第7节　用空间向量研究线、面位置关系及距离

第7节用空间向量研究线、面位置关系及距离课标要求1.掌握空间位置关系（线线、线面、面面的平行与垂直）的向量表示方法，并能运用这些方法判断空间位置关系.2.理解并掌握空间距离（点到直线的距离、点到平面的距离）的向量求解方法，能熟练运用这些方法计算空间距离.3.通过对空间向量在研究线面位置关系及距离中的应用，提升空间想象能力和逻辑推理能力，增强运用数学知识解决实际问题的能力.目录/CONTENTS考点一空间位置关系的向量表示01考点二空间距离02课时跟踪训练0301PART考点一空间位置关系的向量表示1.

直线的方向向量与平面的法向量（1）直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l

平行或重合，称此向量a为直线l的方向向量；（2）平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，称向量a为平面α

的法向量.2.

空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2l1∥l2u1∥u2⇔

∃λ∈R，使得u1＝λu2l1⊥l2u1⊥u2⇔

＝0直线l的方向向量为u，平面α的法向量为nl∥αu⊥n⇔

u·n＝0l⊥αu∥n⇔

∃λ∈R，使得u＝λn平面α，β的法向量分别为n1，n2α∥βn1∥n2⇔

∃λ∈R，使得n1＝λn2α⊥βn1⊥n2⇔

n1·n2＝0u1·u2

在正方体ABCD-A'B'C'D'中，点E，F分别是底面A'B'C'D'和侧面

B'C'CB的中心.求证：（1）AC'⊥平面A'BD；证明：以D'A'，D'C'，D'D所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角

坐标系，设正方体ABCD-A'B'C'D'的边长为a，则A（a，0，a），B（a，a，a），D（0，0，a），C'（0，a，

0），A'（a，0，0），

因为A'B⊂平面A'BD，A'D⊂平面A'BD，A'B∩A'D＝A'，所以AC'⊥平面A'BD.

（2）EF∥平面A'BD；

（3）平面B'EF∥平面A'BD.

规律方法利用空间向量证明平行、垂直的一般步骤

练1如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点.证明：（1）BE⊥DC；证明：依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系（如

图），可得B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P

（0，0，2）.由E为棱PC的中点，得E（1，1，1）.

练1如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点.证明：（1）BE⊥DC；

（2）BE∥平面PAD；

（3）平面PCD⊥平面PAD.

02PART考点二空间距离

2.

点到平面的距离

3.

直线到平面的距离、平面到平面的距离都可以转化为点到平面的距离.

角度1

点到直线的距离

（2026·山西运城期末）已知A（3，1，0），B（5，2，2），C

（2，0，3），则点C到直线AB的距离为（

）B.3C.4√

规律方法角度2

点到平面的距离

已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F

分别为AB，BC的中点.（1）求点D到平面PEF的距离；解：建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，

（2）求直线AC到平面PEF的距离.

规律方法利用向量法求点B到平面α的距离的步骤

练2如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A＝2AB＝2BC＝2，E为棱

DD1的中点，F为棱BB1的中点.（1）证明FC1∥AE，并求直线FC1到直线AE的距离；解：证明：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A（1，0，0），E（0，0，1），A1（1，0，2），C1（0，1，2），B1

（1，1，2），F（1，1，1）.

（2）求点A1到平面AB1E的距离.

03PART课时跟踪检测（时间：60分钟，满分：91分）

[备注：单选、填空题5分，多选题6分]

1.

若M（1，0，－1），N（2，1，2）在直线l上，则直线l的一个方向向

量是（

）A.

（2，2，6）B.

（1，2，3）C.

（3，1，1）D.

（－3，0，1）

1234567891011121314√2.

已知直线a的方向向量为a，平面α的法向量为n，下列结论成立的是

（

）A.

若a∥n，则a∥αB.

若a⊥n，则a⊥αC.

若a∥n，则a⊥αD.

若a⊥n，则a∥α解析：

因为直线a的方向向量为a，平面α的法向量为n，若a∥n，则

a⊥α，故A错误，C正确；若a⊥n，则a∥α或a⊂α，故B、D错误.故选C.

√1234567891011121314

A.1

√12345678910111213144.

已知A（1，2，0），B（3，1，2），C（2，0，4），则点C到直线

AB的距离为（

）A.2

√1234567891011121314

A.

l⊥αB.α⊥βC.

l与m为相交直线或异面直线√√1234567891011121314

1234567891011121314

√√√1234567891011121314

1234567891011121314

12345678910111213147.

在空间直角坐标系中，a＝（1，2，1）为直线l的一个方向向量，n＝

（2，t，4）为平面α的一个法向量，且l∥α，则t＝

⁠.解析：因为l∥α，所以a＝（1，2，1）与n＝（2，t，4）垂直，故a·n

＝（1，2，1）·（2，t，4）＝2＋2t＋4＝0，解得t＝－3.－312345678910111213148.

（2026·河南商丘期末）已知平面α的法向量为m＝（2，3，5），直线

l在平面α外，且其方向向量n＝（1，1，－1），则直线l与平面α的位置关

系为

⁠.解析：因为m·n＝（2，3，5）·（1，1，－1）＝2＋3－5＝0，所以

m⊥n，所以l⊂α或l∥α.因为l⊄α，所以l∥α.l∥α1234567891011121314

1234567891011121314

123456789101112131410.

（13分）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝

4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的

中点.证明：（1）B1D⊥平面ABD；1234567891011121314

1234567891011121314（2）平面EGF∥平面ABD.

1234567891011121314

A.

（1，1，1）√1234567891011121314

1234567891011121314

A.

当λ＝1时，△AB1P的周长为定值B.

当μ＝1时，三棱锥P-A1BC的体积为定值√√1234567891011121314

1234567891011121314

1234567891011121314

1234567891011121314

123456789101112131414.

（15分）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段

A1B