第2节　空间点、直线、平面之间的位置关系

第2节空间点、直线、平面之间的位置关系课标要求1.

借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.2.

了解四个基本事实和定理，了解空间两条直线位置关系的判定.3.

能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.目录/CONTENTS夯实必备知识01研透核心考点02课时跟踪检测0301PART夯实必备知识

知识梳理

1.

四个基本事实（1）基本事实1：过不在一条直线上的

，有且只有一个平面；（2）基本事实2：如果一条直线上的

在一个平面内，那么这条

直线在这个平面内；（3）基本事实3：如果两个不重合的平面有

公共点，那么它们有

且只有一条过该点的公共直线；（4）基本事实4：平行于同一条直线的两条直线

⁠.提醒：三点不一定能确定一个平面.当三点共线时，过这三点的平面有无

数个，所以必须是不在同一条直线上的三点才能确定一个平面.三个点

两个点

一个

平行

2.

“三个”推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面；推论2：经过两条

直线，有且只有一个平面；推论3：经过两条

直线，有且只有一个平面.3.

空间点、直线、平面之间的位置关系图形语言符号语言公共点直线与直线平行

a∥b

⁠个相交

⁠1个异面

a，b是异面直线

⁠个相交

平行

0

a∩b＝A0

图形语言符号语言公共点直线与平面相交

⁠1个平行

a∥α0个在平面内

⁠

⁠个a∩α＝Aa⊂α无数

图形语言符号语言公共点平面与平面平行

α∥β0个相交

α∩β＝l

⁠个4.

等角定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角

⁠

⁠.无数

相等或互

补

5.

异面直线所成的角（1）定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线

a'∥a，b'∥b，把直线a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角（或夹

角）；（2）范围：

⁠.（0°，90°]

1.

唯一性定理（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；（2）过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直；（3）过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直；（4）过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.2.

异面直线的判定：经过平面内一点和平面外一点的直线与平面内不经过

该点的直线互为异面直线.

诊断自测

1.

判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）若直线l有无数个点不在平面α内，则l∥α.

（

×

）（2）两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直

线.

（

×

）（3）两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.

（

√

）（4）如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.

（

×

）（5）若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则α内的所有直线与a异面.

（

×

）××√××2.

如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且α∥β，则a与b（

）A.

共面B.

平行C.

是异面直线D.

可能平行，也可能是异面直线√解析：

α∥β，说明a与b无公共点，所以a与b可能平行也可能是异面直

线.故选D.

3.

〔多选〕下列叙述正确的是（

）A.

若P∈（α∩β），且α∩β＝l，则P∈lB.

若直线a∩b＝A，则直线a与b能确定一个平面C.

三点A，B，C确定一个平面D.

若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α，则l⊂α√√√解析：

点P是两平面的公共点，当然在交线上，故A正确；两相交

直线确定一个平面，故B正确；只有不共线的三点才能确定一个平面，故C

错误；直线上有两点在一个平面内，则这条直线在平面内.4.

已知直线a，b和平面α，若a∥b，且直线b在平面α内，则直线a与平面

α的位置关系是

⁠.解析：当a⊄α时，由a∥b，b⊂α，得a∥α；当a⊂α时，满足题中条件.综

上，直线a与平面α的位置关系是a∥α或a⊂α.a∥α或a⊂α

02PART研透核心考点平面基本事实的应用（师生共研过关）

如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点，平面BB1D1D与A1C交于点M.

求证：（1）E，C，D1，F四点共面；证明：如图，连接EF，CD1，A1B.

∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F四点共面.（2）CE，D1F，DA三线共点；证明：∵EF∥CD1，EF＜CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，如图所示.则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.

同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点.（3）B，M，D1三点共线.证明：连接BD1，∵BD1与A1C均为正方体ABCD-A1B1C1D1的体对角线，

故BD1与A1C相交，则令BD1与A1C的交点为O，则B，O，D1三点共线，∵BD1⊂平面BB1D1D，故A1C与平面BB1D1D的交点为O，即O与M重合，故B，M，D1三点共线.

共面、共线、共点问题的证明方法训练1

（1）（2026·贵州安顺模拟）如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是（

C

）A.

直线ACB.

直线ABC.

直线CDD.

直线BCC解析：

由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈

平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的交线上.又因为C∈平面

ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩平

面β＝CD.

（2）在三棱锥A-BCD的棱AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H

四点，如果EF∩HG＝P，则（

B

）A.

