高中数学选修一 导学案 第二章 章末总结

一直线的倾斜角与斜率1．要正确理解直线倾斜角的定义，明确直线倾斜角的范围0°≤α<180°，熟记直线的斜率公式k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)(x2≠x1)，该公式与两点顺序无关．已知两点坐标(x1，y1)，(x2，y2)(x1≠x2)，根据该公式可以求出经过两点的直线的斜率，当x1＝x2，y1≠y2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.2．在分析直线的倾斜角与斜率的关系时，可根据正切函数k＝tanα的单调性判断．当α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，k是关于α的增函数，当α的取值在此区间内由0增大到eq\f(π,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)))时，k由0增大到＋∞；当α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))时，k也是关于α的增函数，当α在此区间内由eq\f(π,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)))增大到π(α≠π)时，k由－∞增大到0(α≠0)．当然，解决此类题时，也可利用数形结合思想，借助图形，直观地作出判断．3．要正确运用直线的方向向量和法向量，首先，一条直线的方向向量与法向量互相垂直，其次由方向向量或法向量可得到直线的斜率，即若a＝(u，v)是直线l的一个方向向量，则u＝0时，斜率不存在；u≠0时，斜率k＝eq\f(v,u).二直线方程的几种形式名称方程常数的几何意义适用条件点斜式y－y0＝k(x－x0)(x0，y0)是直线上的一个定点，k是斜率直线不垂直于x轴斜截式y＝kx＋bk是斜率，b是直线在y轴上的截距直线不垂直于x轴两点式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)(x1，y1)，(x2，y2)是直线上的两个定点直线不垂直于x轴和y轴截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1a，b分别是直线在x轴、y轴上的非零截距直线不垂直于x轴和y轴，且不过原点一般式Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)A，B，C为系数任何情况特殊直线x＝a(y轴：x＝0)垂直于x轴且过点(a，0)斜率不存在y＝b(x轴：y＝0)垂直于y轴且过点(0，b)斜率k＝0解题时要根据题目条件灵活选择，注意其适用条件：点斜式和斜截式不能表示斜率不存在的直线，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线，一般式虽然可以表示任何直线，但要注意A2＋B2≠0，必要时要对特殊情况进行讨论．三两直线的平行与垂直直线的方程l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行的等价条件l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0垂直的等价条件l1⊥l2⇔k1k2＝－1l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0由两直线的方程判断两条直线是否平行或垂直时，要注意条件的限制；同时已知平行或垂直关系求直线的方程或确定方程的系数关系时，要根据题目条件设出合理的直线的方程．结合方向向量和法向量，与直线l：Ax＋By＋C＝0平行的直线可设为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，与直线l垂直的直线可设为Bx－Ay＋C2＝0.四距离问题类型已知条件公式两点间的距离A(x1，y1)，B(x2，y2)d＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)点到直线的距离P(x0，y0)，l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))两条平行直线之间的距离l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0)d＝eq\f(|C2－C1|,\r(A2＋B2))学习时要注意特殊情况下的距离公式，并注意利用它的几何意义，解题时往往将代数运算与几何图形直观分析相结合．五圆的方程1．圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中圆心是C(a，b)，半径是r.特别地，圆心在原点的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．2．由于圆的方程均含有三个参变量(a，b，r或D，E，F)，而确定这三个参数必须有三个独立的条件，因此，三个独立的条件可以确定一个圆．3．求圆的方程常用待定系数法，此时要善于根据已知条件的特征来选择圆的方程．如果已知圆心或半径，或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点，通常可用圆的一般方程．六点与圆的位置关系1．点在圆上(1)如果一个点的坐标满足圆的方程，那么该点在圆上．(2)如果点到圆心的距离等于圆的半径，那么该点在圆上．2．点不在圆上(1)若点的坐标满足φ(x，y)＝x2＋y2＋Dx＋Ey＋F>0，则该点在圆外；若满足φ(x，y)＝x2＋y2＋Dx＋Ey＋F<0，则该点在圆内．(2)点到圆心的距离大于半径，则点在圆外；点到圆心的距离小于半径，则点在圆内．注意：若点P是圆C外一定点，则该点与圆上的点的最大距离为dmax＝|PC|＋r，最小距离为dmin＝|PC|－r.七直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种：相交、相离、相切，其判断方法有两种：代数法(通过解直线的方程与圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断公共点的个数)、几何法(由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断)．(1)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d＋r，最小距离为d－r.(2)当直线与圆相交时，圆的半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形．(3)当直线与圆相切时，经常涉及圆的切线．①若切线所过点(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则切线方程为x0x＋y0y＝r2；若切线所过点(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上，则切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；②若切线所过点(x0，y0)在圆外，则切线有两条．此时解题时若用到直线的斜率，则要注意斜率不存在的情况也可能符合题意．(4)过直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)的交点的圆系方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0，λ是待定的系数．八圆与圆的位置关系两个不相等的圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含，其判断方法有两种：代数法(通过解两圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断，即根据公共点的个数来判断)、几何法(由两圆的圆心距d与半径r，R的和、差的大小关系来判断)．(1)求相交两圆的弦长时，可先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用相交两圆的几何性质和勾股定理来求弦长．(2)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.九求轨迹方程的几种常用方法1．直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x，y)，根据几何条件直接寻求x，y之间的关系式．2．代入法：利用所求曲线上的动点与某已知曲线上的一动点的关系，把所求动点转换为已知动点．具体地说，就是用所求动点的坐标来表示已知动点的坐标并代入已知动点坐标满足的曲线的方程，由此即可求得所求动点的轨迹方程．