重难专攻10　立体几何中的动态问题

重难专攻10立体几何中的动态问题重难解读

立体几何中的动态问题是高考立体几何问题中最具创新意识的题型，它渗透了一些动态的点、线、面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力.一般涉及求动点的轨迹问题及由动点引起的线、面、几何体变化中的某些几何量的最值（范围）问题.求解该类问题的关键是正确辨析动与不动，利用解析法、函数、不等式及几何图形中的极端位置解决.动态位置关系的判定（师生共研过关）

C.

存在λ，使得A1E∥C1PD.

存在λ，使得EP⊥平面A1ACC1AD

解决空间位置关系中动点问题的方法（1）应用“位置关系定理”转化；（2）建立“坐标系”计算.训练1〔多选〕已知P，Q分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1，CC1

上的动点（不与顶点重合），则下列结论正确的是（

）A.

AB⊥PQB.

平面BPQ∥平面ADD1A1C.

四面体ABPQ的体积为定值D.

AP∥平面CDD1C1√√√解析：

对于A，∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB⊥平面

BCC1B1，又PQ⊂平面BCC1B1，∴AB⊥PQ，故A正确；对于B，∵平面

ADD1A1∥平面BCC1B1，平面BPQ与平面BCC1B1重合，∴平面BPQ∥平面

ADD1A1，故B正确；对于C，∵A到平面BPQ的距离AB为定值，Q到BP

的距离为定值，BP的长不是定值，∴四面体ABPQ的体积不为定值，故C

错误；对于D，∵平面ABB1A1∥平面CDD1C1，AP⊂平面ABB1A1，∴AP∥

平面CDD1C1，故D正确.动点的轨迹问题（师生共研过关）

（1）如图，在正四棱锥S-ABCD中，E是BC的中点，点P在侧面

△SCD内及其边界上运动，并且总是保持PE∥平面SBD，则动点P的轨迹

与△SCD组成的相关图形最有可能是图中的（

A

）A解析：

如图，分别取CD，SC的中点M，N，连接

MN，ME，NE.

因为E是BC的中点，所以EM∥BD，

EN∥SB.

又因为EM，EN⊄平面SBD，BD，SB⊂平

面SBD，所以EM∥平面SBD，EN∥平面SBD.

又因为

EM∩EN＝E，EM，EN⊂平面EMN，所以平面EMN∥平面SBD，所以当点P在线段MN上移动时，PE⊂平面EMN，此时能够保持PE∥平面SBD，则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形是A.

A.πB.2πC.3πD.4πB

解决与几何体有关的动点轨迹问题的方法（1）几何法：根据平面的性质进行判定；（2）定义法：转化为平面轨迹问题，用圆锥曲线的定义判定，或用向量

法进行计算；（3）特殊值法：根据空间图形线段长度关系取特殊值或位置进行排除.训练2

（1）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为棱AB的中点，动

点P在侧面BCC1B1上运动，若AP⊥D1M，则动点P的轨迹为（

B

）A.

两个点B.

线段C.

圆的一部分D.

抛物线的一部分B解析：

如图，取B1B的中点E，CB的中点F，连接AE，

EF，AF，DM.

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，易证

DM⊥AF，DD1⊥AF，则有AF⊥平面DMD1，

AF⊥MD1，同理MD1⊥AE，则MD1⊥平面AEF.

又点P在

侧面BCC1B1上运动，故点P的轨迹为线段EF.

故选B.

（2）在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝

60°，PA＝PD，∠APD＝90°，平面PAD⊥平面ABCD，点Q是△PBC

内（含边界）的一个动点，且满足DQ⊥AC，则点Q所形成的轨迹长度

是

⁠.

解析：如图，连接BD，交AC于点O，因为四边形ABCD

为菱形，所以AC⊥BD.

取PC上一点M，使DM⊥AC，

连接MD，MB，又AC⊥BD，BD∩DM＝D，BD，

DM⊂平面BDM，所以AC⊥平面BDM，则点Q的轨迹是

线段BM.以O为原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，

最值、范围问题（师生共研过关）

（1）在三棱锥P-ABC中，PA，AB，AC两两垂直，D为棱PC上一

动点，PA＝AC＝2，AB＝3.当BD与平面PAC所成角最大时，AD与平面

PBC所成角的正弦值为（

D

）D

在动态变化过程中产生的体积最大（小）、距离最大（小）、角的范

围等问题，常用的解题思路是：（1）直观判断：在变化过程中判断点、线、面在何位置时，所求的量有

相应最大、最小值；（2）函数思想：通过建系或引入变量，把这类动态问题转化为目标函

数，从而利用代数方法求目标函数的最值.训练3

（1）在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，AA1＝

2AB＝2.点P在侧面BCC1B1内，若A1C⊥平面BDP，则点P到直线CD的

距离的最小值为（

）C.1√

（2）如图所示，菱形ABCD的边长为2，现将△ACD沿对角线AC折起，使平面ACD'⊥平面ACB，试求此时空间四面体ABCD'体积的最大值.

课时跟踪检测（时间：60分钟，满分：81分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]1.

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，Q是正方形B1BCC1内的动点，

A1Q⊥BC1，则Q点的轨迹是（

）A.

点B1B.

线段B1CC.

线段B1C1D.

平面B1BCC112345678910√解析：

如图，连接A1C，因为BC1⊥A1Q，

BC1⊥A1B1，A1Q∩A1B1＝A1，A1Q，A1B1⊂平面A1B1Q，

所以BC1⊥平面A1B1Q，又B1Q⊂平面A1B1Q，所以

BC1⊥B1Q，又BC1⊥B1C，所以点Q在线段B1C上.2.

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M是平面A1B1C1D1内一点，且

BM∥平面ACD1，则tan∠DMD1的最大值为（

）B.1C.2√

123456789103.

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M为A1C1的中点，N为侧面BCC1B1

上的一点，且MN∥平面ABC1，若点N的轨迹长度为2，则（

）A.

AC1＝4B.

BC1＝4C.

AB1＝6D.

B1C＝6√12345678910

123456789104.

在四面体ABCD中，若AD＝DB＝AC＝CB＝1，则四面体ABCD体积

的最大值是（

）√12345678910

123456789105.

（2025·江苏海安、宿迁中学测试）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长

为3，P是侧面CDD1C1上的动点（含端点），且满足S△PDA＝2S△PBC，则

P点的轨迹长度为（

）√12345678910

123456789106.

〔多选〕如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别

为BD1，B1C1的中点，点P在正方体的表面上运动，且满足MP⊥CN.

下

列说法中正确的是（

）A.

点P可以是棱BB1的中点C.

点P的轨迹是正方形√√12345678910

12345678910

12345678910

12345678910

12345678910

12345678910

12345678910

123456789109.

（15分）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝

2，M，N分别为棱DD1，BC上的动点（含端点）.（1）当点M在什么位置时，有B1D⊥平面MAC；

12345678910

12345678910

12345678910

1234567891010.

（15分）（2026·浙江杭州模拟）在平面四边形ABCD中，AB＝BC＝

CD＝