高考数学一轮复习 新思路 2.2 函数基本性质

2.2函数基本性质考向1函数的单调性与最值知识点函数单调性的定义1.定义:一般地，设函数的定义域为，区间，，当时，都有,那么就称函数在区间上单调递增;当时,都有,那么就称函数在区间上单调递减.2.定义域是函数的整体性质,单调性是函数的局部性质.若函数单调区间不止一个时,不能用“”书写,需要用“,”或“和”隔开.例如,的单调递减区间为.3.等价定义:①，若，则在区间上是增函数；②，若，则在区间上是减函数.③，且，若，则在区间上是增函数；④，且，若，则在区间上是减函数.4.函数单调性的运算:①增函数十增函数=增函数，减函数+减函数=减函数，增函数一减函数=增函数，减函数一增函数=减函数；②函数与函数的单调性相反；③时，函数与的单调性相反（）；时,函数与的单调性相同.5.复合函数单调性讨论复合函数的单调性时要注意:①若在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数,则为增函数;②若在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数.列表如下: 增增增增减减减增减减减增复合函数单调性可简记为“同增异减”,即内外函数的单性相同时递增;单性相异时递减.例（2023·北京）下列函数中在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A.B.C.D.题型1函数单调性的判断例1（2026·榆阳区校级模拟）下列函数中是增函数的为（）A.B.C.D.题型2求函数的单调区间例2（2026·江西模拟）函数的一个单调递减区间为（）A.B.C.D.例3昭通模拟）已知且,则与的大小关系是（）A.B.C.D.题型3利用函数单调性解不等式例4（2026新齐哈尔二模）已知函数，则不等式的解集为例5（2026太月一模）已知函数的定义域为,若对于定义域内给定的任意,都有,则不等式的解集为A.B.C.D.题型4利用函数单调性求参数范围例6（2026·保定二模）若函数在上单调，则的取值范围是_____（）A.B.C.D.例7（2026·新余校级模拟）已知函数，其中为常数.若在上存在（个不同的点,满足，则实数的取值范围为_____.题型5抽象函数单调性例8（2025北京卷）关于定义域为的函数,以下说法正确的有_____.①存在在上单调递增的函数使得恒成立;②存在在上单调递减的函数使得恒成立;③使得恒成立的函数存在且有无穷多个;④使得恒成立的函数存在且有无穷多个.例9（多选·2026·山西模拟）已知是定义在上的非常值函数，当时，，对任意的,都有,若,则（）A.B.C.在上单调递减D.不等式的解集为例10（2026·临澧县校级模拟）定义在上的函数满足,且当时,,则（）A.B.C.D.题型6分段函数单调性函数,在上单调递增,则需满足三个条件:（1）在上单调增递增；（2）在上单调增递增；（3）．函数，在上单调增递减，则需满足三个条件：（1）在上单调增递减;（2）在上单调增递减;（3）.例11（2024·新高考1卷）已知函数为，在上单调递增，则取值的范围是（）A.B.C.D.例12（2026·镇雄县校级模拟）已知函数在上单调递减，则实数的（）A.B. C.D.例13（2026·庐阳区校级模拟）已知函数,若不等式对恒成立,则实数的取值范围是（）A.B.C.D.题型7函数单调的唯一性例14（2026·宁明县校级模拟）函数，若，则的最小值为_____.例15（多选·2026·江苏模拟）若函数是定义域为的单调函数，且对任意的,都有,且方程在区间上有两个不同解,则实数的取值可能为（）A.0B.1C.2D.3考向2函数的奇偶性知识点1函数奇偶性定义1.定义:偶函数,则,奇函数,则;2.函数奇偶性的几个重要结论（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.（2）函数，在它们的公共定义域上有下面的结论:同名加减不变，异名加减不可；同名乘除得偶，异名乘除得奇. 偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数（3）若奇函数的定义域包括0，则.（4）若函数是偶函数，则.（5）定义在上的任意函数都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和.（6）若函数的定义域关于原点对称，则:为偶函数，为奇，为偶函数.例（2024·天津）下列函数是偶函数的为（）A.B.C.D.知识点2常见奇偶的七大模型奇函数:“两指两对”;偶函数:“一指一对一绝”（1）奇函数:①函数或函数.②函数.③函数或函数④函数或.注意:关于①式,可以写成函数或函数.（2）偶函数:①函数.②函数.③函数类型的一切函数.题型8函数奇偶性的判断例16（2026·普陀区校级三模）下列函数中是奇函数的为（）A.B. C. D.例17（2026·丽江模拟）已知函数，则下列函数是奇函数的是（）A.B.C.D.例18（2026・萍乡一模）设和分别为上的偶函数和奇函数,若,则不等式的解集为（）A.B.C.D.例19（2026题型池州模拟）设函数的定义域为,若的图像与轴相交于点,则（）A.B. C.是奇函数D.