点P一定在直线BD上B.

点P一定在直线AC上C.

EH∥FGD.

EH与FG必相交B解析：如图所示，因为EF⊂平面ABC，HG⊂平面ACD，EF∩HG＝P，

所以P∈平面ABC，P∈平面ACD.

又因为平面ABC∩平

面ACD＝AC，所以P∈AC，故A错误，B正确；易知直

线EH，FG共面，则直线EH，FG平行或相交，故C、D

错误.空间两直线位置关系的判断（师生共研过关）

（1）（2026·河南郑州模拟）已知空间三条直线l，m，n，若l与m

异面，且l与n异面，则（

D

）A.

m与n异面B.

m与n相交C.

m与n平行D.

m与n异面、相交、平行均有可能解析：

在如图所示的长方体中，m，n1与l都异面，但是

m∥n1，所以A、B错误，m，n2与l都异面，且m，n2也异

面，所以C错误.D（2）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是A1C1上的动点，则下列直

线中，始终与直线BP异面的是（

B

）A.

DD1B.

ACC.

AD1D.

B1CB解析：对于A，如图1，当点P为A1C1

的中点时，连接B1D1，BD，则P在

B1D1上，BP⊂平面BDD1B1，又

DD1⊂平面BDD1B1，所以BP与DD1

共面，故A不正确；对于B，如图2，连接AC，易知AC⊂平面ACC1A1，

BP⊄平面ACC1A1，且BP∩平面ACC1A1＝P，P不在AC上，所以BP

与AC为异面直线，故B正确；当点P与点C1重合时，连接AD1，B1C（图

略），由正方体的性质，易知BP∥AD1，BP与B1C相交，故C、D不正确.故选B.

空间两直线位置关系的判定方法训练2

（1）空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么

直线AB与CD的位置关系是（

D

）A.

平行B.

异面C.

相交或平行D.

平行或异面或相交均有可能解析：

根据条件作出示意图，得到如图

所示的三种可能的情况，由图可知AB，CD有相交、平行、异面三种情况，故选D.

D（2）〔一题多解〕若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β

内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（

D

）A.

l与l1，l2都不相交B.

l与l1，l2都相交C.

l至多与l1，l2中的一条相交D.

l至少与l1，l2中的一条相交D解析：法一（反证法）由于l与直线l1，l2

分别共面，故直线l与l1，l2要么都不相

交，要么至少与l1，l2中的一条相交.若

l∥l1，l∥l2，则l1∥l2，这与l1，l2是异面直线矛盾.故l至少与l1，l2中的一条相交.法二（模型法）如图1，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A、B不正确；如图2，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确.异面直线所成的角（师生共研过关）

A.30°B.45°C.60°D.90°C

C

求异面直线所成角的方法（1）平移法：将异面直线中的某一条直线平移，使其与另一条直线相

交，一般采用图中已有的平行线或者作平行线，形成三角形求解；（2）补形法：在该几何体的某侧补接上一个几何体，在这两个几何体中

找异面直线相应的位置，形成三角形求解.提醒：在求异面直线所成的角时，如果求出的角是钝角，则它的补角才是

要求的角.训练3

（1）（2026·吉林长春模拟）如图，已知正四棱锥P-ABCD的所有

棱长均为2，E为棱PA的中点，则异面直线BE与PC所成角的余弦值为

（

B

）B

03PART课时跟踪检测（时间：60分钟，满分：96分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]

1.

若a∥α，b∥β，α∥β，则a，b的位置关系是（

）A.

平行B.

异面C.

相交D.

平行、异面或相交123456789101112131415√解析：

如图所示，a，b的位置关系分别是平行、异面、相交.故选D.

2.

在三棱锥P-ABC中，PB⊥BC，E，D，F分别是AB，PA，AC的中

点，则∠DEF＝（

）A.30°B.45°C.60°D.90°√解析：

如图所示，因为E，D，F分别为AB，PA，AC

的中点，可得DE∥PB，EF∥BC，又因为PB⊥BC，所以

DE⊥EF，所以∠DEF＝90°.故选D.

1234567891011121314153.

已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n.“l，m，n共面”是

“l，m，n两两相交”的（

）A.

充分不必要条件B.

必要不充分条件C.

充要条件D.