3．定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．4．参数法：选择一个(或几个)与动点变化密切相关的量作为参数，用参数表示动点的坐标(x，y)，即得动点轨迹的参数方程，消去参数，可得动点轨迹的普通方程．用参数求轨迹方程的关键在于选择适当的参数，其选择原则如下：(1)动点的运动是随着参数的变化而变化的，即参数能反映动点的变化特征；(2)参数与题设的已知量有密切的联系．常用的参数有物理参数(时间、速度、位移)和几何参数(角度、有向线段的数量、斜率、点坐标)等．十椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质椭圆双曲线抛物线定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)y2＝2px(p>0)关系式a2－b2＝c2a2＋b2＝c2—图形封闭图形无限延展，有渐近线无限延展，没有渐近线对称性对称中心为原点无对称中心两条对称轴一条对称轴顶点四个两个一个离心率0<e<1e>1e＝1准线方程——x＝－eq\f(p,2)决定形状的因素e决定扁平程度e决定开口大小2p决定开口大小十一待定系数法求圆锥曲线的标准方程1．椭圆、双曲线的标准方程求椭圆、双曲线的标准方程包括“定位”和“定量”两方面，一般先确定焦点的位置，再确定参数．当焦点位置不确定时，要分情况讨论，也可将方程设为一般形式：椭圆方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，其中当eq\f(1,A)>eq\f(1,B)时，焦点在x轴上，当eq\f(1,A)<eq\f(1,B)时，焦点在y轴上；双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)，当A<0时，焦点在y轴上，当B<0时，焦点在x轴上．另外，在求双曲线的标准方程的过程中，根据不同的已知条件采取相应方法设方程，常常可以简化解题过程，避免出错．如：与已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线方程可设为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)；已知所求双曲线为等轴双曲线，其方程可设为x2－y2＝λ(λ≠0)．2．抛物线的标准方程求抛物线的标准方程时，先确定抛物线的方程类型，再由条件求出参数p的大小．当焦点位置不确定时，要分情况讨论，也可将焦点在x轴或y轴上的抛物线方程设为一般形式y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0)，然后建立方程求出参数p的值．十二求离心率的方法1．定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是在y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝eq\f(c,a).已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数．这是基本且常用的方法．2．方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率．这是求离心率的十分重要的思路及方法．3．几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．十三直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线的方程与圆锥曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量x(或y)的方程，若为一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式Δ，则有Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交于两点；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切于一点；Δ<0⇔直线与圆锥曲线无公共点．2．直线l截圆锥曲线所得的弦长|AB|＝eq\r(（1＋k2）（x1－x2）2)或eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k2)))（y1－y2）2)，其中k是直线l的斜率，(x1，y1)，(x2，y2)分别是直线与圆锥曲线的两个交点A，B的坐标，且(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2，x1＋x2，x1x2可由一元二次方程的根与系数的关系整体给出．一、直线方程几种形式的应用直线方程的几种形式各有优劣，在使用时要根据题目条件灵活选择，尤其在选用几种特殊形式的方程时，注意其适用条件，必要时要对特殊情况进行讨论．典例1直线l过点(2，1)和第一、二、四象限，若直线l在x轴上的截距与在y轴上的截距之和为6，求直线l的方程．[解]设直线l在x轴上的截距为a，则它在y轴上的截距为6－a，由于直线l在两坐标轴上的截距都不为0，故直线l的方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,6－a)＝1.因为点(2，1)在该直线上，所以eq\f(2,a)＋eq\f(1,6－a)＝1，即a2－7a＋12＝0，所以a＝4或a＝3.当a＝4时，直线l的方程为eq\f(x,4)＋eq\f(y,2)＝1，即x＋2y－4＝0，经过第一、二、四象限；当a＝3时，直线l的方程为eq\f(x,3)＋eq\f(y,3)＝1，即x＋y－3＝0，也经过第一、二、四象限．综上可知，所求直线l的方程为x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0.【素养提升】选择合适的直线方程的形式可减少运算量，但要注意所选形式的适用条件，注意讨论特殊情况．二、直线的平行与垂直问题考查两条直线的平行与垂直关系时，通常有两种方式可以选择：一是直线的方程以斜截式给出，此时可通过斜率和直线在y轴上的截距处理；二是直线的方程以一般式给出，此时可转化为斜率和直线在y轴上的截距处理，也可直接利用系数处理．典例2已知直线l1：ax＋by＋6＝0和直线l2：(a－1)x＋y＋2＝0，求分别满足下列条件的a，b的值．(1)直线l1过点(－3，0)，且直线l1和l2垂直；(2)若直线l1和l2平行，且直线l1在y轴上的截距为－3.[解](1)由于直线l1和l2垂直，故a·(a－1)＋b·1＝0，又直线l1过点(－3，0)，故－3a＋6＝0，联立两式，解得a＝2，b＝－2.(2)由于直线l1和l2平行，故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a·1＝（a－1）·b，,b·2≠6×1，))直线l1在y轴上的截距为－3，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b≠0，,－\f(6,b)＝－3，))联立解得a＝2，b＝2.【素养提升】两条直线的平行与垂直一般从斜率入手分析，注意讨论斜率不存在的情况．三、与直线有关的对称问题在解析几何中，经常遇到对称问题，对称问题主要有两大类：一类是中心对称，一类是轴对称．1．中心对称(1)两点关于点对称，设P1(x1，y1)，M(a，b)，则P1(x1，y1)关于M(a，b)对称的点为P2(2a－x1，2b－y1)，也即M为线段P1P2的中点．特别地，P(x，y)关于原点对称的点为P′(－x，－y)．(2)两直线关于点对称，设直线l1，l2关于点P对称，这时其中一条直线上任一点关于P对称的点在另外一条直线上，并且l1∥l2，P到l1，l2的距离相等．2．轴对称(1)两点关于直线对称，设P1，P2关于直线l对称，则直线P1P2与l垂直，且P1P2的中点在l上，解这类问题的关键是由“垂直”和“平分”列方程组．(2)两直线关于直线对称，设l1，l2关于直线l对称．①当三条直线l1，l2，l共点时，l上任意一点到l1，l2的距离相等，并且l1，l2中一条直线上任意一点关于l对称的点在另外一条直线上；②当l1∥l2∥l时，l1到l的距离等于l2到l的距离．典例3已知直线l：y＝3x＋3，求：(1)点P(4，5)关于直线l的对称点的坐标；(2)直线y＝x－2关于直线l的对称直线的方程；(3)直线l关于点A(3，2)的对称直线的方程．[解](1)设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则PP′的中点M在直线l上，且直线PP′垂直于直线l，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y′＋5,2)＝3×\f(x′＋4,2)＋3，,\f(y′－5,x′－4)×3＝－1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝－2，,y′＝7.))