第3节　平面向量的数量积及应用

1/1第3节平面向量的数量积及应用1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义.2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.知识梳理1.向量的夹角已知两个非零向量a，b，如图所示，O是平面上的任意一点，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ（0≤θ≤π）叫做向量a与b的夹角，记作＜a，b＞.提醒：当a与b同向时，θ＝0；当a与b反向时，θ＝π；当a与b垂直时，θ＝π22.平面向量的数量积（1）定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量｜a｜｜b｜cosθ叫做向量a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b＝｜a｜｜b｜cosθ.规定：零向量与任一向量的数量积为0；（2）投影向量：如图，在平面内任取一点O，作OM＝a，ON＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则OM1就是向量a在向量b上的投影向量，记为OM1＝（3）运算律①交换律：a·b＝b·a；②数乘结合律：（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）；③分配律：（a＋b）·c＝a·c＋b·c.提醒：向量的数量积运算不满足结合律，即（a·b）c≠a（b·c），也不满足消去律.即a·b＝a·cb＝c.3.平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a与b的夹角为θ：几何表示坐标表示数量积a·b＝｜a｜｜b｜cosθa·b＝x1x2＋y1y2模｜a｜＝a｜a｜＝x1夹角cosθ＝acosθ＝x1几何表示坐标表示a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0｜a·b｜与｜a｜｜b｜的关系｜a·b｜≤｜a｜｜b｜（当且仅当a∥b时等号成立）｜x1x2＋y1y2｜≤x提醒：（1）向量垂直与平行的坐标公式不要记混；（2）a⊥b⇔a·b＝0是对非零向量而言的，若a＝0，虽然有a·b＝0，但不能说a⊥b.1.平面向量数量积运算的常用公式（1）（a＋b）·（a－b）＝a2－b2；（2）（a±b）2＝a2±2a·b＋b2；（3）a2＋b2＝0⇒a＝b＝0.2.有关向量夹角的两个结论（1）两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b＞0，反之不成立（因为夹角为0时不成立）；（2）两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b＜0，反之不成立（因为夹角为π时不成立）.诊断自测1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）两个向量的夹角的范围是［0，π2］.（×（2）两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量.（√）（3）向量在另一个向量上的投影向量为数量，而不是向量.（×）（4）若a，b共线，则a·b＝｜a｜｜b｜.（×）（5）若a·b＝b·c，则a＝c.（×）2.已知｜a｜＝5，｜b｜＝2，a·b＝5，则a与b的夹角θ＝（）A.45° B.135°C.－45° D.30°解析：Acosθ＝a·b｜a｜·｜b｜＝22，且03.已知向量a＝（1，－2），b＝（－3，2），c＝（1，1），则（a＋b）·c＝（）A.2 B.0C.－2 D.－7解析：C因为a＝（1，－2），b＝（－3，2），所以a＋b＝（－2，0），因为c＝（1，1），所以（a＋b）·c＝－2，故C正确.4.已知向量a，b的夹角为60°，｜a｜＝2，｜b｜＝2，则｜a＋2b｜＝27.解析：a·b＝｜a｜｜b｜cos60°＝2，｜a＋2b｜＝a2+4b2+4a5.