f（x）在（0，2）内单调递增；当x∈（2，4）时，f'（x）＜0，故f（x）在（2，4）内单调递减；当x∈（4，＋∞）时，f'（x）＞0，故f（x）在（4，＋∞）上单调递增，显然C正确，其他选项错误.3.函数f（x）＝cosx－x在（0，π）内的单调性为（）A.先增后减 B.先减后增C.单调递增 D.单调递减解析：D因为在区间（0，π）内，f'（x）＝－sinx－1＜0恒成立，所以f（x）在（0，π）内单调递减.故选D.4.函数f（x）＝xlnx的单调递减区间为（）A.（0，1e） B.（1eC.（1，＋∞） D.（0，1）解析：A函数f（x）的定义域是（0，＋∞），由已知f'（x）＝lnx＋1，由f'（x）＝lnx＋1＜0得0＜x＜1e，∴单调递减区间为（0，1e5.若函数f（x）＝x3＋ax2－ax在R上单调递增，则实数a的取值范围是[－3，0].解析：f'（x）＝3x2＋2ax－a≥0在R上恒成立，所以Δ＝4a2＋12a≤0，解得－3≤a≤0.函数的单调性（定向精析突破）考向1不含参函数的单调性（1）已知f'（x）是f（x）的导函数，若f'（x）的图象如图，则f（x）的图象可能是（C）解析：（1）由f'（x）的图象知，当x∈（－∞，0）时，f'（x）＞0，∴f（x）单调递增；当x∈（0，x1）时，f'（x）＜0，∴f（x）单调递减；当x∈（x1，＋∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）单调递增.故选C.（2）若函数f（x）＝lnx+1ex，则函数f（x）的单调递减区间为（解析：（2）f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝1x－lnx－1ex，令φ（x）＝1x－lnx－1（x＞0），则φ'（x）＝－1x2－1x＜0，∴φ（x）在（0，＋∞）上单调递减，且φ（1）＝0，∴当x∈（0，1）时，φ（x）＞0，f'（x）＞0，当x∈（1，＋∞）时，φ（x）＜0，f'（x）＜0，∴f（x）在（利用导数求函数单调区间的方法（1）当导函数不等式可解时，解导函数不等式，求出单调区间；（2）当方程f'（x）＝0可解时，解出方程的实根，确定各区间f'（x）的符号，从而确定单调区间；（3）若导函数对应的方程、不等式都不可解，根据f'（x）的结构特征，利用图象与性质确定f'（x）的符号，从而确定单调区间.提醒：若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用“∪”及“或”连接，只能用“，”“和”隔开.考向2含参函数的单调性（2023·新高考Ⅰ卷19题节选）已知函数f（x）＝a（ex＋a）－x，讨论f（x）的单调性.解：由题意知，f（x）的定义域为（－∞，＋∞），f'（x）＝aex－1.当a≤0时，易知f'（x）＜0，则f（x）在（－∞，＋∞）上是减函数.当a＞0时，令f'（x）＝0，得x＝ln1a当x∈（－∞，ln1a）时，f'（x）＜0；当x∈（ln1a，＋∞）时，f'（x）＞所以f（x）在（－∞，ln1a）上单调递减，在（ln1a，＋∞）综上可知，当a≤0时，f（x）在（－∞，＋∞）上是减函数；当a＞0时，f（x）在（－∞，ln1a）上单调递减，在（ln1a，＋∞）研究含参函数单调性的思路（1）研究含参函数的单调性，要根据参数对不等式解集的影响进行分类讨论，如：开口方向、是否有解、解是否在定义域的取值范围内、解之间的大小关系等；（2）划分函数的单调区间时，还要确定导数为0的点和函数的间断点.训练1（1）设f（x）＝2x2－x3，则f（x）的单调递减区间是（）A.（0，43） B.（43C.（－∞，0） D.