微专题　极值点偏移

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微专题极值点偏移1.

极值点不偏移

（图1无偏移，左右对称，如二次函数）若f（x1）＝f（x2），则x1＋x2＝

2x0.2.

极值点偏移

（图2左陡右缓，极值点向左偏移）若f（x1）＝f（x2），则x1＋x2＞2x0；（图3左缓右陡，极值点向右偏移）若f（x1）＝f（x2），则x1＋x2＜2x0.

对称化构造函数求解极值点偏移问题

已知函数f（x）＝xln

x－x＋1，若方程f（x）＝b有两个不相等的

实数根x1，x2，求证：x1x2＜1.

对称化构造辅助函数（1）对结论x1＋x2＞2x0型，构造函数F（x）＝f（x）－f（2x0－x）；

比（差）值换元求解极值点偏移问题

易知x2＞1，2－x1＞1，因为g（x）在（1，＋∞）上单调递增，所以只需证明g（x1）＝g（x2）

＞g（2－x1）.设t（x）＝g（2－x）－g（x），x∈（0，1），则t'（x）＝－g'（2－x）－g'（x）＝－2ln（2－x）－2ln

x＝－2ln[（2－

x）x]＞0，故t（x）在（0，1）上单调递增，故t（x）＜0，所以t（x1）＝g（2－x1）－g（x1）＜0，则g（2－x1）＜g（x1）＝g（x2）.所以2－x1＜x2，即x1＋x2＞2得证.

证明：函数f（x）的定义域为（0，＋∞）.若f（x）有两个极值点x1，x

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