第3节　等比数列及其前n项和

1/1第3节等比数列及其前n项和1.理解等比数列的概念和通项公式的意义.2.探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系.3.体会等比数列与指数函数的关系.4.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.知识梳理1.等比数列的有关概念（1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（显然q≠0），符号表示为an+1an＝q（n（2）等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.提醒：只有当两个数同号时，这两个数才有等比中项，且等比中项有两个，它们互为相反数.2.等比数列的有关公式（1）通项公式：an＝a1qn－1an＝am·qn－m；（2）前n项和公式：Sn＝na1，q=1提醒：（1）由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0；（2）在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误.3.等比数列的性质（1）项的性质①若k＋l＝m＋n（k，l，m，n∈N*），则有ak·al＝am·an；②相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.（2）和的性质①当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也是等比数列，其公比为qn；②当q＝1时，SnSm＝nm；当q≠±1时，③Sm＋n＝Sn＋qnSm＝Sm＋qmSn.1.等比数列的单调性（1）若a1>0，q>1或a1<0（2）若a1>0，0<q<1或a1（3）当q＝1时，{an}是常数列.2.等比数列的常用结论（1）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{1an}，{an2}，{an·bn}，{（2）已知数列{an}的通项公式是an＝cqn（c，q为常数且不为0），则数列{an}是等比数列；（3）数列{an}是等比数列⇔Sn＝Aqn－A（A，q为常数，且A≠0，q≠0，1）；（4）若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，T2nTn，T（5）若等比数列{an}的项数为2n，则S偶S奇＝q；若项数为2n＋1，则S诊断自测1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）等比数列{an}的公比q是一个常数，它可以是任意数.（×）（2）三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.（×）（3）数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列.（×）（4）数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝a（1－an（5）对于有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项之积.（√）2.（2026·山东齐鲁名校大联考模拟）已知正项等比数列{an}满足a1a9＝1256，a3＝14，则a4＝（A.14 B.C.116 D.解析：B因为正项等比数列{an}满足a1a9＝1256，所以a52＝1256，解得a5＝116，又a3＝14，所以a4＝a3.（2026·浙江杭州模拟）若等比数列{an}满足a1＋a2＝2，a1－a3＝3，则数列{an}的公比等于（）A.－12或13 B.12C.－12 D.解析：Ca1＋a2＝a1（1＋q）＝2，a1－a3＝a1（1－q2）＝a1（1＋q）（1－q）＝2（1－q）＝3，所以q＝－12，故选C4.已知x，2x＋2，3x＋3是一个等比数列的前三项，则x的值为（）A.－4B.－1 C.1D.4解析：A因为x，2x＋2，3x＋3是一个等比数列的前三项，所以（2x＋2）2＝x（3x＋3），即x2＋5x＋4＝0，解得x＝－1或x＝－4，当x＝－1时，数列的前三项为－1，0，0，不能构成等比数列，舍去.5.（2026·湖南常德联考）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a5＝8a2，若Sn＝31，则n＝5.解析：设等比数列{an}的公比为q，因为a1＝1，a5＝8a2，所以1×q4＝8×1×q，解得q＝2，又Sn＝1－2n1－2＝31，即2n＝32等比数列基本量的计算（基础自学过关）1.记Sn为等比数列{an}的前n项和，若8S6＝7S3，则{an}的公比为（）A.－1 B.－1C.12 D.解析：B设等比数列{an}的公比为q（q≠1）.