∴点P′的坐标为(－2，7)．(2)解法一：设直线l1：y＝x－2关于直线l对称的直线为l2，则l1上任意一点P1(x1，y1)关于l的对称点P2(x2，y2)一定在l2上，反之也成立．则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y1＋y2,2)＝3×\f(x1＋x2,2)＋3，,\f(y1－y2,x1－x2)×3＝－1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝－\f(4,5)x2＋\f(3,5)y2－\f(9,5)，,y1＝\f(3,5)x2＋\f(4,5)y2＋\f(3,5).))把(x1，y1)代入y＝x－2，整理得7x2＋y2＋22＝0，∴直线l2的方程为7x＋y＋22＝0.解法二：∵直线l：y＝3x＋3与直线y＝x－2相交，且交点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，－\f(9,2))).在直线y＝x－2上取点B(0，－2)，则点B关于直线l：y＝3x＋3的对称点为B′(－3，－1)，∴直线y＝x－2关于l的对称直线经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，－\f(9,2)))及B′(－3，－1)，由两点式得所求直线的方程为7x＋y＋22＝0.(3)设直线l关于点A(3，2)的对称直线为l′，由于l∥l′，故可设直线l′的方程为y＝3x＋b(b≠3)．由点到直线的距离公式得eq\f(|3×3－2＋b|,\r(32＋（－1）2))＝eq\f(|3×3－2＋3|,\r(32＋（－1）2))，即|b＋7|＝10，解得b＝－17或b＝3(舍去)．∴直线l′的方程为y＝3x－17，即对称直线的方程为3x－y－17＝0.【素养提升】解决直线中点、直线对称问题的关键是用好垂直和平分，另外要注意特殊点的运用．四、圆的几何性质的运用圆是一种特殊图形，既是中心对称图形又是轴对称图形，圆心是对称中心，任意一条直径所在的直线是对称轴．圆具有许多重要的几何性质，如下：1．直线与圆相交的性质如图，直线l与圆C相交于A，B两点，半径为r，弦AB的中点为D，则(1)点C到直线l的距离d＝|CD|，称为弦心距；(2)CD⊥l；(3)|AD|2＋d2＝r2，|AB|＝2eq\r(r2－d2).2．直线与圆相切的性质如图，直线l与圆C相切，切点为P，半径为r.则(1)CP⊥l；(2)点C到直线l的距离d＝|CP|＝r；(3)切点P在直线l上，也在圆上．典例4已知点P(0，5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.若直线l过点P，且被圆C截得的线段长为4eq\r(3)，求直线l的方程．[解]易知圆心C(－2，6)，半径R＝4，如图所示，|AB|＝4eq\r(3)，设D是线段AB的中点，则CD⊥AB，|AD|＝2eq\r(3)，又|AC|＝4，所以在Rt△ACD中，可得|CD|＝2.当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.由点到直线的距离公式，得eq\f(|－2k－6＋5|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝eq\f(3,4)，此时直线l的方程为3x－4y＋20＝0；当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，满足题意．综上，直线l的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0.【素养提升】(1)充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量．(2)对于未给出图形的题目，要边读题边画图，这样能更好地体会圆的几何形状，有助于找到解题思路．五、直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆问题的类型(1)直线与圆的位置关系．(2)求切线方程：可以利用待定系数法结合图形或代数法求得．(3)弦长问题：常用几何法(垂径定理)，也可用代数法结合弦长公式求解．2．圆与圆问题的类型(1)圆与圆的位置关系的判断．(2)求两圆的公切线方程或公切线的条数的应用．典例5(多选)已知圆C：x2＋y2＝4，以下四个命题表述正确的是()A．直线xsinθ＋ycosθ－4＝0(θ∈R)是圆C的一条切线B．若圆C与圆C1：x2＋y2－6x－8y＋m＝0恰有一条公切线，则m＝－24C．圆C与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋24＝0的交线方程为3x＋4y－14＝0D．圆x2＋y2＝4上有且仅有3个点到直线l：x－y＋eq\r(2)＝0的距离都等于1[解析]对于A，∵圆心C到直线xsinθ＋ycosθ－4＝0(θ∈R)的距离d＝eq\f(|－4|,\r(sin2θ＋cos2θ))＝4＞2＝r，∴直线xsinθ＋ycosθ－4＝0(θ∈R)与圆相离，A错误；对于B，∵圆C与圆C1：(x－3)2＋(y－4)2＝25－m恰有一条公切线，∴两圆内切，∴|CC1|＝|r－r1|，∴5＝|2－eq\r(25－m)|，解得m＝－24，B正确；对于C，易得圆C2的圆心为C2(3，4)，半径为1，则圆C与圆C2的圆心距为5，大于两圆的半径之和，∴两圆相离，C错误；对于D，∵圆心C(0，0)到直线l：x－y＋eq\r(2)＝0的距离等于1，∴直线与圆相交，而圆的半径为2，故到直线距离为1的两条直线，一条与圆相切，一条与圆相交，∴圆上有三个点到直线l：x－y＋eq\r(2)＝0的距离等于1，D正确．故选BD.[答案]BD【素养提升】1．判断直线与圆的位置关系的一般方法(1)几何法：圆心到直线的距离与圆半径比较大小，即可判断直线与圆的位置关系．这种方法的特点是计算量较小．(2)代数法：将直线的方程与圆的方程联立，整理得到一元二次方程，该方程解的情况即对应直线与圆的位置关系．这种方法具有一般性，适合于判断直线与圆锥曲线的位置关系．2．圆与圆位置关系问题的解题策略(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．六、圆锥曲线的定义、方程及性质对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略．如：(1)在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程；(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决．典例6(1)已知动圆M的半径为r，动圆M与圆C1：(x＋3)2＋y2＝9外切，且与圆C2：(x－3)2＋y2＝1内切，求动圆的圆心M的轨迹方程．[解]∵圆M与圆C1外切，且圆M与圆C2内切，∴|MC1|＝r＋3，|MC2|＝r－1，∴|MC1|－|MC2|＝4<|C1C2|＝6，∴点M的轨迹是以C1(－3，0)，C2(3，0)为焦点的双曲线的右支，且2a＝4，即a＝2，又c＝3，∴b2＝c2－a2＝9－4＝5，∴动圆的圆心M的轨迹方程是eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1(x≥2)．(2)如图，已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过椭圆左焦点F1的直线与椭圆C交于P，Q两点，|QF2|＝2|PF2|，cos∠PF2Q＝eq\f(1,4)，求椭圆C的离心率．[解]设椭圆C的焦距为2c，|PF2|＝t，|QF2|＝2t，t>0，则|PF1|＝2a－t，|QF1|＝2a－2t，|PQ|＝4a－3t，在△PQF2中，由余弦定理，得(4a－3t)2＝t2＋4t2－2×t×2t×eq\f(1,4)，则t＝eq\f(4,5)a，所以|QF2|＝eq\f(8,5)a，|PQ|＝eq\f(8,5)a，|PF1|＝eq\f(6,5)a，则有∠PF2Q＝∠QPF2.在△PF1F2中，由余弦定理，得2c＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6a,5)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4a,5)))\s\up12(2)－2×\f(6a,5)×\f(4a,5)×\f(1,4))＝eq\f(2\r(10)a,5)，则e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(10),5)，所以椭圆C的离心率为eq\f(\r(10),5).