第5节　椭圆教学课件

第5节椭圆课标要求1.

了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.

经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质.3.

通过椭圆的学习，进一步体会数形结合的思想.4.

了解椭圆的简单应用.目录/CONTENTS夯实必备知识01研透核心考点02课时跟踪检测0301PART夯实必备知识

知识梳理

1.

椭圆的定义条件结论1结论2平面内的动点M与平面内的

两个定点F1，F2M点的轨迹为椭圆

⁠为椭圆的焦

点；

⁠为椭圆的

焦距｜MF1｜＋｜MF2｜＝2a2a＞｜F1F2｜提醒：若2a＝｜F1F2｜，则动点的轨迹是线段F1F2；若2a＜｜F1F2｜，

则动点的轨迹不存在.F1，F2

｜F1F2｜

2.

椭圆的标准方程和几何性质标准方程图形

标准方程性质范围－a≤x≤a；－b≤y≤b－b≤x≤b；－a≤y≤a对称性对称轴：

⁠；对称中心：（0，0）顶点A1（－a，0），A2（a，

0）；B1（0，－b），B2

（0，b）A1（0，－a），A2（0，a）；

B1（－b，0），B2（b，0）x轴、y轴

标准方程性质轴长轴A1A2的长为

⁠；短轴B1B2的长为

⁠焦距｜F1F2｜＝

⁠离心率e＝

，e∈（0，1）a，b，c的关系a2＝

⁠2a

2b

2c

b2＋c2

椭圆的焦点三角形椭圆上的点P（x0，y0）与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角

形，如图所示，设∠F1PF2＝θ：（1）△PF1F2的周长为2a＋2c；（2）｜PF1｜max＝a＋c，｜PF1｜min＝a－c；

（5）4c2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜｜PF2｜cos

θ.

诊断自测

1.

判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.

（

×

）（2）椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.

（

×

）（3）方程mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n）表示的曲线是椭圆.

（

√

）

××√√

A.20B.14√

A.3C.2√

A.

（3，4）B.

（3，5）C.

（4，5）D.

（3，4）∪（4，5）√

5.

〔多选〕已知椭圆的焦距是8，离心率等于0.8，则（

）A.

长轴的长为10B.

短半轴的长为6C.

焦点坐标可以是（0，4）√√√

02PART研透核心考点椭圆的定义及应用（师生共研过关）

（1）（2026·海南海口模拟）如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内

一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于

点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是（

A

）AA.

椭圆B.

双曲线C.

抛物线D.

圆解析：

连接QA（图略）.由已知得｜QA｜＝｜QP｜，所以｜QO｜

＋｜QA｜＝｜QO｜＋｜QP｜＝｜OP｜＝r.又因为点A在圆内，所

以｜OA｜＜｜OP｜，根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，

r为长轴长的椭圆.故选A.

A.1B.2C.4D.5B

椭圆定义的应用技巧（1）椭圆定义的应用主要有：判断平面内动点的轨迹是否为椭圆，求焦

点三角形的周长、面积及椭圆的弦长、最值等；（2）与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、｜

PF1｜＋｜PF2｜＝2a，得到a，c的关系.训练1

（1）已知两圆C1：（x－4）2＋y2＝169，C2：（x＋4）2＋y2＝9.

动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨

迹方程是（

D

）D

A.6B.12C

椭圆的标准方程（师生共研过关）

求椭圆标准方程的常用方法（1）定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆

方程；（2）待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点

在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，

n＞0，m≠n），不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可.

A

D

椭圆的几何性质（师生共研过关）

B

（2）〔多选〕（2026·湖南长沙适应性考试）某彗星的运行轨道是以太阳

为一个焦点的椭圆.测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）与太阳中心

的距离为d1，远日点（距离太阳最远的点）与太阳中心的距离为d2，并且

近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，则（

BC

）A.

轨道的焦距为d2＋d1BC

A

（2）（2025·浙江宁波一模）已知椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，过

上顶点A作直线AF2交椭圆于另一点B.

若｜AB｜＝｜F1B｜，则椭圆C

的离心率为（

C

）C

最值（范围）问题（师生共研过关）

D.2A

C

与椭圆性质有关的最值（范围）问题的求解策略策略1：利用椭圆的几何意义，尤其是椭圆的对称性、焦点三角形、长轴

长、短轴长、近焦点、远焦点等；策略2：利用函数，尤其是二次函数；策略3：利用不等式，尤其是椭圆中x，y的范围；

C

A.

（0，8]B.

（0，16]C.

[0，8]D.

[0，16]D

03PART课时跟踪检测（时间：60分钟，满分：97分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]

1.

若椭圆的焦点在x轴上且经过点（－4，0），焦距为6，则该椭圆的标准

方程为（

）123456789101112131415√

A.4B.8C.4或8D.12√解析：

当焦点在x轴上时，10－m＞m－2＞0，10－m－（m－2）＝

4，∴m＝4.当焦点在y轴上时，m－2＞10－m＞0，m－2－（10－m）

＝4，∴m＝8.∴m＝4或8.1234567891011121314153.

已知椭圆的长轴长为10，短轴长为8，则椭圆上任意一点P到椭圆中心

O的距离的取值范围是（

）A.

[4，5]B.

[6，8]C.

[6，10]D.

[8，10]√

1234567891011121314154.

（2026·湖北武汉二调）直线3x＋2y＝6经过椭圆m2x2＋n2y2＝1的两个

顶点，则该椭圆的离心率为（

）√

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√123456789101112131415

123456789101112131415

A.

C的焦距为2D.

△ABF2的周长为8√√√123456789101112131415

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解析：根据椭圆的对称性及｜PQ｜＝｜F1F2｜可以得到四边形PF1QF2为

对角线相等的平行四边形，所以四边形PF1QF2为矩形.设｜PF1｜＝m，

则｜PF2｜＝2a－｜PF1｜＝8－m，则｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝m2＋（8－

m）2＝2m2＋64－16m＝｜F1F2｜2＝4c2＝4（a2－b2）＝48，得m（8－

m）＝8，所以四边形PF1QF2的面积为｜PF1｜×｜PF2｜＝m（8－m）

＝8.8

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（1）求椭圆C的离心率；123456789101112131415

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√123456789101112131415

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√123456789101112131415

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√√√123456789101112131415

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（1）求C的离心率；123456789101112131415

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