已知向量a＝（1，2），b＝（－1，1），当λ＝－2时，λa＋b与b垂直.解析：因为λa＋b＝λ（1，2）＋（－1，1）＝（λ－1，2λ＋1），且λa＋b与b垂直，所以（λa＋b）·b＝（λ－1）·（－1）＋2λ＋1＝λ＋2＝0，所以λ＝－2.平面向量数量积的基本运算（基础自学过关）1.已知向量a，b夹角的余弦值为－14，且｜a｜＝4，｜b｜＝1，则（a－b）·（b－2a）＝（A.－36 B.－12C.6 D.36解析：A（a－b）·（b－2a）＝a·b－2a2－b2＋2a·b＝3a·b－b2－2a2＝3×4×1×（－14）－1－2×16＝－36.故选A2.已知AB＝（2，3），AC＝（3，t），｜BC｜＝1，则AB·BC＝（）A.－3 B.－2C.2 D.3解析：C因为BC＝AC－AB＝（1，t－3），所以｜BC｜＝12＋（t－3）2＝1，解得t＝3，所以BC＝（1，0），所以AB·BC＝2×3.〔一题多解〕正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则EC·ED＝（）A.5 B.3C.25 D.5解析：B法一以{AB，AD}为基底，可知｜AB｜＝｜AD｜＝2，AB·AD＝0，则EC＝EB＋BC＝12AB＋AD，ED＝EA＋AD＝－12AB＋AD，所以EC·ED＝12AB＋AD·（－12AB＋AD）＝－14AB法二如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，则E（1，0），C（2，2），D（0，2），可得EC＝（1，2），ED＝（－1，2），所以EC·ED＝－1＋4＝3.故选B.4.在如图所示的平面图形中，已知OM＝2，ON＝1，∠MON＝60°，BM＝3MA，CN＝3NA，则BC·OM＝－12.解析：因为BM＝3MA，所以AB＝4AM，因为CN＝3NA，所以AC＝4AN，所以BC＝AC－AB＝4AN－4AM＝4（AN－AM）＝4MN，又MN＝ON－OM，所以BC＝4（ON－OM），又OM＝2，ON＝1，∠MON＝60°，所以BC·OM＝4（ON－OM）·OM＝4OM·ON－4OM2＝4×2×1×cos60°－4×22＝－12计算平面向量数量积的方法平面向量数量积的应用（定向精析突破）考向1向量的模（1）（2026·河南洛平许济模拟）已知向量a＝（1，0），b＝（0，1），c＝a＋tb，若c＝2，则正实数t的值为（B）A.1 B.3C.2 D.3解析：（1）因为a＝（1，0），b＝（0，1），c＝a＋tb，所以c＝（1，t），又c＝2，所以12＋t2＝2，解得t＝3或t＝－3，所以正实数t的值为3（2）〔一题多解〕设a，b为单位向量，且｜a＋b｜＝1，则｜a－b｜＝3.解析：（2）法一∵a，b为单位向量，且｜a＋b｜＝1，∴（a＋b）2＝1，∴1＋1＋2a·b＝1，∴a·b＝－12，∴｜a－b｜2＝a2＋b2－2a·b＝1＋1－2×－12＝3，∴｜a－b法二如图，设OA＝a，OB＝b，利用平面向量的平行四边形法则得OC＝a＋b，∵｜a｜＝｜b｜＝｜a＋b｜＝1，∴△OAC为正三角形，∴｜BA｜＝｜a－b｜＝2×32×｜a｜＝3求平面向量模的方法（1）公式法：利用｜a｜＝a·a及（a±b）2＝｜a｜2±2a·b＋｜b｜2，（2）几何法：利用向量的几何意义，即利用向量线性运算的平行四边形法则或三角形法则作出所求向量，再利用余弦定理等方法求解.考向2向量的夹角与垂直（1）（2026·浙江杭州模拟）已知向量a＝（1，－1），b＝（2，1），若ta＋b⊥（－2a＋tb），则t＝（DA.1或12 B.－2或C.－1或2 D.－2或1解析：ta＋b＝（t＋2，－t＋1），－2a＋tb＝（－2＋2t，2＋t）.∵（ta＋b）⊥（－2a＋tb），∴（ta＋b）·（－2a＋tb）＝0，即（t＋2）（－2＋2t）＋（－t＋1）（2＋t）＝t2＋t－2＝（t＋2）（t－1）＝0，∴t＝－2或t＝1.故选D.（2）（2026·山东泰安模拟）已知向量｜a｜＝｜b｜＝1，｜c｜＝32，且a＋b－2c＝0，则cos＜a，c＞＝（DA.－12 B.－C.12 D.