（－∞，0）和（43，＋∞解析：D由f（x）＝2x2－x3，得f'（x）＝4x－3x2＝x（4－3x），令f'（x）＝0，得x＝0或x＝43，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如表所示x（－∞，0）0（0，434（43，＋∞f'（x）－0＋0－f（x）单调递减0单调递增32单调递减所以f（x）的单调递减区间是（－∞，0）和（43，＋∞）（2）（2026·广东湛江模拟节选）已知函数f（x）＝－x2＋（a2＋a）lnx＋（1－a）x，若a≥－13，试讨论f（x）的单调性解：由f（x）＝－x2＋（a2＋a）lnx＋（1－a）x，x＞0，得f'（x）＝－2x＋a2＋ax＋1－a＝令（x＋a）（2x－a－1）＝0，得x＝－a或x＝a+1若a≥0，则－a≤0，a+12＞当x∈（0，a+12）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（a+12，＋∞）时，f'（x）＜0，f（若－13＜a＜0，则a+12＞－a＞0，当x∈（0，－a）和（a+12，＋∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（－a，a+12）时，f'（x）＞0若a＝－13，则a+12＝－a＝13，f'（x）≤0在x∈（0，＋∞）上恒成立，f（综上所述，当a≥0时，f（x）的单调递增区间为（0，a+12），单调递减区间为（a+1当－13＜a＜0时，f（x）的单调递增区间为（－a，a+12），单调递减区间为（0，－a）和（a当a＝－13时，f（x）的单调递减区间为（0，＋∞），无单调递增区间函数单调性的简单应用（定向精析突破）考向1比较大小（1）已知函数f（x）＝xsinx，x∈R，则f（π5），f（1），f（－π3）的大小关系为（AA.f（－π3）＞f（1）＞f（πB.f（1）＞f（－π3）＞f（πC.f（π5）＞f（1）＞f（－πD.f（－π3）＞f（π5）＞f（解析：由题知f（－x）＝（－x）·sin（－x）＝xsinx＝f（x），则函数f（x）是偶函数，故f（－π3）＝f（π3）.又当x∈（0，π2）时，f'（x）＝sinx＋xcosx＞0，所以函数f（x）在（0，π2）上单调递增，所以f（π5）＜f（1）＜f（π3），即f（－π3）＞f（1（2）已知a＝4ln4，b＝3ln3，c＝e，则下列大小关系正确的是（CA.a＜b＜c B.a＜c＜bC.c＜b＜a D.c＜a＜b解析：由题，c＝elne.令f（x）＝xlnx（x≥e），则f'（x）＝lnx－1ln2x，因为x≥e，所以f'（x）≥0，所以f（x）＝xlnx在[e，＋∞）上单调递增，又a＝f（4），b＝f（3），c＝f（e），e＜由函数的单调性比较大小的方法（1）若已知函数解析式比较函数值的大小，首先要判断已知函数的单调性，然后根据单调性比较大小；（2）若是比较数值的大小，其关键是利用题目条件中的不等关系构造辅助函数，并根据构造的辅助函数的单调性比较大小.考向2解不等式（1）已知函数f（x）＝2lnx＋1x－x，则不等式f（2x－1）＜f（1－x）的解集为（B）A.（0，23） B.（23，C.（12，1） D.（12，解析：由题意可知f（x）的定义域为（0，＋∞）.因为f'（x）＝2x－1x2－1＝－（1x－1）2≤0恒成立，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递减.由f（2x－1）＜f（1－x），可得2x－1>0，1－x>0，2（2）（2026·山东齐鲁名校大联考）已知y＝exf（x）是定义在R上的偶函数，且当x＞0时，f（x）＋f'（x）＞0，则满足ex－2f（2x－3）＞f（x－1）的x的取值范围是（－∞，43）∪（2，＋∞）解析：设g（x）＝exf（x），则g'（x）＝ex（f（x）＋f'（x））.由当x＞0时，f（x）＋f'（x）＞0，得ex（f（x）＋f'（x））＞0，即g'（x）＞0，故g（x）在区间（0，＋∞）上单调递增.又ex－2f（2x－3）＞f（x－1），所以e2x－3f（2x－3）＞ex－1f（x－1），即g（2x－3）＞g（x－1），因为g（x）为R上的偶函数，所以g（｜2x－3｜）＞g（｜x－1｜），即｜2x－3｜＞｜x－1｜，即（2x－3）2＞（x－1）2，所以（3x－4）（x－2）＞0，解得x＞2或x＜43利用函数的单调性解不等式的关键（1）会构造函数，能根据所给的不等式的特征，结合已知函数的特征，合理地构造新函数；（2）会判断函数的性质，即借用奇偶函数的定义，判断函数的奇偶性，借用导数，判断函数的单调性；（3）会转化，利用函数的单调性，得未知数所满足的不等式（组），通过解不等式（组），得到未知数的取值范围.