(3)已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，求点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和的最小值．[解]∵点P到抛物线准线的距离等于点P到抛物线焦点F(1，0)的距离，圆心坐标是(0，4)，圆心到抛物线焦点F(1，0)的距离为eq\r(17)，∴圆上的点Q到抛物线焦点F(1，0)的距离的最小值是eq\r(17)－1.∴点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和的最小值为eq\r(17)－1.【素养提升】(1)①解决轨迹问题要明确圆锥曲线的性质，做好对图形变化情况的总体分析，选好相应的解题策略和拟定好具体的方法，注意将动点的几何特性用数学语言表述；②要注意一些轨迹问题所包含的隐含条件，也就是曲线上点的坐标的取值范围．(2)求离心率的思路是：利用圆锥曲线的几何性质以及定义构造出含a，b，c或e的方程，再通过解方程求结果．七、直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系综合题的解题规律如下：(1)引参，设直线或圆锥曲线的方程，并设出直线与圆锥曲线的交点坐标，如A(x1，y1)，B(x2，y2)．(2)将直线的方程与圆锥曲线的方程联立得方程组，消去y(或x)得到关于x(或y)的方程f(x)＝0(或f(y)＝0)．此方程可能是一元二次方程，也可能是二次项系数含参的一元二次方程(这种情况应注意对二次项系数的讨论)，然后列出Δ>0的条件及根与系数的关系．(3)试用A(x1，y1)与B(x2，y2)的坐标x1，y1，x2，y2表示题中条件，得条件式(*)．(4)利用点A，B在直线上，将条件式(*)中坐标进行统一，都转化为关于x1，x2(或y1，y2)的条件式(*)′.(5)应用根与系数的关系整体代入条件(*)′，求出参数或其他．(6)与Δ>0联立验证求解结果或其他．典例7圆x2＋y2＝4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形的面积最小时，切点为P(如图)．(1)求点P的坐标；(2)焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线l：y＝x＋eq\r(3)交于A，B两点．若△PAB的面积为2，求椭圆C的标准方程．[解](1)设切点P的坐标为(x0，y0)(x0>0，y0>0)，则切线斜率为－eq\f(x0,y0)，切线方程为y－y0＝－eq\f(x0,y0)(x－x0)，即x0x＋y0y＝4，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形的面积为S＝eq\f(1,2)·eq\f(4,x0)·eq\f(4,y0)＝eq\f(8,x0y0).由xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝4≥2x0y0知，当且仅当x0＝y0＝eq\r(2)时，x0y0有最大值，即S有最小值，因此点P的坐标为(eq\r(2)，eq\r(2))．(2)设椭圆C的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由点P在椭圆C上知eq\f(2,a2)＋eq\f(2,b2)＝1，并由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，,y＝x＋\r(3)，))得b2x2＋4eq\r(3)x＋6－2b2＝0，则Δ>0，x1＋x2＝－eq\f(4\r(3),b2)，x1x2＝eq\f(6－2b2,b2).|AB|＝eq\r(2)|x1－x2|＝eq\r(2)·eq\f(\r(48－24b2＋8b4),b2).点P到直线l的距离为eq\f(|\r(2)－\r(2)＋\r(3)|,\r(2))＝eq\f(\r(6),2)，则S△PAB＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(6),2)×|AB|＝2，得b4－9b2＋18＝0，解得b2＝6或b2＝3，因此b2＝6，a2＝3(舍去)或b2＝3，a2＝6.所以椭圆C的标准方程为eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,3)＝1.【素养提升】在求解直线与圆锥曲线位置关系的综合题时，一元二次方程的判别式、弦长公式是代数法解决问题的常用工具，“设而不求”“整体代入”思想是简化运算的有力手段，同时注意结合其他知识(如方程、不等式、函数等)求解．八、圆锥曲线中的定点、定值与定线问题解决定点、定值与定线问题应灵活应用已知条件巧设变量，在变形过程中要注意各变量之间的关系，善于捕捉题目信息，注意消元思想的应用．典例8(新课标Ⅱ卷)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(－2eq\r(5)，0)，离心率为eq\r(5).(1)求C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4，0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P.证明：点P在定直线上．[解](1)设双曲线C的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，由焦点坐标可知c＝2eq\r(5)，则由e＝eq\f(c,a)＝eq\r(5)可得a＝2，b＝eq\r(c2－a2)＝4，故C的方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,16)＝1.(2)证法一：由(1)可得A1(－2，0)，A2(2，0)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，显然直线MN的斜率不为0，所以设直线MN的方程为x＝my－4，且－eq\f(1,2)<m<eq\f(1,2)，与eq\f(x2,4)－eq\f(y2,16)＝1联立可得(4m2－1)y2－32my＋48＝0，且Δ＝64(4m2＋3)>0，则y1＋y2＝eq\f(32m,4m2－1)，y1y2＝eq\f(48,4m2－1)，直线MA1的方程为y＝eq\f(y1,x1＋2)(x＋2)，直线NA2的方程为y＝eq\f(y2,x2－2)(x－2)，联立直线MA1与直线NA2的方程可得，eq\f(x＋2,x－2)＝eq\f(y2（x1＋2）,y1（x2－2）)＝eq\f(y2（my1－2）,y1（my2－6）)＝eq\f(my1y2－2（y1＋y2）＋2y1,my1y2－6y1)＝eq\f(m·\f(48,4m2－1)－2·\f(32m,4m2－1)＋2y1,m·\f(48,4m2－1)－6y1)＝eq\f(\f(－16m,4m2－1)＋2y1,\f(48m,4m2－1)－6y1)＝－eq\f(1,3)，由eq\f(x＋2,x－2)＝－eq\f(1,3)可得x＝－1，即xP＝－1，据此可得，点P在定直线x＝－1上．证法二：由题意得A1(－2，0)，A2(2，0)．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为x＝my－4，则eq\f(xeq\o\al(2,1),4)－eq\f(yeq\o\al(2,1),16)＝1，即4xeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,1)＝16.如图，连接MA2，kMA1·kMA2＝eq\f(y1,x1＋2)·eq\f(y1,x1－2)＝eq\f(yeq\o\al(2,1),xeq\o\al(2,1)－4)＝eq\f(4xeq\o\al(2,1)－16,xeq\o\al(2,1)－4)＝4.①由eq\f(x2,4)－eq\f(y2,16)＝1，得4x2－y2＝16，4[(x－2)＋2]2－y2＝16，4(x－2)2＋16(x－2)＋16－y2＝16，4(x－2)2＋16(x－2)－y2＝0.由x＝my－4，得x－2＝my－6，my－(x－2)＝6，eq\f(1,6)[my－(x－2)]＝1.4(x－2)2＋16(x－2)·eq\f(1,6)[my－(x－2)]－y2＝0，4(x－2)2＋eq\f(8,3)(x－2)my－eq\f(8,3)(x－2)2－y2＝0，两边同时除以(x－2)2，得eq\f(4,3)＋eq\f(8m,3)·eq\f(y,x－2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x－2)))eq\s\up12(2)＝0，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x－2)))eq\s\up12(2)－eq\f(8m,3)·eq\f(y,x－2)－eq\f(4,3)＝0.kMA2＝eq\f(y1,x1－2)，kNA2＝eq\f(y2,x2－2)，由根与系数的关系得kMA2·kNA2＝－eq\f(4,3).