由8S6＝7S3，得8×a1（1－q6）1－q＝7×a1（1－q3）1－2.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a2＝4，S8－S5S5－S2A.16 B.8C.6 D.2解析：D设等比数{an}的公比为q，由S8－S5S5－S2＝8，即a8＋a7＋a6a5＋a4＋a3＝q33.（2026·广西南宁调研）已知等比数列{an}满足a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，则a1＝（）A.1 B.2C.1或4 D.2或4解析：C由已知得a23＝a1a2a3＝8，∴a2＝2.设等比数列{an}的公比为q，∵a1＋a2＋a3＝7，∴a2q＋a2＋a2q＝7，即2q＋2q－5＝0，∴2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝12，当q＝2时，得a1＝1.当q＝12时4.〔多选〕（2025·全国Ⅱ卷9题）记Sn为等比数列{an}的前n项和，q为{an}的公比，q＞0.若S3＝7，a3＝1，则（）A.q＝12 B.a5＝C.S5＝8 D.an＋Sn＝8解析：ADA.根据S3＝a1＋a2＋a3＝a3q2＋a3q＋a3＝1q2＋1q＋1＝7，得6q2－q－1＝0，即（2q－1）（3q＋1）＝0，因为q＞0，所以q＝12，故A正确；B.a5＝a3q2＝1×（12）2＝14，故B错误；C.a1＝a3q2＝4，所以S5＝a1（1－q5）1－q＝4（1－132）1－12＝314，故C错误；D.an＝a1qn－1＝4×（12）n－1＝222n－1＝23－n，5.（2026·江苏苏州开学考试）设等比数列{an}的前n项和为Sn，且S22＝S66＝2，则a2026＝解析：因为S22＝S66＝2，所以S2＝4，S6＝12，设等比数列{an}的公比为q（q≠0），当q≠1时，S2＝a1（1－q2）1－q=4，S6＝a1（1－q6）1－q=12，整理得q4＋q2－2＝0，即（q2＋2）（q2－1）＝0，解得q＝1（舍）或q＝－1，当q＝－1时，S2＝a1＋a2＝a1＋a1q＝0≠4，所以q≠－1；当q＝1时，S2＝2等比数列基本量运算的解题策略（1）等比数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程（组）求解；（2）解方程组时常常利用“作商”消元法；（3）运用等比数列的前n项和公式时，一定要讨论公比q＝1的情形，否则会漏解或增解.等比数列的判定与证明（师生共研过关）（2026·重庆九校联考节选）已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③三个条件中选取两个作为已知条件，证明另外一个成立.①数列{an}是等比数列；②数列{Sn＋a1}是等比数列；③a2＝2a1.注：如果选择多个组合分别解答，则按第一个解答计分.解：选①②作条件证明③.因为数列{an}，{Sn＋a1}是等比数列，所以（S2＋a1）2＝（S1＋a1）（S3＋a1），即（2a1＋a2）2＝2a1（2a1＋a2＋a3），故4a12＋4a1a2＋a22＝4a12＋2a1所以a22＝2a1a又因为a2≠0，所以a2＝2a1.选①③作条件证明②.因为a2＝2a1，{an}是等比数列，所以数列{an}的公比q＝2，所以Sn＝a1（1－2n）1－即Sn＋a1＝a12n，因为Sn+1＋a1Sn＋a1＝所以{Sn＋a1}是等比数列.选②③作条件证明①.因为数列{Sn＋a1}是等比数列，且a2＝2a1，所以S2＋a1S1＋则数列{Sn＋a1}是以2a1为首项，2为公比的等比数列，所以Sn＋a1＝2a1·2n－1＝a1·2n，Sn＝a1·2n－a1，所以an＝Sn－Sn－1＝a1·2n－a1－（a1·2n－1－a1）＝a1·2n－1（n≥2），当n＝1时，a1＝a1，也符合上式，所以数列{an}是以a1为首项，2为公比的等比数列.提醒：（1）在解答题中证明一个数列为等比数列时，一般用定义法；（2）如果要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续的三项不成等比数列即可.训练1（1）〔多选〕设等比数列{an}的公比为q，则下列结论正确的是（AD）A.数列{anan＋1}是公比为q2的等比数列B.数列{an＋an＋1}是公比为q的等比数列C.数列{an－an＋1}是公比为q的等比数列D.数列1an是公比为解析：对于A，由an+1an+2anan+1＝q2知数列{anan＋1}是公比为q2的等比数列；对于B，当q＝－1时，数列{an＋an＋1}的项中有0，不是等比数列；对于C，当q＝1时，数列{an－an＋1}的项中有0，不是等比数列；对于D，1a（2）已知各项都为正数的数列{an}满足an＋2＝2an＋1＋3an.①证明：数列{an＋an＋1}为等比数列；②若a1＝12，a2＝32，求{an}解：①证明：因为an＋2＝2an＋1＋3an，所以an＋2＋an＋1＝3（an＋1＋an），因为{an}中各项均为正数，所以an＋1＋an＞0，所以an+2＋所以数列{an＋an＋1}是公比为3的等比数列.