解析：因为a＋b－2c＝0，所以a＋b＝2c，两边平方可得a2＋2a·b＋b2＝4c2，又a＝｜b｜＝1，｜c｜＝32，所以1＋2a·b＋1＝3⇒a·b＝12，所以cos＜a，c＞＝a·c｜a||c｜＝a·变式〔一题多解〕若本例（2）变为：已知向量a，b，c满足｜a｜＝｜b｜＝1，｜c｜＝2，且a＋b＋c＝0，则cos＜a－c，b－c＞＝（）A.－45 B.－C.25 D.解析：D法一∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，等式两边同时平方得2＝a2＋b2＋2a·b＝1＋1＋2a·b，∴a·b＝0.又a－c＝a－（－a－b）＝2a＋b，b－c＝b－（－a－b）＝a＋2b，∴（a－c）·（b－c）＝（2a＋b）·（a＋2b）＝2a2＋5a·b＋2b2＝4，且｜a－c｜＝｜2a＋b｜＝（2a＋b）2＝4+1＝5，｜b－c｜＝｜a＋2b｜＝（a+2b）2＝1+4＝5，∴cos＜a－c，法二∵｜a｜＝｜b｜＝1，｜c｜＝2，且a＋b＋c＝0，∴分别以a，b，c为边构造等腰直角三角形OAB，如图所示，以O为坐标原点，OA方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，则a＝OA＝（1，0），b＝AB＝（0，1），c＝BO＝（－1，－1），则a－c＝（2，1），b－c＝（1，2），∴｜a－c｜＝｜b－c｜＝5，∴cos＜a－c，b－c＞＝（a－c）·（b－1.求平面向量的夹角的方法2.两个向量垂直的充要条件a⊥b⇔a·b＝0⇔｜a－b｜＝｜a＋b｜（其中a≠0，b≠0）.训练1（1）〔多选〕（2026·安徽皖南八校第三次联考）已知向量a，b满足｜a－2b｜＝7，｜a｜＝｜b｜＝1，则（ACD）A.a与b的夹角为2B.a与b的夹角为5C.｜2a－3b｜＝19D.a⊥（a＋2b）解析：对于A、B，设a与b的夹角为θ（0≤θ≤π），因为｜a－2b｜＝7，所以（a－2b）2＝a2－4a·b＋4b2＝5－4a·b＝7，得a·b＝－12，所以cosθ＝a·b｜a||b｜＝－12，θ＝2π3，故A正确，B错误；对于C，｜2a－3b｜＝（2a－3b）2＝4a2+9b2－12a·b＝4+9－12×（－12）＝19，故C正确；对于D，a·（a＋（2）在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，点E是线段BC上的一点，已知AE·AD＝－1，则线段CE的长为32解析：因为点E是线段BC上的一点，所以AE·AD＝（AB＋BE）·AD＝AB·AD＋BE·AD＝－1，所以｜AB｜｜AD｜cos120°＋｜BE｜·｜AD｜cos0°＝2×2×（－12）＋｜BE｜×2＝－1.解得｜BE｜＝12，即线段BE的长为12，所以CE＝2－1投影向量（师生共研过关）（1）（2026·浙江绍兴模拟）已知向量a＝（－1，2），b＝（2，0），则a在b上的投影向量是（C）A.（－2，0） B.（2，0）C.（－1，0） D.（1，0）解析：因为a＝（－1，2），b＝（2，0），则a·b＝－1×2＋0＝－2，｜b｜＝2，则a在b上的投影向量为a·b｜b｜2b＝－24（2，0（2）已知△ABC的外接圆圆心为O，且2AO＝AB＋AC，｜OA｜＝｜AB｜，则向量BA在向量BC上的投影向量为（B）A.34BC BC.－34BC D解析：因为2AO＝AB＋AC，所以O是BC中点，则BC是圆O直径，∠BAC＝90°，又｜OA｜＝｜AB｜，所以△OAB是等边三角形，∠B＝60°，∠C＝30°.设｜AB｜＝a，则｜BC｜＝2a，作AH⊥BC于H，则∠BAH＝30°，所以｜BH｜＝12｜AB｜＝a2，BH即为向量BA在向量BC上的投影向量，BH＝14BC投影向量的两种求法（1）用几何法作出恰当的垂线，直接得到投影向量；（2）利用公式，向量a在向量b上的投影向量为｜a｜·cos＜a，b＞·b｜训练2（1）（2026·浙江杭州模拟）若非零向量a，b满足｜a｜＝2｜b｜，且向量b在向量a上的投影向量是－34a，则向量a与b的夹角为5π解析：b在a上投影向量为a·b｜a｜2·a＝－34a，∴a·b｜a｜2＝－34，∴a·b＝－34｜a｜2，则cos＜a，b＞＝a·b｜a||b｜＝－（2）（2026·河南郑州模拟）已知向量a＝（2，2），向量b在向量a上的投影向量的模长为12｜a｜，写出一个满足条件的向量b＝（1，1）（答案不唯一）（答案不唯一解析：设b＝（m，n），则根据条件有12｜a｜＝｜a·b｜｜a｜＝｜2m+2n｜22，又｜a｜＝22，则｜m＋n｜＝2.