2024年经济数学基础春季学期线性代数部分学习辅导

经济数学基础春季学期线性代数部分学习辅导

目前是经济数学基础本学期第三次复习辅导活动，欢迎大家参加！

前两次学习辅导活动给出了微分和积分两部分的学习要求，并结合最近几年

微分学与积分学部分的考试题，分析了这两部分的重点内容，应当说它们对您的

学习和复习会有很大的协助的，希望大家重视，并在期末要仔细复习.

本次活动的重要内容重要是对本课程第三部分线性代数提出学习要求，并结

合最近几年线性代数部分的考试题讲解该部分的重点内容，希望大家按照这些要

求和重点进行复习.只要大家按照本学期的三次教学活动的内容进行仔细地复

习，相信大家能顺利完成学习任务的.

线性代数部分学习要求

第1章行列式

1.了解某些基本概念

（1）了解〃阶行列式、余子式、代数余子式等概念；

（2）了解〃阶行列式性质，尤其是性质1、2、3、5.

2.掌握行列式的计算措施

化三角形法：利用行列式性质将行列式化成上（或下）三角行列式，其主对

角线元素的乘积即为行列式的值.

降阶法：利用性质将行列式的一行（列）化成只有一个（或两个）非零元素,

然后按这零元素最多的行（或列）展开化成低一阶行列式，直至降到三阶或二阶

行列式，最后直接计算.

3.懂得克拉默法则.

第2章矩阵

1.了解或了解某些基本概念

（1）了解矩阵和矩阵相等的概念；

例1（7月）设A,8均为〃阶矩阵，则等式（A—8/=A2—2A8+8?成立

的充足必要条件是.

因为（A—/）?=（A_3）（4_3）=A2_3A_A3+B2=A2_2A5+32

即AB=BA

应当填写：AB=BA

（2）了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角形矩阵和对称矩阵的定义

和性质；

例2（10月部队）若方阵A满足，则A是对称矩阵.

应当填写：4=与

例3（1月）如下结论或等式正确的是（）.

A.若A,B均为零矩阵，则有B.若且Aw。，则B二C

C.对角矩阵是对称矩阵D.若Aw。，8。。贝IJABH。

正确答案：C

102

例4（1月）设4=003,当〃=时，A是对称矩阵.

2a-1

应当填写：3

102-

（1月）9.设人=403,当即时，4是对称矩阵.

23-1

应当填写：（）

（3）了解矩阵可逆与逆矩阵概念，懂得矩阵可逆的条件；

例5（10月部队）设A,8均为n阶矩阵，&B）可逆,则矩阵方程A+BX=X

的解X二.

因为A+BX=X=>A=X-BX=（卜B）X,且（/-8）可逆，

因此（1-3）Z=X

应当填写：（/-B）%

例6（1月）设4是可逆矩阵，且A+4B=/，则47=（）.

A.I-BB.BC.1+8D.I+B

正确答案：D

（10月）4.设A是可逆矩阵，且A+48=/,则A1=（）.

A.AB.1+BC.I+BD.

因为A+AB=A（/+B）=/,且A是可逆矩阵,BPAA'=Z,因此

正确答案：C

例7*（7月）设A,8均为〃阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（）.

A.(A+BV1=Al+B-1B.(ABY1=A-lB-1

C.(AB)-1D.AB=BA

正确答案：C

（4）了解矩阵秩的概念;

20-3

例8（3月）设4二00-13则r：A)=).

24-1-3

A.4B.3C.2D.1

20-3120-3120-3

因为00-13->00-13->00-13

24-1-300-130000

正确答案：C

例9（10月）设A为〃阶可逆矩阵，则r（A）二.

应当填写：n

（5）了解矩阵初等行变换的概念.

2.纯熟掌握矩阵的加法、数乘、乘法和转置等运算，掌握这几个运算的有

关性质.

例10（1月）设A为3x4矩阵，8为5x2矩阵，且故意义，则C

是（）矩阵.

A.4x2B.2x4C.3x5D.5x3

正确答案：B

（10月部队）4.设A是〃〃矩阵，B是sxz矩阵，且ACTB故意义，则C是

（）矩阵.

A.sx〃B.nxsC.txmD.mxt

正确答案：A

例11（1月）设A为3x2矩阵，3为2x3矩阵，则下列运算中（）能够

进行.

A.ABB.A+BC.ABrD.BAr

正确答案：A

1-2

例12（1月）设矩阵A=，/为单位矩阵，则（LA）T=_____________.

_43_

-202

因为/一A二

01J|_43-4-2

0-4

应当填写:

_2-2_

例13（3月）若矩阵AI2],B=[2-3],贝IJAT6二

因为ATB=|Y|[2一时：3

-6

-23

应当填写:

4-6

3.纯熟掌握用矩阵的初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵、行简化阶梯形矩

阵，纯熟掌握用矩阵的初等行变换求矩阵的秩、逆矩阵.