考向3已知函数单调性求参数（1）（2026·广东佛山模拟）若函数f（x）＝ex＋ax－12x2存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（C）A.（－1，＋∞） B.（0，＋∞）C.（－∞，－1） D.（－∞，0）解析：函数f（x）的定义域是R，f'（x）＝ex＋a－x.若f（x）存在单调递减区间，则a＜（x－ex）max.令g（x）＝x－ex，则g'（x）＝1－ex，令g'（x）＞0，解得x＜0，令g'（x）＜0，解得x＞0，故g（x）在（－∞，0）上单调递增，在（0，＋∞）上单调递减，故g（x）max＝g（0）＝－1，故a＜－1.故选C.（2）〔一题多解〕（2023·新高考Ⅱ卷6题）已知函数f（x）＝aex－lnx在区间（1，2）上单调递增，则实数a的最小值为（C）A.e2 B.eC.e－1 D.e－2解析：法一由题意，得f'（x）＝aex－1x，∴f'（x）＝aex－1x≥0在区间（1，2）上恒成立，即a≥1xex在区间（1，2）上恒成立.设函数g（x）＝1xex，x∈（1，2），则g'（x）＝－1+xx2ex＜0，∴函数g（x）在区间（1，2）上单调递减.∴∀x∈（1，2），g（x）＜g（1）＝1e＝e－1.∴a法二∵函数f（x）＝aex－lnx，∴f'（x）＝aex－1x.∵函数f（x）＝aex－lnx在区间（1，2）上单调递增，∴f'（x）≥0在（1，2）恒成立，即aex－1x≥0在（1，2）恒成立，易知a＞0，则0＜1a≤xex在（1，2）恒成立.设g（x）＝xex，则g'（x）＝（x＋1）ex.当x∈（1，2）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，∴在（1，2）上，g（x）＞g（1）＝e，∴1a≤e，即a≥1e＝e－根据函数单调性求参数的一般思路（1）由函数f（x）在区间[a，b]上单调递增（减）可知f'（x）≥0（f'（x）≤0）在区间[a，b]上恒成立，列出不等式；（2）利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题；（3）对等号单独检验，检验参数的取值能否使f'（x）在整个区间恒等于0.若f'（x）恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有f'（x）＝0，则参数可取这个值.提醒：当已知函数在某区间上不单调时，则转化为关于导函数的方程在该区间上有解问题.训练2（1）若函数y＝f（x）满足xf'（x）＞－f（x）在R上恒成立，且a＞b，则（B）A.af（b）＞bf（a） B.af（a）＞bf（b）C.af（a）＜bf（b） D.af（b）＜bf（a）解析：（1）由xf'（x）＞－f（x），设g（x）＝xf（x），则g'（x）＝xf'（x）＋f（x）＞0，所以g（x）在R上是增函数，又a＞b，所以g（a）＞g（b），即af（a）＞bf（b），故选B.（2）设函数f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）＝ex－cosx，则不等式f（2x－1）＋f（x－2）＞0的解集为（D）A.（－∞，1） B.（－∞，13C.（13，＋∞） D.（1解析：根据题意，当x≥0时，f（x）＝ex－cosx，此时有f'（x）＝ex＋sinx＞0，则f（x）在[0，＋∞）上单调递增，又f（x）为R上的奇函数，故f（x）在R上为增函数.f（2x－1）＋f（x－2）＞0⇒f（2x－1）＞－f（x－2）⇒f（2x－1）＞f（2－x）⇒2x－1＞2－x，解得x＞1，即不等式的解集为（1，＋∞）.（3）（2026·四川模拟预测）已知函数f（x）＝x2＋（x－2）ex－2x＋5在区间（3m－1，m＋2）上不单调，则m的取值范围是（－1，23）解析：由题意知f'（x）＝（x－1）ex＋2x－2＝（ex＋2）·（x－1），因为f（x）在区间（3m－1，m＋2）上不单调，即y＝f'（x）在区间（3m－1，m＋2）上有变号零点，又ex＋2＞0，所以f'（x）＝0⇒x＝1，f'（x）＞0⇒x＞1，f'（x）＜0⇒x＜1，所以x＝1在区间（3m－1，m＋2）内，所以3m－1<1，m+2>1，解得－1＜m＜23，即m常见组合函数的图象在导数的应用中常用到以下函数，记住以下的函数图象对解题有事半功倍的效果.