从而只要b＝（m，n（时间：45分钟，满分：77分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]1.（2026·浙江绍兴模拟）已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜b｜＝2，且a，b的夹角为60°，则｜a＋b｜＝（）A.3B.3C.7D.7解析：C因为｜a｜＝1，｜b｜＝2，且a，b的夹角为60°，所以a·b＝｜a｜｜b｜cos60°＝1×2×12＝1，所以｜a＋b｜＝（a＋b）2＝a2+22.（2026·广东湛江模拟）已知向量a，b满足a＝（1，2），a·b＝5，且a⊥（a＋λb），则λ＝（）A.－1 B.－2 C.－12 D.－解析：A因为a⊥（a＋λb），所以a·（a＋λb）＝a2＋λa·b＝0，又a＝（1，2），a·b＝5，所以a2＋λa·b＝1＋4＋5λ＝0，解得λ＝－1.故选A.3.如图，在边长为2的正方形ABCD中，M是CD的中点.则AD在BM上的投影向量为（）A.15BM BC.35BM D解析：D由题意知｜AD｜＝2，｜BM｜＝5.由于AD＝BC，所以∠MBC即为AD与BM的夹角.易求得cos∠MBC＝255.所以AD在BM上的投影向量为｜AD｜cos∠MBC·BM｜BM｜＝2×255×4.（2026·江苏南京、盐城模拟）已知a，b，c均为单位向量.若a＝b＋c，则b与c夹角的大小是（）A.π6 B.π3 C.2π3解析：C由a＝b＋c，两边平方可得a2＝（b＋c）2.则a2＝b2＋2b·c＋c2.因为a，b，c均为单位向量，所以｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1.故1＝1＋2b·c＋1，则b·c＝－12.设b与c的夹角为θ，可得－12＝1×1×cosθ，即cosθ＝－12.因为0≤θ≤π，所以θ5.〔一题多解〕（2025·皖豫名校联考）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB为其外接圆的直径，且AB＝2AD＝2，P为边BC的中点，则AP·BD＝（）A.－73 B.－2 C.－1316 D解析：D法一由题意，∠ABD＝∠CBD＝30°，BD＝3，BP＝12，则AP·BD＝（AB＋BP）·BD＝AB·BD＋BP·BD＝2×3×cos150°＋12×3×cos30°＝－法二由题意，∠BAD＝60°，建立平面直角坐标系如图，则A（0，0），B（2，0），C（32，32），D（12，32），所以P（74，34），所以AP＝（74，34），又BD＝（－32，36.〔多选〕（2026·浙江宁波模拟）已知向量a＝（m，－1），b＝（－2，1），则下列说法正确的是（）A.若m＝1，则｜a－b｜＝13B.若a⊥b，则m＝2C.“m＜－12”是“a与b的夹角为锐角”D.若a·b＝－｜a｜｜b｜，则m＝－2解析：AC对于选项A，因为m＝1，所以a＝（1，－1），又b＝（－2，1），所以a－b＝（3，－2），故｜a－b｜＝32＋（－2）2＝13，所以选项A正确；对于选项B，因为a⊥b，所以－2m－1＝0，解得m＝－12，所以选项B错误；对于选项C，当a与b的夹角为锐角时，由cos＜a，b＞＝a·b｜a||b｜＞0，得到a·b＞0，即－2m－1＞0，得到m＜－12，当m＜－12时，也可得出cos＜a，b＞＝a·b｜a||b｜＞0，而＜a，b＞∈[0，π]，又当a∥b时，m－2＝0得到m＝2，此时a＝（2，－1），b＝（－2，1），a，b反向共线，所以＜a，b＞∈（0，π2），即由“m＜－12”可以得出“a与b的夹角为锐角”，所以选项C正确；对于选项D，由a·b＝－｜a｜｜b｜，设向量a与b的夹角为θ，则｜a｜｜b｜·cosθ＝－｜a｜｜b｜，则cosθ＝－1，θ＝π，即a与7.