既不充分也不必要条件√123456789101112131415解析：

由m，n，l在同一平面内，可能有m，n，l两两平行，所以

m，n，l可能没有公共点，所以不能推出m，n，l两两相交.由m，n，l

两两相交且m，n，l不经过同一点，可设l∩m＝A，l∩n＝B，m∩n

＝C，且A∉n，所以点A和直线n确定平面α，而B，C∈n，所以B，

C∈α，所以l，m⊂α，所以m，n，l在同一平面内.综上，“l，m，n

共面”是“l，m，n两两相交”的必要不充分条件.1234567891011121314154.

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在

空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线（

）A.

不存在B.

有且只有2条C.

有且只有3条D.

有无数条√解析：

在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一

个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，故直线

MN与这三条异面直线都有交点，如图.M取不同的位置

就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，故空间

中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有无数条.1234567891011121314155.

〔多选〕如图，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中

点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有（

）√√123456789101112131415解析：

A中，直线GH∥MN；B中，G，H，N三点共面，但M∉平面

GHN，N∉GH，因此直线GH与MN异面；C中，连接GM（图略），则

GM∥HN.

因此GH与MN共面；D中，G，M，N三点共面，但H∉平面

GMN，G∉MN，因此直线GH与MN异面.故选B、D.

1234567891011121314156.

〔多选〕如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，

直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是（

）A.

A，M，O三点共线B.

A，M，O，A1共面C.

A，M，C，O共面D.

B，B1，O，M共面√√√123456789101112131415解析：

∵M∈A1C，A1C⊂平面A1ACC1，∴M∈平面A1ACC1，又

∵M∈平面AB1D1，∴M在平面AB1D1与平面A1ACC1的交线AO上，即

A，M，O三点共线，∴A，M，O，A1共面且A，M，C，O共面.∵平

面BB1D1D∩平面AB1D1＝B1D1，∴M在平面BB1D1D外，即B，B1，

O，M不共面，故选A、B、C.

1234567891011121314157.

在平行六面体ABCD-A1B1C1D1的所有棱中，既与AB共面，又与CC1共

面的棱的条数为

⁠.解析：如图，满足条件的有BC，DC，BB1，AA1，D1C1，共

5条.5

1234567891011121314158.

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E，F分别为侧棱

PC，PB的中点，则EF与平面PAD的位置关系为

，平面AEF与

平面ABCD的交线是

⁠.解析：由题易知EF∥BC，BC∥AD，所以EF∥AD，故EF∥平面PAD.

因为EF∥AD，所以E，F，A，D四点共面，所以AD为平面AEF与平面

ABCD的交线.平行

AD

1234567891011121314159.

（13分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中：（1）求异面直线AC与A1D所成角的大小；解：

如图，连接B1C，AB1，由ABCD-A1B1C1D1是正方

体，易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是异面

直线AC与A1D所成的角或其补角.在△AB1C中，AB1＝AC＝B1C，所以∠B1CA＝60°.故异面直线A1D与AC所成的角为60°.123456789101112131415（2）若E，F分别为AB，AD的中点，求异面直线A1C1与EF所成角的大

小.解：连接BD，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC∥A1C1，因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF∥BD，所以EF⊥AC.

所以EF⊥A1C1.故异面直线A1C1与EF所成的角为90°.123456789101112131415

10.

如图，两个正方形ABCD，ADEF不在同一个平面内，点P，Q分别为

线段EF，CD的中点，则直线FQ与PB的位置关系是（

）A.

相交B.

平行C.

异面D.

不确定√解析：

如图，取AB的中点G，连接GQ，GF，EQ，则

GQ∥AD，又AD∥EF，所以GQ∥EF，则G，Q，E，F确定平面GQEF，又FQ⊂平面GQEF，P∈平面GQEF，P∉FQ，B∉平面GQEF，所以直线FQ与PB是异面直线.故选C.

12345678910111213141511.

如图所示，已知在空间四边形ABCD中，AC与BD所成角为60°，且

AC＝BD＝2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF＝（

）A.1B.2D.1或2√123456789101112131415

12345678910111213141512.

〔多选〕如图所示是一个正方体的平面展开图，则在原正方体中，下

列说法正确的是（

）A.

AB与CD所在的直线垂直B.

CD与EF所在的直线平行C.

EF与GH所在的直线异面D.

GH与AB所在的直线夹角为60°√√√123456789101112131415解析：

把正方体的平面展开图还原，如图，连接

AF.

对于A，因为BD∥CF且BD＝CF，所以四边形