②由题意知an＋an＋1＝（a1＋a2）3n－1＝2×3n－1，因为an＋2＝2an＋1＋3an，所以an＋2－3an＋1＝－（an＋1－3an），因为a2＝3a1，所以a2－3a1＝0，所以an＋1－3an＝0，故an＋1＝3an，所以4an＝2×3n－1，an＝12×3n－1等比数列的性质及应用（定向精析突破）考向1项的性质（1）（2025·江苏南京、盐城一模）已知数列{an}为等比数列，公比为2，且a1＋a2＝3.若ak＋ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋9＝214－24，则正整数k的值是（B）A.4 B.5C.6 D.7解析：（1）因为数列{an}为等比数列，公比为2，且a1＋a2＝3，所以a1＋2a1＝3，解得a1＝1，故an＝2n－1，因为ak＋ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋9＝ak（1＋2＋22＋…＋29）＝2k－1·1－2101－2＝2k＋9－2k－1＝214－24，解得k（2）在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝125，a4a5＝－25，则1a1＋1a2＋1a3＋1a4＋1a5解析：（2）1a1＋1a2＋1a3＋1a4＋1a5＋1a6＋1a7＋1a8＝a1＋a8a1a8＋a2＋a7a2a7＋a3＋a6a3a6＋a4＋a5a4a5，∵在等比数列{an}中，a4a5＝－25，则a1a8＝a21.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度.2.在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注意设而不求思想的运用.考向2和的性质（1）已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝（B）A.1 B.2C.3 D.4解析：由题意，得S奇＋S偶＝－240，S奇－（2）〔一题多解〕（2025·全国Ⅰ卷13题）若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于2.解析：法一（基本量法）设等比数列为{an}，其公比为q，前n项和为Sn，因为等比数列{an}的各项均为正数，所以q＞0，又S4＝4，S8＝68，所以q≠1.由S4＝4得a1（1－q4）1－q＝4①，由S8＝68得a1（1－q8）1－q＝68②，②①得1－q81－q4＝法二（性质法）设等比数列为{an}，其公比为q，前n项和为Sn，因为等比数列{an}的各项均为正数，所以q＞0，因为S4＝4，S8＝68，所以S8－S4＝64，因为S4，S8－S4，S12－S8，…成等比数列，且公比为q4，所以q4＝S8－S4S4＝644＝16，又q＞恰当地使用等比数列前n项和的性质，如当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列等，可以避繁就简，运算简便的同时避免了对公比q的讨论.但要注意性质的使用条件，并结合题设寻找使用性质的切入点.考向3最值问题（1）已知数列{an}是等比数列，若a2＝1，a5＝18，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1（n∈N*）的最小值为（B）A.32 B.C.4 D.7解析：由已知得数列{an}的公比满足q3＝a5a2＝18，解得q＝12，∴a1＝2，a2＝1，a3＝12，故数列{anan＋1}是首项为2，公比为a2a3a1a2＝14的等比数列，∴a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝2［1－（14（2）〔多选〕（2026·江苏扬州模拟）设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1＞1，a6a7＞1，a6－1a7－1＜0A.q＞1 B.0＜a6a8＜1C.Sn的最大值为S7 D.Tn的最大值为T6解析：由题意得，a1＞1，a6a7＞1＞0，∴a6，a7同号，即a6与a6q同号，∴q＞0，又a6－1a7－1＜0，∴a6，a7一个比1大，一个比1小，∴a6＞1，0＜a7＜1，∴0＜q＜1，并且an＝a1qn－1＞0，a1＞a2＞…＞an，即{an}是递减的正项数列，∴Sn无最大值，A错误，C错误；∴0＜a6a8＝a72＜1，B正确；∵当n≥7时，an＜1，当1≤n≤6时，an＞1，∴T涉及等比数列的最值问题，一般要讨论其单调性，并要考虑公比与首项的符号.