②由①②可得kMA1＝－3kNA2.lMA1：y＝kMA1(x＋2)＝－3kNA2(x＋2)，lNA2：y＝kNA2(x－2)．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－3kNA2（x＋2），,y＝kNA2（x－2），))解得x＝－1.所以点P在定直线x＝－1上．【素养提升】定点、定值与定线问题是高考的热点之一，考生在做题时应灵活应用已知条件，善于寻找题目中的隐含信息．九、圆锥曲线中的最值(或范围)问题1．最值问题的求解方法(1)建立函数模型，利用二次函数、三角函数的有界性求最值．(2)建立不等式模型，利用均值不等式求最值．(3)数形结合，利用相切、相交的几何性质求最值．2．求参数范围的常用方法典例9在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b≥1)的离心率e＝eq\f(\r(3),2)，且椭圆C上一点N到Q(0，3)的距离的最大值为4，过点M(3，0)的直线交椭圆C于A，B两点．(1)求椭圆C的方程；(2)设P为椭圆上一点，且满足eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝teq\o(OP,\s\up6(→))(O为坐标原点)，当|AB|<eq\r(3)时，求实数t的取值范围．[解](1)设椭圆C的半焦距为c，则e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(3,4)，即a2＝4b2，则椭圆C的方程为eq\f(x2,4b2)＋eq\f(y2,b2)＝1，即x2＋4y2＝4b2，设N(x0，y0)，则|NQ|＝eq\r(（x0－0）2＋（y0－3）2)＝eq\r(4b2－4yeq\o\al(2,0)＋（y0－3）2)＝eq\r(－3yeq\o\al(2,0)－6y0＋4b2＋9)＝eq\r(－3（y0＋1）2＋4b2＋12)，当y0＝－1时，|NQ|有最大值eq\r(4b2＋12)，所以eq\r(4b2＋12)＝4，解得b2＝1，a2＝4，故椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)易知A，B所在直线的斜率一定存在，所以设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x3，y3)，直线AB的方程为y＝k(x－3)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x－3），,\f(x2,4)＋y2＝1，))整理得(1＋4k2)x2－24k2x＋36k2－4＝0，则Δ＝(－24k2)2－16(9k2－1)(1＋4k2)>0，解得k2<eq\f(1,5)，x1＋x2＝eq\f(24k2,1＋4k2)，x1x2＝eq\f(36k2－4,1＋4k2)，由|AB|<eq\r(3)且|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|，得(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]<3，于是有(1＋k2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(242k4,（1＋4k2）2)－\f(4（36k2－4）,1＋4k2)))<3，化简，得(8k2－1)(16k2＋13)>0，则8k2－1>0，即k2>eq\f(1,8)，所以eq\f(1,8)<k2<eq\f(1,5).由eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝teq\o(OP,\s\up6(→))，得(x1＋x2，y1＋y2)＝t(x3，y3)，则x3＝eq\f(1,t)(x1＋x2)＝eq\f(24k2,t（1＋4k2）)，y3＝eq\f(1,t)(y1＋y2)＝eq\f(1,t)[k(x1＋x2)－6k]＝eq\f(－6k,t（1＋4k2）)，而点P在椭圆上，即eq\f(（24k2）2,t2（1＋4k2）2)＋eq\f(144k2,t2（1＋4k2）2)＝4，化简，得36k2＝t2(1＋4k2)，从而有t2＝eq\f(36k2,1＋4k2)＝9－eq\f(9,1＋4k2)，而eq\f(3,2)<1＋4k2<eq\f(9,5)⇔5<eq\f(9,1＋4k2)<6，于是得3<t2<4，解得－2<t<－eq\r(3)或eq\r(3)<t<2，故实数t的取值范围为(－2，－eq\r(3))∪(eq\r(3)，2)．【素养提升】解析几何中求解最值(或范围)问题的基本方法之一是函数方法，即建立求解目标的函数关系(自变量可以是直线的斜率、点的横坐标等)，然后通过研究函数的性质得出函数的最值(或范围)．十、圆锥曲线中的存在性问题1．解决存在性问题的关键点求解存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在．(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论．(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设结论成立，再推出条件．2．存在性问题的解题步骤典例10如图，椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)经过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，离心率e＝eq\f(1,2)，直线l的方程为x＝4.(1)求椭圆C的方程；(2)AB是经过椭圆C的右焦点F的任一弦(不经过点P)，设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3.问：是否存在常数λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．[解](1)由Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))在椭圆上，得eq\f(1,a2)＋eq\f(9,4b2)＝1，①依题意知a＝2c，则b2＝3c2，②将②代入①，解得c2＝1，a2＝4，b2＝3.故椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)解法一：由题意可知，直线AB的斜率一定存在，所以设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y＝k(x－1)，③代入椭圆方程3x2＋4y2＝12，并整理，得(4k2＋3)x2－8k2x＋4(k2－3)＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1＋x2＝eq\f(8k2,4k2＋3)，x1x2＝eq\f(4（k2－3）,4k2＋3)，④在方程③中令x＝4，得M的坐标为(4，3k)．从而k1＝eq\f(y1－\f(3,2),x1－1)，k2＝eq\f(y2－\f(3,2),x2－1)，k3＝eq\f(3k－\f(3,2),4－1)＝k－eq\f(1,2).因为A，F，B三点共线，所以有k＝kAF＝kBF，即eq\f(y1,x1－1)＝eq\f(y2,x2－1)＝k，所以k1＋k2＝eq\f(y1－\f(3,2),x1－1)＋eq\f(y2－\f(3,2),x2－1)＝eq\f(y1,x1－1)＋eq\f(y2,x2－1)－eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x1－1)＋\f(1,x2－1)))＝2k－eq\f(3,2)·eq\f(x1＋x2－2,x1x2－（x1＋x2）＋1)，⑤将④代入⑤，得k1＋k2＝2k－eq\f(3,2)·eq\f(\f(8k2,4k2＋3)－2,\f(4（k2－3）,4k2＋3)－\f(8k2,4k2＋3)＋1)＝2k－1，又k3＝k－eq\f(1,2)，所以k1＋k2＝2k3.故存在常数λ＝2符合题意．