是奇函数题型9利用函数奇偶性求参数例20（2026·东湖区校级一模）已知是定义在上的偶函数,那么的值是（）A.B.C.D.例21（2026・安庆二模）已知，函数为奇函数，则A.15 B.C.D.4题型10利用奇偶性求函数解析式例22（2025新课标II卷·多选）已知是定义在上的奇函数,时,2,则下列说法正确的是（）A.B.当时,C.当且仅当D.是的极大值点例23（2026·温州期中）已知奇函数则_____.例24（2026·阳江模拟）已知为奇函数,当时,,则集合可表示为（）A.B. C.D.题型11“”中值模型若函数奇函数,则我们把它称为准奇函数;求准奇函数最大值+最小值之和,我们把它叫做中值模型.（1）若为奇函数，则其最大值与最小值和为0，即；（2）若为奇函数，则；（3）常见考向奇函数;妙解析案:例25（2018·新课标III）已知函数,则_____.例26（2026·黄州区校级二模）已知函数,则的值为A.1B.0C.-1D.-2题型12奇偶性图像分析例27（2024·甲卷）函数在区间的大致图像为（）例28（2026·文昌校级月考）我国著名数学家华罗庚先生曾说过:“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分离万事休.”在数学的学习和研究中，经常用函数的图像来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数图像的特征,如:函数的大致图像是（）例29（2026·浑南区校级期末）已知函数的部分图像如图所示，则的解析式可能为_____.A.B.C.D.题型13奇偶性单调性结合例30（2026·厦门模拟）下列函数中，与函数的奇偶性相同，且在上单调性也相同的是（）A.B.C.D.例31（2026·广州模拟）已知函数，若不等式在上恒成立,则实数的取值范围是（）A.B.C.D.拓展思维拓展1不动点与稳定点不动点对于函数,我们把方程的解称为函数的不动点,即与图像交点的横坐标.例如函数有一个不动点为1,函数的不动点.有两个不动点,1.稳定点对于函数,我们把方程的解称为函数的稳定点,即与图像交点的横坐标.很显然,若为函数的不动点,则必为函数的稳定点.证明:因为,所以,故也是函数的稳定点.例1求函数的稳定点.例2（多选）在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E.J.Brouwer），简单地讲，就是对于满足一定条件的连续函数,存在一个点,使得,那么我们称该函数为“不动点”函数,下列函数是“不动点”函数的是（）A.B.C.D.例3（2026题型嘉兴期末）设，且，函数.若函数有且仅有两个零点,则（）A.B.C.D.例4（2026·河南月考）对于定义在上的函数，如果存在实数使，那么叫做函数的一个不动点.若函数存在两个不动点,则实数的取值范围是A.B.C.D.例5（2026·广州月考）设函数,若曲线上存在点使得,则的取值范围是（）A.B.C.D.●拓展2悬链线——双曲正弦、余弦、正切函数以下是近年常考的三个常见的双曲函数表达式:双曲正弦:,①奇函数;②上单调递增.双曲余弦:,①偶函数;②.双曲正切:,①奇函数;②上单调递增.由于极具迷惑性的外表，与良好的对称性质，深受各地模考题的偏爱.例6（多选・2026・项城市校级月考）湖南矮寨特大悬索桥,创造了4个世界第一,堪称世界建桥史上的经典之作.它的两个主塔之间的悬索可近似看作一条“悬链线”,通过适当建立坐标系,悬链线可以为双曲余弦函数的图像,相应的双曲正弦函数为,则下列说法正确的是A.B.是偶函数C.函数的值域为D.当直线与和共有3个交点时,例7（2026·ニ七区校级期末）意大利画家达芬奇提出:固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂,那么项链所形成的曲线是什么?1691年,莱布尼茨等学者研究得出这就是著名的“悬链线问题”,现如今,作为神经网络激活函数之一,广泛应用在“deepseek”、“豆包”等大模型中.双曲余弦函数,就是一种特殊的悬链线函数,类似的,我们可以定义双曲正弦函数,设函数（1）判断的奇偶性并证明;（2）判断在上的单调性（写出推理过程，无需严格证明）;（3）若实数满足不等式，求的取值范围.例8（2026·南京二模）悬链线出现在建筑领域，最早是由十七世纪英国杰出的科学家罗伯特·胡克提出的,他认为当悬链线自然下垂时,处于最稳定的状态,反之如果把悬链线反方向放置,它也应该是一种稳定的状态,后来由此演变出了悬链线拱门,其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数,它在一定程度上和三角函数性质相当,其函数表达式为,相应的双曲正弦函数的表达式为.（1）求的值:（2）证明:（i）;（ii）;（iii）.（3）写出的最简表达式（结果用含，，，的式子表达）.拓展3琴生不等式1.琴生不等式（1）琴生不等式若是区间上的凹函数,则对任意的,有不等式当且仅当时等号成立凹凸性判断:如果函数在区间上二阶可导,则在区间凸函数的充要条件是;则在区间凹函数的充要条件是（2）加权琴生不等式的二维形式在区间上连续,对上任意两点,且为正实数①如果在区间上是下凸函数，恒有②如果在区间上是上凸函数，恒有当且仅当时等号成立2.琴生不等式的证明下面以