训练2（1）设Sn是等比数列{an}的前n项和，若S3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12S6＝（A.2 B.3C.5 D.7解析：（1）由题意得S6－S3＝8，S6＝S3＋8＝4＋8＝12，因为S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等比数列，故S6－S3S3＝S9－S6S6－S3＝S12－S9S9－S6，即82＝4（S9－12），解得S9＝28，则S9－S6＝28－12＝16（2）（2026·北京市第二中学模拟）在等比数列{an}中，若a1＋a3＝62，a2＋a4＝31，则当a1a2…an取得最大值时，n＝（B）A.3 B.6C.9 D.12解析：在等比数列{an}中，a1＋a3＝62，a2＋a4＝31，所以公比q＝a2＋a4a1＋a3＝12，所以a1＋a3＝a1＋14a1＝62，解得a1＝2485，故an＝2485×（12）n－1，易得an＝2485×（12）n－1单调递减，且an＞0，因为a6＝3120＞1，a7＝3140＜1，所以当1≤n≤6时，an＞1，当n≥7时，0＜a（3）已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝3n＋a，则a＝－1，数列{an2}的前n项和为9解析：设数列{an2}的前n项和为Tn，因为Sn＝3n＋a，所以Sn－1＝3n－1＋a（n≥2），所以an＝Sn－Sn－1＝2·3n－1（n≥2），且a1＝S1＝3＋a.又数列{an}为等比数列，所以an＝2·3n－1，且2＝3＋a，所以a＝－1.因为an+12an2＝（an+1an）2＝9，且a12＝4，所以{an2}是首项为4，公比为9（时间：60分钟，满分：95分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]1.（2026·江西南昌模拟）已知{an}为等比数列，若a2＋4a4＝4a3，则{an}的公比q＝（）A.－2 B.2C.－12 D.解析：D由a2＋4a4＝4a3，可得a2＋4a2q2＝4a2q，显然a2≠0，所以4q2－4q＋1＝0，解得q＝12.故选D2.（2025·T8联考）2025年蛇年春晚的武汉分会场地点设在黄鹤楼，楼的外观有五层而实际上内部有九层.为营造春节的喜庆气氛，主办方决定在黄鹤楼的外部用灯笼进行装饰.这五层楼预计共挂186盏灯笼，且相邻两层中的下一层灯笼数是上一层灯笼数的2倍，则最中间一层需要挂灯笼的数量为（）A.12盏 B.24盏C.36盏 D.48盏解析：B由题意知，各层楼的灯笼数从上至下构成等比数列，记为数列{an}，第5层楼所挂灯笼数为a1，公比q＝2.由S5＝a1（1－q5）1－q＝186，解得a1＝6.则最中间一层的灯笼数为3.〔一题多解〕数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，则a4＝（）A.8 B.16C.12 D.24解析：B法一因为am＋n＝aman恒成立，所以当m＝1时也成立，即an＋1＝a1an，又a1＝2，所以an＋1＝2an，所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an＝2n，则a4＝24＝16，故选B.法二am＋n＝aman，a1＝2，则a4＝a2a2＝a1a1a1a1＝a14＝24＝16，故选4.（2026·江苏南通质量监测）已知数列{an}为等比数列，a1＝512，公比q＝14，则数列{an}的前n项积Tn最大时，n＝（A.4 B.5C.6 D.8解析：B因为a1＝512，公比q＝14，所以an＝512·（14）n－1＝5124n－1，所以当1≤n≤5时，an＞1；当n≥6时，0＜an＜1.又Tn是数列{an}的前n项积，则当n＝5时，T5.（2026·湖北襄阳模拟）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S8＋S24＝140，且S24＝13S8，则S16＝（）A.40 B.－30C.30 D.－30或40解析：A因为S8＋S24＝140，且S24＝13S8，所以S8＝10，S24＝130，故q≠±1，所以S24S8＝1－q241－q8＝（q8）2＋q8＋1＝13，即（q8）2＋q8－12＝0，解得q8＝3或q8＝－4（舍去），由等比数列性质可知，S8，S16－S8，S24－S16成等比数列，公比为q8＝3，所以S16－10＝10×q6.〔多选〕已知数列{an}为等比数列，则下列说法正确的是（）A.若等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1＋t，则t＝－1B.若a2a7＋a3a6＝6，则a1a2a3…a8＝81C.若等比数列{an}各项均为正数，则{lgan}也是等比数列D.项数为奇数的等比数列{an}中，a1＝2，S奇＝8532，S偶＝2116，则公比q解析：BD对于A，因为Sn＝2n－1＋t＝t＋12×2n，由等比数列的前n项和公式Sn＝a1（1－qn）1－q＝a11－q－a11－q·qn，知t＝－12，所以A错误；对于B，由a2a7＋a3a6＝6，得到a2a7＝a3a6＝3，所以a1a2a3…a8＝（a2a7）4＝81，故B正确；对于C，不妨设等比数列{an}为an＝1，则lgan＝0，所以{lgan}不是等比数列，故C7.