解法二：设B(x0，y0)(x0≠1)，则直线FB的方程为y＝eq\f(y0,x0－1)(x－1)，令x＝4，得Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(3y0,x0－1)))，从而直线PM的斜率为k3＝eq\f(2y0－x0＋1,2（x0－1）)，联立方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(y0,x0－1)（x－1），,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))得[3(x0－1)2＋4yeq\o\al(2,0)]x2－8yeq\o\al(2,0)x＋4yeq\o\al(2,0)－12(x0－1)2＝0，又3xeq\o\al(2,0)＋4yeq\o\al(2,0)＝12，所以(5－2x0)x2－(8－2xeq\o\al(2,0))x＋x0(8－5x0)＝0，则x0xA＝eq\f(x0（8－5x0）,5－2x0)，得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5x0－8,2x0－5)，\f(3y0,2x0－5)))，则直线PA的斜率为k1＝eq\f(2y0－2x0＋5,2（x0－1）)，直线PB的斜率为k2＝eq\f(2y0－3,2（x0－1）)，所以k1＋k2＝eq\f(2y0－2x0＋5,2（x0－1）)＋eq\f(2y0－3,2（x0－1）)＝eq\f(2y0－x0＋1,x0－1)＝2k3，故存在常数λ＝2符合题意．【素养提升】本题(1)中仔细审题，找到a，b，c的关系即可求解；(2)中两种思路各有千秋，由于引入的参变量不同，导致解题思路不同，这就要求考生在解题时要学会恰当地引入参变量以简化解题过程．

第二章单元质量测评基础题(占比60%)中档题(占比30%)拔高题(占比10%)题号12345678910难度★★★★★★★★★★★★★考点由两直线平行求参数椭圆方程中的参数问题由两直线交点的位置求参数的取值范围圆上一点到直线的距离的最值抛物线的实际应用双曲线与椭圆的综合问题双曲线与抛物线的几何性质圆的弦长问题；与圆上动点有关的距离最值问题圆上一点到直线的距离的最值双曲线的几何性质；直线与双曲线的公共点个数题号111213141516171819难度★★★★★★★★★★★★★★★★★考点抛物线的焦点弦；直线与圆相切直线的平移变换；由两直线垂直求直线的方程两圆相交的公共弦问题；直线过定点问题求双曲线的离心率求直线的方程；求点到直线的距离由直线与圆的位置关系求参数的取值范围；由两圆的位置关系求参数的取值范围直线与双曲线的位置关系的综合问题与抛物线有关的定值问题；与抛物线有关的定直线问题与椭圆有关的探索性问题eq\a\vs4\al()时间：120分钟eq\a\vs4\al()满分：150分一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若直线2x＋my－3＝0与mx＋8y－6＝0互相平行，则m＝()A．4 B．－4C．±4 D．±2答案：B解析：因为直线2x＋my－3＝0与mx＋8y－6＝0互相平行，所以m2＝16，得m＝±4.当m＝4时，两直线重合，不符合题意；当m＝－4时，符合题意．综上，m＝－4.2．“1<m<3”是“方程eq\f(x2,m－1)＋eq\f(y2,3－m)＝1表示椭圆”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：B解析：当m＝2时，方程eq\f(x2,m－1)＋eq\f(y2,3－m)＝1为x2＋y2＝1，该方程表示圆，即充分性不成立；若方程eq\f(x2,m－1)＋eq\f(y2,3－m)＝1表示椭圆，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－1>0，,3－m>0，,m－1≠3－m，))解得1<m<3且m≠2，即必要性成立．故选B.3．若直线2x－y＋m＝0和直线3x－y＋3＝0的交点在第二象限，则m的取值范围为()A．(－∞，3)B．(2，＋∞)C．(－∞，2)∪(3，＋∞)D．(2，3)答案：D解析：联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y＋m＝0，,3x－y＋3＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝m－3，,y＝3m－6，))所以交点为(m－3，3m－6)，由于点(m－3，3m－6)在第二象限，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－3<0，,3m－6>0，))得2<m<3，所以m的取值范围为(2，3)．故选D.4．已知定点A(3，4)，P为圆x2＋y2＝4上的动点，Q为直线x＋y－4＝0上的动点．当|PQ|取最小值时，设△PAQ的面积为S，则S＝()A.eq\f(4＋\r(2),2) B.eq\f(4－\r(2),2)C.eq\f(2＋\r(2),2) D.eq\f(2－\r(2),2)答案：D解析：圆x2＋y2＝4的圆心为原点，半径为2，过原点且与直线x＋y－4＝0垂直的直线的方程为x－y＝0，则点A(3，4)到直线x－y＝0的距离为eq\f(|3－4|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).又因为原点到直线x＋y－4＝0的距离为eq\f(|－4|,\r(2))＝2eq\r(2)，所以|PQ|的最小值为2eq\r(2)－2，则S＝eq\f(1,2)×(2eq\r(2)－2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(2－\r(2),2).故选D.5．如图1是两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的内侧曲线呈抛物线型，两栋建筑第八层由一条长60m的连桥连接，在该抛物线两侧距连桥150m处各有一窗户，两窗户的水平距离为30m，如图2，则此抛物线的顶端O到连桥AB的距离为()A．240m B．220mC．200m D．180m答案：C解析：如图所示，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝ny，D(15，y0)，B(30，y0－150)，将点D，B的坐标分别代入抛物线方程，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ny0＝225，,ny0－150n＝900，))解得n＝－eq\f(9,2)，故抛物线方程为x2＝－eq\f(9,2)y，当x＝30时，y＝－200，即此抛物线的顶端O到连桥AB的距离为200m.6．设椭圆C1的离心率为eq\f(5,13)，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为()A.eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1 B.eq\f(x2,169)－eq\f(y2,25)＝1C.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1 D.eq\f(x2,169)－eq\f(y2,144)＝1答案：A解析：对于椭圆C1，∵长轴长2a1＝26，∴a1＝13，又其离心率e1＝eq\f(c1,a1)＝eq\f(5,13)，∴c1＝5.由题意知曲线C2为双曲线，且与椭圆C1同焦点，∴c2＝5，又2a2＝8，∴a2＝4，b2＝eq\r(ceq\o\al(2,2)－aeq\o\al(2,2))＝3.又焦点在x轴上，故曲线C2的标准方程为eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1.故选A.7．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C，D两点，若|CD|＝eq\r(2)|AB|，则双曲线的离心率为()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C．2 D．3答案：A解析：设双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)与抛物线y2＝2px(p>0)的公共焦点为(c，0)，则抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－c，令x＝－c，则eq\f(c2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，解得y＝±eq\f(b2,a)，所以|AB|＝eq\f(2b2,a)，又因为双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，所以|CD|＝eq\f(2bc,a)，所以eq\f(2bc,a)＝eq\f(2\r(2)b2,a)，即c＝eq\r(2)b，所以a2＝c2－b2＝eq\f(1,2)c2，所以双曲线的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(2).故选A.8．