第2节　同角三角函数的基本关系式与诱导公式

3/3第2节同角三角函数的基本关系式与诱导公式1.理解同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，sinαcosα＝tanα（α≠π2＋kπ，k2.掌握诱导公式，并会简单应用.同角三角函数的基本关系式1.平方关系：sin2α＋cos2α＝（α∈R）.2.商数关系：tanα＝（α≠kπ＋π2，k∈Z）提醒：平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠kπ＋π2（k∈Z3.同角三角函数关系式的常见变形（1）sin2α＝1－cos2α＝（1＋cosα）（1－cosα）；（2）cos2α＝1－sin2α＝（1＋sinα）（1－sinα）；（3）（sinα±cosα）2＝1±2sinαcosα；（4）sinα＝tanαcosα（α≠π2＋kπ，k∈Z（5）sin2α＝sin2αsin2α＋cos2角度1知一求二（2026·陕西榆林模拟）已知cosθ＝－45，θ∈（0，π），则tanθ＝（）A.35 B.C.－35 D.－听课记录利用sin2α＋cos2α＝1可实现角α的正弦、余弦的互化，对于sinα，cosα，tanα三个量可知一求二.（角α象限不确定时需分类讨论）角度2弦切互化（1）已知tanα＝－34，且α为第二象限角，则cosα＝（）A.－45B.45 C.－35（2）若sin2α＋cos2α＝－12，α∈π2，3π4，则听课记录利用sinαcosα＝tanα可实现角α的弦切互化，当分式中分子与分母是关于sinα，cosα的齐次式时，往往转化为关于tan角度3“和（差）”“积”转换〔多选〕已知θ∈（0，π），sinθ＋cosθ＝15，则（）A.θ∈（π2，π） B.cosθ＝－C.tanθ＝－34 D.sinθ－cosθ＝听课记录正弦、余弦“sinα±cosα，sinαcosα”的相互转化：sinα±cosα与sinαcosα通过平方关系联系到一起，即（sinα±cosα）2＝1±2sinαcosα，sinαcosα＝（sinα＋cosα）2－1练1（1）已知cosα1－sinα＝2，则tanA.43 B.34 C.－43 （2）若θ∈（0，π），tanθ＋1tanθ＝6，则sinθ＋cosθ＝（A.233 B.－233 C.±2三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α（k∈Z）π＋α－απ－απ2－π2＋正弦sinα－sinαsinαcosα余弦cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα提醒：诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限.“奇”“偶”指的是“k·π2＋α（k∈Z）”中的k是奇数还是偶数；“变”与“不变”是指函数的名称的变化；“符号看象限”指的是在“k·π2＋α（k∈Z）”中，将α看成锐角时，“k·π2＋α（k∈Z）结论：（1）sin（kπ＋α）＝（－1）ksinα（k∈Z）；（2）cos（kπ＋α）＝（－1）kcosα（k∈Z）.（1）化简cos（π＋A.－1 B.1 C.tanα D.－tanα（2）已知cos（π6－θ）＝a（｜a｜≤1），则cos（5π6＋θ）＋sin（2π3－听课记录1.利用诱导公式解题的一般思路（1）化绝对值大的角为锐角；（2）角中含有加减π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数2.常见的互余和互补的角（1）互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与（2）互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3练2（1）化简求值：tan5π4（2）已知A＝sin（kπ＋α）sinα＋cos（同角关系与诱导公式的综合应用（1）（2026·山东泰安模拟）已知sin（3π2＋α）＝32且π2＜α＜π，则tanαA.－3B.－3C.33 D.（2）（2026·上饶清源学校段考）已知0＜α＜π2，且sin（α－π3）＝14，则sin（5π6－A.－154 B.－C.154 D.听课记录利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.注意角的范围对三角函数符号的影响.练3（1）（2026·河北衡水模拟）已知sin（3π2－