〔多选〕下列函数中，在区间（0，＋∞）上是先减后增函数的有（AD）A.y＝xlnxB.y＝lnxxC.y＝xexD.y解析：对于A，y'＝1＋lnx，当0＜x＜1e时，y'＜0，当x＞1e时，y'＞0，因此函数y＝xlnx在（0，1e）上单调递减，在（1e，＋∞）上单调递增，A符合；对于B，y'＝1－lnxx2，当0＜x＜e时，y'＞0，当x＞e时，y'＜0，因此函数y＝lnxx在（0，e）上单调递增，在（e，＋∞）上单调递减，B不符合；对于C，当x＞0时，y'＝（x＋1）ex＞0，函数y＝xex在（0，＋∞）上单调递增，C不符合；对于D，y'＝ex（x－1）x2，当0＜x＜1时，y'＜0，当x＞1时，y'＞0，因此函数y＝exx在（时间：60分钟，满分：92分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]1.函数f（x）＝xlnx＋1的单调递减区间是（）A.（－∞，1e） B.（1eC.（0，1e） D.（e解析：Cf（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝1＋lnx，所以在区间（0，1e）上f'（x）＜0，f（x）单调递减.故选C2.函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）的图象可能是（）解析：Df'（x）＞0的解集对应y＝f（x）的单调递增区间，f'（x）＜0的解集对应y＝f（x）的单调递减区间，验证只有D符合.3.关于x的不等式ex－lnx＞0的解集是（A.（0，1） B.（－∞，e）C.（e，＋∞） D.（0，e）解析：D令f（x）＝ex－lnx，则f（x）的定义域为（0，＋∞），由f'（x）＝－ex2－1x＜0，知f（x）＝ex－lnx在（0，＋∞）上单调递减，又f（e）＝0，所以不等式f（x）＞0的解集是（0，e），即原不等式的解集为（0，4.（2026·浙江金华调考）已知函数f（x）＝3x＋2cosx.若a＝f（32），b＝f（2），c＝f（log27），则a，b，c的大小关系是（A.a＜b＜c B.c＜b＜aC.b＜a＜c D.b＜c＜a解析：D由题意，得f'（x）＝3－2sinx.因为－1≤sinx≤1，所以f'（x）＞0恒成立，所以f（x）是增函数.因为2＞1，所以32＞3.又log24＜log27＜log28，即2＜log27＜3，所以2＜log27＜32，所以f（2）＜f（log27）＜f（32），即b＜c5.已知函数f（x）＝x3＋2x－sinx，若f（2a2）＋f（a－1）≤0，则实数a的取值范围为（）A.（－∞，－12］∪[1，＋∞）B.－C.（－∞，－1]∪12D.－解析：D函数f（x）＝x3＋2x－sinx的定义域为R，f（－x）＝（－x）3＋2（－x）－sin（－x）＝－f（x），故函数f（x）是奇函数.又f'（x）＝3x2＋2－cosx＞0恒成立，所以函数f（x）在R上单调递增，不等式f（2a2）＋f（a－1）≤0⇔f（2a2）≤－f（a－1），即f（2a2）≤f（－a＋1），于是2a2≤－a＋1，即2a2＋a－1≤0，解得－1≤a≤12，所以实数a的取值范围为－6.〔多选〕（2025·广东茂名一模）若f（x）＝－13x3＋12x2＋2x＋1是区间（m－1，m＋4）上的单调函数，则实数m的值可以是（A.－4 B.－3C.3 D.4解析：CD由题意，知f'（x）＝－x2＋x＋2＝－（x－2）（x＋1），令f'（x）＞0，解得－1＜x＜2，令f'（x）＜0，解得x＜－1或x＞2，所以f（x）在（－1，2）上单调递增，在（－∞，－1），（2，＋∞）上单调递减，若函数f（x）＝－13x3＋12x2＋2x＋1在区间（m－1，m＋4）上单调，则m＋4≤－1或m－1≥2或m－1≥－1，m+4≤2，解得m≤－5或m≥3或m∈⌀，即7.