已知A，B为圆O：x2＋y2＝4上的两动点，|AB|＝2eq\r(3)，点P是圆C：(x＋3)2＋(y－4)2＝1上的一点，则|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))|的最大值是()A．10 B．12C．14 D．16答案：C解析：设M是AB的中点，因为|AB|＝2eq\r(3)，所以|OM|＝eq\r(4－3)＝1，即M在以O为圆心，1为半径的圆上．因为eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝2eq\o(PM,\s\up6(→))，所以|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))|＝2|eq\o(PM,\s\up6(→))|.又|PO|max＝|OC|＋1＝eq\r(32＋42)＋1＝6，所以|PM|max＝|PO|max＋1＝6＋1＝7，所以|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))|max＝2×7＝14.故选C.二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9．已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则()A．点P到直线AB的距离小于10B．点P到直线AB的距离大于2C．当∠PBA最小时，|PB|＝3eq\r(2)D．当∠PBA最大时，|PB|＝3eq\r(2)答案：ACD解析：圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5，5)，由题易知直线AB的方程为eq\f(x,4)＋eq\f(y,2)＝1，即x＋2y－4＝0，则圆心M到直线AB的距离d＝eq\f(|5＋2×5－4|,\r(5))＝eq\f(11,\r(5))>4，所以直线AB与圆M相离，所以点P到直线AB的距离的最大值为4＋d＝4＋eq\f(11,\r(5))，4＋eq\f(11,\r(5))<5＋eq\r(\f(125,5))＝10，故A正确；易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝eq\f(11,\r(5))－4，eq\f(11,\r(5))－4<eq\r(\f(125,5))－4＝1，故B不正确；过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ，则当∠PBA最小时，点P与点N重合，|PB|＝eq\r(|MB|2－|MN|2)＝eq\r(52＋（5－2）2－42)＝3eq\r(2)，当∠PBA最大时，点P与点Q重合，|PB|＝3eq\r(2)，故C，D正确．故选ACD.10．已知双曲线C过点(3，eq\r(2))且渐近线方程为y＝±eq\f(\r(3),3)x，则下列结论正确的是()A．双曲线C的方程为eq\f(x2,3)－y2＝1B．双曲线C的离心率为eq\r(3)C．曲线y＝ex－2－1经过双曲线C的一个焦点D．直线x－eq\r(2)y－1＝0与双曲线C有两个公共点答案：AC解析：对于A，由已知y＝±eq\f(\r(3),3)x，可得y2＝eq\f(1,3)x2，从而设所求双曲线的方程为eq\f(1,3)x2－y2＝λ，又由双曲线C过点(3，eq\r(2))可得eq\f(1,3)×32－(eq\r(2))2＝λ，即λ＝1，故双曲线C的方程为eq\f(x2,3)－y2＝1，故A正确；对于B，由双曲线C的方程可知a＝eq\r(3)，b＝1，c＝2，从而双曲线C的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,\r(3))＝eq\f(2\r(3),3)，故B错误；对于C，因为双曲线C的右焦点的坐标为(2，0)，满足y＝ex－2－1，故C正确；对于D，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－\r(2)y－1＝0，,\f(x2,3)－y2＝1，))整理，得y2－2eq\r(2)y＋2＝0，由Δ＝(－2eq\r(2))2－4×2＝0，知直线与双曲线C只有一个公共点，故D错误．故选AC.11．已知O为坐标原点，M(2，2)，P，Q是抛物线C：y2＝2px(p>0)上两点，F为其焦点，若F到准线的距离为2，则下列说法正确的是()A．△PMF周长的最小值为2eq\r(5)B．若eq\o(PF,\s\up6(→))＝λeq\o(FQ,\s\up6(→))，则|PQ|的最小值为4C．若直线PQ过点F，则直线OP，OQ的斜率之积恒为－2D．若△POF的外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆的面积为eq\f(9π,4)答案：BD解析：因为F到准线的距离为2，所以p＝2，所以抛物线C：y2＝4x，F(1，0)，|MF|＝eq\r(（2－1）2＋（2－0）2)＝eq\r(5)，准线l：x＝－1.对于A，过P作PN⊥l，垂足为N，则|PF|＋|PM|＝|PN|＋|PM|≥3(当且仅当P，M，N三点共线时取等号)，所以△PMF周长的最小值为3＋eq\r(5)，故A不正确；对于B，若eq\o(PF,\s\up6(→))＝λeq\o(FQ,\s\up6(→))，则弦PQ过F，过P作l的垂线，垂足为P′，过Q作l的垂线，垂足为Q′，设PQ的中点为G，过G作GG′⊥l，垂足为G′，则|PQ|＝|PF|＋|QF|＝|PP′|＋|QQ′|＝2|GG′|≥2×2＝4，即|PQ|的最小值为4，故B正确；对于C，若直线PQ过点F，设直线PQ：x＝my＋1，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝my＋1，,y2＝4x，))消去x得y2－4my－4＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，所以kOP·kOQ＝eq\f(y1,x1)·eq\f(y2,x2)＝eq\f(4,y1)·eq\f(4,y2)＝eq\f(16,－4)＝－4，故C不正确；对于D，因为OF为外接圆的弦，所以圆心的横坐标为eq\f(1,2)，因为△POF的外接圆与抛物线C的准线相切，所以圆的半径为1＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，所以该圆的面积为π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(9π,4)，故D正确．故选BD.三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中的横线上)12．若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，请写出一条与l垂直的直线的方程：________．答案：y＝3x(答案不唯一)解析：设直线的方程为Ax＋By＋C＝0，变换后得A(x＋3)＋B(y－1)＋C＝0，即Ax＋By＋C＋3A－B＝0，故3A－B＝0.一条与l垂直的直线的方程为Bx－Ay＝0，即y＝3x.13．已知圆C1：x2＋y2－kx＋2y＝0与圆C2：x2＋y2＋ky－4＝0的公共弦所在的直线恒过定点P(a，b)，且点P在直线mx－ny－2＝0上(m>0，n>0)，则mn的最大值是________．答案：eq\f(1,4)解析：由圆C1：x2＋y2－kx＋2y＝0与圆C2：x2＋y2＋ky－4＝0，将两圆的方程相减可得kx＋(k－2)y－4＝0，即公共弦所在直线的方程为kx＋(k－2)y－4＝0，又kx＋(k－2)y－4＝0可变形为k(x＋y)－2(y＋2)＝0，令eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝0，,y＋2＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－2，))则公共弦所在的直线恒过定点(2，－2)，即P(2，－2)，又点P在直线mx－ny－2＝0上，则m＋n＝1，则mn≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m＋n,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4)，当且仅当m＝n＝eq\f(1,2)时取等号，即mn的最大值为eq\f(1,4).14．如图，F1，F2分别为双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，且|F1F2|＝2，若双曲线C的右支上存在点P，使得PF1⊥PF2，设直线PF2与y轴交于点A，且△APF1内切圆的半径为eq\f(1,2)，则|PF1|＋|PA|－|AF1|＝________，双曲线C的离心率为________．