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文档简介

第20章

游戏、棋盘与操作§20.3

操作问题

操作问题是在给定操作规则后，探寻操作是否可行，需要操作多少次等这样一类问题。操作问题中，不变量（不变性质）或单调量的方法是非常有用的，然而寻找到这样的量需要一定的创造性思维，并不是显而易见的。在构造操作过程时，归纳法也是常用的。

注

在本题中，关注某一个最大值，它所在的位置就是一个单调量。在其相邻两次改变位置的中间操作，可使用归纳法控制次数。

例2

一叠有限张牌中一些牌面朝下，每步操作可任选首尾两张都是朝下的接连若干张（也可以只是朝下的一张），将它们整体翻转后放回原处（每张牌朝上变朝下，朝下变朝上，且次序倒序）。只要至少有一张朝下的牌，就必须继续操作。求证：无论如何操作，总在有限次操作后变为全部朝上。

注

本题中，多项式具有实部小于零的复根是操作的不变性质。

（2）

接下来，他将选取的珍珠串每串都切成两个珍珠串，长度之差不超过1。

反复进行上述步骤，直至在某个步骤结束后出现长度为1的白珍珠串。证明:此时一定存在一条长度大于1的黑珍珠串。

第20章

游戏、棋盘与操作§20.3

操作问题习题

20.3

8.有54张完全相同的卡片排列在圆周上，某些卡片正面朝上，另一些卡片背面朝上。允许做如下操作:如果相邻两张卡片都是正面朝上或都是背面朝上，则可以同时翻转它们。两种卡片的正反面分布如果可以通过有限次这样的操作从一种变为另一种，则认为这两种分布是等价的，圆周不能旋转。问一共有多少个不等价的分布。9.一个钱币收藏家有100个外表一样的硬币。收藏家知道其中有30枚是真的，70枚是假的，并且知道所有的真币质量相同，所有假币质量互不相同，且都比真币重。收藏家有一架天平可以用来比较个数相同的两组硬币质量的大小。为了确保可以找出一枚真硬币至少需要称量多少次?

12.在一幢房子的各个房间里共装有偶数盏灯，每间房间里至少有三盏灯。每盏灯恰与另外一盏灯（不一定在同一个房间中）有一个共同开关，开动这个开关同时改变这两盏灯的状态。证明:对任意灯的初始状态，一定可以开动若干个开关，使得每间房间中既有开着的灯也有关

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