（2026·湖北武汉调研）写出一个同时满足下列条件①②的等比数列{an}的通项公式an＝（－2）n（答案不唯一）.①anan＋1＜0；②｜an｜＜｜an＋1｜.解析：设等比数列{an}的公比为q，由anan＋1＜0，可知q＜0，又｜an｜＜｜an＋1｜，所以｜q｜＞1，所以q＜－1，所以q可取－2，设a1＝－2，则an＝－2·（－2）n－1＝（－2）n.8.（2026·福建泉州模拟）已知数列－1，a1，a2，－4成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，则a2－a1b解析：∵－1，a1，a2，－4成等差数列，∴等差数列的公差为－4－（－1）4－1＝－1，∵－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，∴b22＝－1×（－4）＝4，∴b2＝±2，又∵－1，b2，－4同为等比数列的奇数项，故同号，∴9.（13分）在数列{an}中，an+12＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2，且a1＝2，a2（1）证明：数列{an＋1}是等比数列；（2）求数列{an}的前n项和Sn.解：（1）证明：因为an+12＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an所以（an＋1＋1）2＝（an＋1）（an＋2＋1），即an+1+1因为a1＝2，a2＝5，所以a1＋1＝3，a2＋1＝6，所以a2+1a所以数列{an＋1}是以3为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）知，an＋1＝3·2n－1，所以an＝3·2n－1－1，所以Sn＝3（1－2n）1－2－n＝10.已知等差数列{an}的公差不为0，正项等比数列{bn}，a2＝b2，a10＝b10，则以下命题中正确的是（）A.a1＞b1 B.a5＞b5C.a6＜b6 D.a17＞b17解析：B由题意可知：点（n，an）在一次函数图象上，点（n，bn）在指数型函数图象上，两图象交点横坐标为2和10，两图象只有同增或同减时才有两个交点，如图，由图可知：a1＜b1，a5＞b5，a6＞b6，a17＜b17.故选B.11.（2026·山东聊城模拟）已知等比数列{an}的公比为q，则“q＞0”是“{an}是递增数列”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：B分析充分性：在等比数列{an}中，q＞0，所以假设a1＝1，q＝12，所以an＝（12）n－1，等比数列{an}为递减数列，故充分性不成立；分析必要性：若等比数列{an}的公比为q，且{an}是递增数列，所以an＋1－an＞0恒成立，即a1qn－1（q－1）＞0恒成立，当a1＞0，q＞1时，a1qn－1（q－1）＞0成立，当a1＞0，0＜q＜1时，a1qn－1（q－1）＞0不成立，当a1＞0，q＝1时，a1qn－1（q－1）＞0不成立，当a1＜0，q＞1时，a1qn－1（q－1）＞0不成立，当a1＜0，0＜q＜1时，a1qn－1（q－1）＞0成立，当a1＜0，q＝1时，a1qn－1（q－1）＞0不成立，当a1＞0，q＜0时，a1qn－1（q－1）＞0不恒成立，当a1＜0，q＜0时，a1qn－1（q－1）＞0不恒成立，所以能使a1qn－1（q－1）＞0恒成立的只有：a1＞0，q＞1和a1＜0，0＜q＜1，易知此时q＞0成立，所以必要性成立.故选12.〔多选〕（2026·山东济宁模拟）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且an＋1＝Sn＋2，{bn}为等差数列，且b2＝a1，b8＝a3，记集合A＝{x∈N*｜bn≤x≤an}中元素的个数为cn，数列{cn}的前n项和为Tn，则下列结论正确的是（）A.an＝2n B.bn＝nC.cn＝2n－n D.Tn＝2n＋1－n（n解析：ABD对于A，设等比数列{an}的公比为q，由an＋1＝Sn＋2，得an＝Sn－1＋2（n≥2），两式相减得an＋1－an＝Sn－Sn－1＝an，即an＋1＝2an，所以q＝2，又a2＝S1＋2＝a1＋2，a2＝2a1，解得a1＝2，所以an＝2×2n－1＝2n，正确；对于B，设等差数列{bn}的公差为d，由b2＝a1＝2，b8＝a3＝8，得6d＝b8－b2＝6，解得d＝1，所以bn＝b2＋（n－2）d＝n，正确；对于C，由A＝{x∈N*｜bn≤x≤an}，得A＝{x∈N*｜n≤x≤2n}，则集合A中元素的个数为2n－n＋1，即cn＝2n－n＋1，错误；对于D，Tn＝（2＋22＋…＋2n）－（1＋2＋…＋n）＋n＝2（1－2n）1－2