微专题　空间几何体的截面与交线问题

微专题空间几何体的截面与交线问题

在立体几何中，把空间问题转化为平面问题，历来是立体几何的一个

基本问题.过已知不共线三点，作几何体的截面，既是转化为平面问题的

一个方法，也是深化理解空间点、线、面关系的一个很好的途径.

截面问题角度1

直接法作截面

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，Q为平面A1ABB1内一点，画出过A1，C1，Q三点的截面.解：连接A1Q并延长，交BB1于点P，连接A1C1，C1P，则平面A1PC1就

是过A1，C1，Q三点的截面.

若截面上的点都在几何体的面上，且两两在同一个平面内，可借助基

本事实“如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平

面内”，直接连线作截面.角度2

平行线法作截面

（1）在三棱锥P-ABC中，AB＋2PC＝9，E为线段AP上靠近P的三

等分点，过E作平行于AB，PC的平面，则该平面截三棱锥P-ABC所得截

面的周长为（

B

）A.5B.6C.8D.9B

若截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何

体的某一个面平行，可以借助于两个性质：（1）如果一条直线平行于一

个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平

行；（2）如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平

行.利用平行线法作截面.角度3

延长线法作截面

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，Q分别为AB，BC，AA1的中

点，若AB＝2，画出过E，F，Q的截面，并求所得截面图形的周长.解：连接EF，得到平面EFQ和平面ABCD的交线，其余

交线由正方体的性质和平面的性质来判断，延长FE，EF，分别交DA，DC的延长线于G，H，则

G，Q都在平面AA1D1D内，连接GQ并延长交A1D1于点P，交DD1的延长线于点S，

若截面上的点中至少有两个点在几何体的一个表面上，可以借助于基

本事实“如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平

面内”，利用延长线法作截面.

交线问题

D

处理两面交线问题的方法

一要明确两面的类型，是平面还是曲面；二要判断哪些面之间相交，

交线是直线还是曲线.若截面与多面体相交，可用线面交点法找棱与截面

的交点，再作连接两交点的线段；若截面与旋转体相交，则可用面面交线

法找相交的曲线段，其中曲线段的端点一定是某一母线与截面的交点，曲

线段为圆锥曲线的一部分.

1.

已知球O的半径为5，点A到球心O的距离为3，则过点A的平面α被球

O所截的截面面积的最小值是（

）A.9πB.12πC.16πD.20π√

A.

三角形B.

四边形C.

五边形D.

六边形√解析：

先确定截面上的已知边与几何体上和其共面

的边的交点，再确定截面与几何体的棱的交点.如图，设

直线C1M，CD相交于点P，直线C1N，CB相交于点

Q，连接PQ交直线AD于点E，交直线AB于点F，则五

边形C1MEFN为所求截面图形.3.

如图，四棱锥S-ABCD的所有棱长都等于2，E为SA的中点，过C，

D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为（

）√

√

5.

已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α

截此正方体所得截面面积的最大值为（

）√

6.

〔多选〕已知过BD1的平面与正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1，CC1分

别交于点M，N，则下列关于截面BMD1N的说法正确的是（

）A.

截面BMD1N可能是矩形B.

截面BMD1N可能是菱形C.

截面BMD1N可能是梯形D.

截面BMD1N不可能是正方形√√√解析：ABD

如图1，当点M，N分别与顶点重合时，显然截面BMD1N是

矩形；如图2，当M，N为棱AA1，CC1的中点时，显然截面BMD1N是菱

形，由正方体的性质及勾股定理易知截面BMD1N不可能为正方形；根据

对称性，其他情况下截面BMD1N为平行四边形.故选A、B、D.

7.

（2026·贵州贵阳摸底）在正三棱柱ABC-A1