例14（1月）则，•(A)=

11

因为A=-2-2即r(A)=1

33

应当填写：1

11-

--

22

21

11

--

川此W-22

21

100I

例17(1月)设矩阵0-1B=01,计算(Bl)-，

-1212

解：因为

2

3

[3

因此由公式得（8丁.4尸(-l)x3-2x(-l)[l

-151,求

例18（3月）设矩阵AB=

3-6-1

-25

解：因为A-I=

3-7

-9510510

[A-I1]=—>

3-701-211

03201321075

1-2110750132

75

因此，（A—/）1

32

75

且CA-iy'B=

32*]=[?]

1212

例19（3月，1月）设矩阵4=,B=,求解矩阵方程

3523

解：因为

1210I21010-52

—>

35010-1-31013-1

12-52

即

353

12121

因此，X=

23352

12

例20（10月部队）已知AX=8,其中A二35求X.

58

解：利用初等行变换得

230023100

3570100-2-310

581()000-2-5-501

1231001204-63

0123-100105-52

00-1I-2001-12

100-64-1

0105-52

001-12-1

-64-1

即A-15-52

-12-1

由矩阵乘法和转置运算得

-6413

X=A-'B=5-5-23

-1212

第3章线性方程组

1.了解线性方程组的有关概念：〃元线性方程组、线性方程组的矩阵表示、系

数矩阵、增广矩阵、一般解.

例21（1月）设齐次线性方程组4,5乂献=。，且/（A）=2,则方程组一般

解中的自由未知量个数为.

应当填写：3

1-123

例22（1月）齐次线性方程组AX=0的系数矩阵为A=010-2则

0000

此方程组的一般解为.

应当填写：（~二一2再一（孙口是自由未知量）

x2-2X4

例23（10月部队）设线性方程组AX=8的增广矩阵为

13214

0-112-6

01-1-26

02-2-412

则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为（）.

A.IB.2C.3D.4

正确答案：B

2.了解并纯熟掌握线性方程组的有解判定定理.

例24（10月部队）线性方程组AX=h有解的充足必要条件

是.

应当填写：秩4=秩4

例25（3月，10月）设线性方程组有无穷多解的充足必要条件

是（）.

A.r(A)=r(A)<mB.r(A)=r(A)<nC.in<nD.r(A)<n

正确答案：B

例26（10月部队）若〃元线性方程组AX=O满足秩（A）=〃，则该线性方程

组（）.

A.有无穷多解R.有唯一解

C.有非0解D.无解

正确答案：B

例27（7月）设线性方程组AX=b有唯一解，则对应的齐次方程组AX=O

（）.

A.无解B.有非零解C.只有零解D.解不能确定

正确答案：C

1116一

例28（10月）设线性方程组AX=b,且0-132,贝I」z

001+10

时，方程组有唯一解.

应当填写：工—1

例29（1月）线性方程组=1（）.

X1+工2=0

A.有唯一解B.只有。解C.有无穷多解D.无解

正确答案：D

a月）5.线性方程组｛二：1的解得情况是（

).

A.无解B.只有0解C.有唯一解D.有无穷多解

正确答案：A

例30（1月，1月）若线性方程组有非零解，则4=_______.

%1+/LV2=0

应当填写：-1

西+叼=2

例31（1月）讨论当a,b为何值时，线性方程组由+2与-与=（）无解，

2x）+工2~ax3=b

有唯一解，有无穷多解.

-10121012

解：因为12-10一02-2-2

21-ab01-a-2b-4

1012

r01-1-1

00-a-\h-3

因此当a=-1且/?w3时，方程组无解；

当初。工-1,方程组有唯一解；

当。=-1且。=3时，方程组有无穷多解.

3.纯熟掌握用消元法求线性方程组的一般解.

X,-x2+x4=2

例月）求线性方程组

32（7%i-2X2+x3+4x4=3的一般解.

211-3X2+七+5X4=5

解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形

1-1012]F1-1012

I-2143fo-1131

2-31550-1131

1-101210-1-21

0-1131T01-1-3-1

0000000000

故方程组的一般解为:

x=x+2X+1

]34（X3,X4是自由未知量）

x2=xy+3X4-1

2X1-5X2-3X3=-3

又如（10月部队）求线性方程组xy+2X2-6,q=3的一般解.

-2Xj+14X2-6与=12

该题的解留给大家自己练习.

X1+2X3-x4=0

例33（1月）求齐次线性方程组＜-X[+£-3X3+2%=0的一般解.

2X1-x2+5X3-3X4=0

解：因为系数矩阵

102102-102-1

A=-11-3201-1101-1

2-15-30-11-10000

$=-2X+x

因此一般解为434（其中%是自由未知量）

x1+x2+2X3-X4=0

（1月）14.求齐次线性方程组-3七+2匕=0的一般解・

2X1+x2+5X3-3X4=0

大家自己练习.

A,4-X24-X3=1

例34（3月）当义取何值时,有解？并求

线性方程组<2x