答案：12解析：因为PF1⊥PF2，且△APF1内切圆的半径为eq\f(1,2)，所以|PF1|＋|PA|－|AF1|＝2r＝1，所以|PF2|＋2a＋|PA|－|AF1|＝1，所以|AF2|－|AF1|＝1－2a，由图形的对称性，可知|AF2|＝|AF1|，所以a＝eq\f(1,2).又|F1F2|＝2，所以2c＝2，即c＝1，所以双曲线C的离心率e＝eq\f(c,a)＝2.四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分13分)已知△ABC的三个顶点分别是A(－1，4)，B(－2，－1)，C(2，3)．(1)求BC边上的高所在直线的方程；(2)求△ABC的面积．解：(1)设BC边上的高所在的直线为l，由题意知kBC＝eq\f(3－（－1）,2－（－2）)＝1，则kl＝eq\f(－1,kBC)＝－1.又点A(－1，4)在直线l上，所以直线l的方程为y－4＝－(x＋1)，即x＋y－3＝0，即BC边上的高所在直线的方程为x＋y－3＝0.(2)BC边所在直线的方程为y＋1＝x＋2，即x－y＋1＝0.点A(－1，4)到直线BC的距离d＝eq\f(|－1－4＋1|,\r(12＋（－1）2))＝2eq\r(2).又|BC|＝eq\r(（－2－2）2＋（－1－3）2)＝4eq\r(2)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)|BC|·d＝eq\f(1,2)×4eq\r(2)×2eq\r(2)＝8.16．(本小题满分15分)已知圆C与y轴相切，且在x轴上的截距之和是6，圆心在直线2x－3y＝0上．(1)求圆C的方程；(2)若圆C上恰有两个点到直线x＋y＋m＝0的距离为2，求实数m的取值范围；(3)若圆M：x2＋(y＋2)2＝a2(a>0)与圆C有公共点，求实数a的取值范围．解：(1)由圆C在x轴上的截距之和是6知，圆心C在直线x＝3上，代入2x－3y＝0，得圆心C(3，2)．又圆C与y轴相切，所以圆C的半径r＝3.所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝9.(2)圆心C(3，2)到直线x＋y＋m＝0的距离d＝eq\f(|5＋m|,\r(2)).由题意，得eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(|5＋m|,\r(2))－3))<2，解得－5－5eq\r(2)<m<－5－eq\r(2)或－5＋eq\r(2)<m<－5＋5eq\r(2).(3)若圆M：x2＋(y＋2)2＝a2与圆C有公共点，则|a－3|≤|MC|≤|a＋3|.又|MC|＝5，所以|a－3|≤5≤|a＋3|，解得2≤a≤8.所以实数a的取值范围是[2，8]．17．(本小题满分15分)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2，0)，右顶点为(eq\r(3)，0)．(1)求双曲线C的方程；(2)若直线y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与双曲线C交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过点A(0，－1)，求实数m的取值范围．解：(1)设双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)．由已知，得a＝eq\r(3)，c＝2.由a2＋b2＝c2，得b2＝1.故双曲线C的方程为eq\f(x2,3)－y2＝1.(2)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,3)－y2＝1，))得(1－3k2)x2－6kmx－3m2－3＝0.∵直线与双曲线有两个不同的交点，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－3k2≠0，,Δ＝12（m2＋1－3k2）>0，))可得m2>3k2－1且k2≠eq\f(1,3).①设M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点为B(x0，y0)．则x1＋x2＝eq\f(6km,1－3k2)，x0＝eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(3km,1－3k2)，y0＝kx0＋m＝eq\f(m,1－3k2).由题意，知AB⊥MN，∴kAB＝eq\f(\f(m,1－3k2)＋1,\f(3km,1－3k2))＝－eq\f(1,k)(k≠0，m≠0)，整理得3k2＝4m＋1.②将②代入①，得m2－4m>0，∴m<0或m>4.又3k2＝4m＋1>0(k≠0)，∴m>－eq\f(1,4)，∴实数m的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，0))∪(4，＋∞)．18．(本小题满分17分)如图，已知抛物线C：x2＝4y，过点M(0，2)任作一直线与C交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO交于点D(O为坐标原点)．(1)证明：动点D在定直线上；(2)作C的任意一条切线l(不含x轴)，与直线y＝2交于点N1，与(1)中的定直线交于点N2.证明|MN2|2－|MN1|2为定值，并求此定值．解：(1)证明：依题意可设直线AB的方程为y＝kx＋2，代入x2＝4y，得x2－4kx－8＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x2＝－8，直线AO的方程为y＝eq\f(y1,x1)x，直线BD的方程为x＝x2.联立直线AO和BD的方程，解得交点D的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2，\f(y1x2,x1))).又x1x2＝－8，xeq\o\al(2,1)＝4y1，则有eq\f(y1x2,x1)＝eq\f(y1x1x2,xeq\o\al(2,1))＝eq\f(－8y1,4y1)＝－2，因此动点D在定直线y＝－2(x≠0)上．(2)依题意，知切线l的斜率存在且不等于0，设切线l的方程为y＝ax＋b(a≠0)，代入x2＝4y，得x2－4ax－4b＝0，由Δ＝0，得(－4a)2＋16b＝0，化简整理，得b＝－a2，故切线l的方程可写为y＝ax－a2.分别令y＝2，y＝－2，得N1，N2的坐标分别为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋a，2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,a)＋a，－2))，则|MN2|2－|MN1|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)－a))eq\s\up12(2)＋42－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋a))eq\s\up12(2)＝8，即|MN2|2－|MN1|2为定值8.19．(本小题满分17分)如图，椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝eq\f(1,2).过F1的直线交椭圆E于A，B两点，且△ABF2的周长为8.(1)求椭圆E的方程；(2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)因为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝8，即|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝8，而|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝2a，所以4a＝8，解得a＝2.又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，所以c＝eq\f(1,2)a＝1，所以b2＝a2－c2＝3.故椭圆E的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)设P(x0，y0)．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))消去y，整理得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P，所以m≠0，Δ＝64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，即4k