已知函数f（x）＝x33＋ax22＋ax＋1存在三个单调区间，则实数a的取值范围是（－∞，0解析：由函数f（x）＝x33＋ax22＋ax＋1，可得f'（x）＝x2＋ax＋a，由函数f（x）存在三个单调区间，可得f'（x）有两个不相等的实数根，则满足Δ＝a2－4a＞0，解得a＜0或a＞4，即实数a的取值范围是8.已知函数f（x）满足下列条件：①f（x）的导函数f'（x）为偶函数；②f（x）在区间（－∞，－2），（2，＋∞）上单调递增，则f（x）的一个解析式为f（x）＝13x3－4x（答案不唯一）.（答案不唯一解析：因为f（x）在区间（－∞，－2），（2，＋∞）上单调递增，所以当x∈（－∞，－2）∪（2，＋∞）时，f'（x）＞0.又f（x）的导函数f'（x）为偶函数，所以令f'（x）＝x2－4，满足题意，所以f（x）＝13x3－4x（答案不唯一9.（10分）（2026·江西吉安质检）已知函数f（x）＝3alnx－12x2－（a－3）x，试讨论f（x）的单调性解：由题意，f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝3ax－x－（a－3）＝－x2①若a≥0，则当0＜x＜3时，f'（x）＞0，当x＞3时，f'（x）＜0，∴f（x）在（0，3）上单调递增，在（3，＋∞）上单调递减；②若－3＜a＜0，由f'（x）＜0，得0＜x＜－a或x＞3，由f'（x）＞0，得－a＜x＜3，∴f（x）在（0，－a），（3，＋∞）上单调递减，在（－a，3）上单调递增；③若a＝－3，则f'（x）≤0恒成立，∴f（x）在（0，＋∞）上单调递减；④若a＜－3，由f'（x）＜0，得0＜x＜3或x＞－a，由f'（x）＞0，得3＜x＜－a，∴f（x）在（0，3），（－a，＋∞）上单调递减，在（3，－a）上单调递增.10.若函数h（x）＝lnx－12ax2－2x在[1，4]上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为（A.[－1，＋∞）B.（－1，＋∞）C.（－∞，－716］ D.（－∞，－7解析：D因为函数h（x）＝lnx－12ax2－2x在[1，4]上存在单调递增区间，所以存在x∈[1，4]，使h'（x）＝1x－ax－2＞0成立，即存在x∈[1，4]，使a＜1x2－2x成立，令G（x）＝1x2－2x，x∈[1，4]，变形得G（x）＝（1x－1）2－1，因为x∈[1，4]，所以1x∈［14，1］，所以当1x＝14，即x＝4时，G（x11.（2026·四川成都调研）已知函数f（x）＝ex－e－x－2x＋1，则不等式f（2x－3）＋f（x）＞2的解集为（）A.（－∞，－1） B.（－1，0）C.（0，1） D.（1，＋∞）解析：D令g（x）＝f（x）－1＝ex－e－x－2x，定义域为R，且g（－x）＝e－x－ex＋2x＝－g（x），所以g（x）为奇函数，f（2x－3）＋f（x）＞2变形为f（2x－3）－1＞1－f（x），即g（2x－3）＞－g（x）＝g（－x），g'（x）＝ex＋e－x－2≥2ex·e－x－2＝0，当且仅当ex＝e－x，即x＝0时，等号成立，所以g（x）在R上单调递增，所以2x－3＞－x，解得x＞112.〔多选〕已知函数f（x）与f'（x）的图象如图所示，则g（x）＝exf（A.在区间（0，1）上单调递增B.在区间（1，4）上单调递减C.在区间（1，43）D.在区间（43，4）解析：AC当x＝0或x＝2时，f（x）＝0，则函数g（x）＝exf（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，2）∪（2，＋∞），排除选项B、D；g'（x）＝ex[f（x）－f'(x)][f（x）]2，由图易得，当x∈（0，1）时，f（x）＞f'（x），即g'（x）＝ex[f（x）－f'(x)][f（x）]2＞0，所以函数g（x）＝exf（x）在（0，1）上单调递增，故选项A正确；又由图象得，当x∈（13.函数f（x）＝x3－ax2＋a，x≤0，2（2－a）x－解析：依题意，函数f（x）＝2（2－a）x－12在（0，＋∞）上单调递增，则2－a＞0，即a＜2；由f（x）＝x3－ax2＋a（x≤0），求导得f'（x）＝3x2－2ax.因为函数f（x）＝x3－ax2＋a在（－∞，0]上单调递增，所以3x2－2ax≥0在x∈（－∞，0]上恒成立，令3x2－2