在四边形ABCD中，AC＝（1，2），BD＝（－4，2），则四边形ABCD的面积S＝5.解析：因为AC＝（1，2），BD＝（－4，2），所以AC·BD＝1×（－4）＋2×2＝0，则AC⊥BD，又｜AC｜＝12＋22＝5，｜BD｜＝（－4）2＋22＝25，所以四边形ABCD的面积S＝12｜AC8.〔一题多解〕已知向量a＋b＋c＝0，｜a｜＝1，｜b｜＝｜c｜＝2，则a·b＋b·c＋c·a＝－92解析：法一由a＋b＋c＝0，得b＋c＝－a，则a·（b＋c）＝－a2，所以a·b＋c·a＝－12＝－1.由b＋c＝－a，得（b＋c）2＝（－a）2，则b2＋2b·c＋c2＝a2，即22＋2b·c＋22＝12，所以b·c＝－72，所以a·b＋b·c＋c·a＝－9法二由已知可得（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2（a·b＋b·c＋c·a）＝9＋2（a·b＋b·c＋c·a）＝0，因此a·b＋b·c＋c·a＝－929.在△ABC中，AB⊥AC，CD＝（2－1）BC，AC·AD＝62，则AC＝6.解析：由AB⊥AC，得AB·AC＝0，由CD＝BD－BC＝（2－1）BC，得BD＝2BC.由AC·AD＝AC·（AB＋BD）＝AC·BD＝2AC·BC＝2AC·（AC－AB）＝2｜AC｜2＝62，所以｜AC｜＝6，即AC10.已知非零向量AB，AC满足AB·BC｜AB｜＝AC·CB｜AC｜，且AB｜ABA.钝角三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等边三角形解析：D由AB｜AB｜·AC｜AC｜＝12，得cosA＝12，又0＜A＜π，∴A＝π3.由AB·BC｜AB｜＝AC·CB｜AC｜，得（AB｜AB｜＋11.若平面向量a，b，c两两夹角相等，且｜a｜＝1，｜b｜＝1，｜c｜＝4，则｜2a＋2b－c｜＝（）A.0 B.6C.0或6 D.0或6解析：D①当向量a，b，c两两夹角为0时，｜2a＋2b－c｜＝｜2＋2－4｜＝0；②当向量a，b，c两两夹角为2π3时，｜2a＋2b－c｜2＝4a2＋4b2＋c2＋8a·b－4a·c－4b·c＝4＋4＋16＋8×1×1×（－12）－4×1×4×（－12）－4×1×4×（－12）＝36，所以｜2a＋2b－c｜＝6.综上，｜2a＋2b－c｜＝0或12.〔多选〕已知向量a，b不共线，向量a＋b平分a与b的夹角，则下列结论一定正确的是（）A.a·b＝0B.（a＋b）⊥（a－b）C.向量a，b在a＋b上的投影向量相等D.｜a＋b｜＝｜a－b｜解析：BC如图，作向量OA＝a，OB＝b，在▱OACB中，OC＝a＋b，BA＝a－b，由向量a＋b平分a与b的夹角，得▱OACB是菱形，即｜a｜＝｜b｜.对于A，a与b不一定垂直，A错误；对于B，（a＋b）·（a－b）＝a2－b2＝0，即（a＋b）⊥（a－b），B正确；对于C，a在a＋b上的投影向量为a·（a＋b）｜a＋b｜2（a＋b）＝a2＋a·b｜a＋b｜2（a＋b），b在a＋b上的投影向量为b·（a＋b）｜a＋b｜2（a＋b）＝b2＋a·b｜a＋b13.早在公元前十一世纪，周朝数学家商高就提出“勾三股四弦五”，《周髀算经》中曾有记载，大意为：“当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，径隅（弦）则为5”，故勾股定理也称为商高定理.现有△ABC的三边满足“勾三股四弦五”，其中勾AC的长为3，点A在弦BC上的射影为点D，则（BC－BA）·AD＝14425解析：如图所示，由题意可知AC＝3，AB＝4，BC＝5，则cosB＝ABBC＝45，∵AD⊥BC，∴∠CAD＋∠ACB＝∠ACB＋∠ABC＝90°，∴∠CAD＝∠ABC，（BC－BA）·AD＝AC·AD＝｜AC｜·｜AD｜·cos∠CAD＝（｜AC｜·cos∠CAD）2＝（3×45）214.〔一题多解〕（2025·天津高考14题）△ABC中，D为AB中点，CE＝13CD，AB＝a，AC＝b，