重难专攻16　概率、统计中的创新交汇问题

重难专攻16概率、统计中的创新交汇问题重难解读

概率、统计中的创新交汇问题是考查学生应用意识的重要载体，解决

此类问题的关键是通过阅读理解题意，作出分析判断，获取关键信息；搞

清各数据、各事件间的关系，建立适当的数学模型，把实际问题转化为数

学问题，结合已有的数学知识，对实际问题作出合理的解释或决策.概率、统计与函数的交汇问题（师生共研过关）

（2）求在一轮中乙摸出红球的概率；

（3）若甲，乙两位同学进行了3轮摸球.乙同学认为，p越大，3轮摸球后

他摸出2个红球的概率越大，你同意他的观点吗？请说明理由.

概率、统计与函数交汇问题的解题步骤第一步：通读题目，仔细审题，理解题意；第二步：根据题目所要解决的问题，确定自变量及其取值范围；第三步：构建函数模型，写出函数的解析式；第四步：通过函数的单调性（有时借助导数）等求函数最值达到解决问题

的目的.训练1为了丰富孩子们的校园生活，某校团委牵头，发起同一年级两个级

部A、B进行体育运动和文化项目比赛，由A部、B部争夺最后的综合冠

军.决赛先进行两天，每天实行三局两胜制，即先赢两局的级部获得该天

胜利，此时该天比赛结束.若A部、B部中的一方能连续两天胜利，则其为

最终冠军；若前两天A部、B部各赢一天，则第三天只进行一局附加赛，

该附加赛的获胜方为最终冠军.设每局比赛A部获胜的概率为p（0＜p＜

1），每局比赛的结果没有平局且结果互相独立.（1）记第一天需要进行的比赛局数为X.

①求E（X），并求当E（X）取最大值时p的值；②结合实际，谈谈①中结论的意义.

概率、统计与数列的交汇问题（师生共研过关）

（2026·广东广州模拟预测）甲，乙两人轮流投掷质地均匀的骰子，第

一轮甲先后投掷两次，接着乙先后投掷两次，依此轮流每人连续投掷两

次.（1）甲先后投掷两次，在第一次掷出偶数点的条件下，求甲两次掷出的

点数之和大于6的概率；解：

设事件A＝“甲第一次掷出偶数点”，事件B＝“甲两次掷出的点数

之和大于6”，样本空间Ω＝{（m，n）｜m，n∈{1，2，3，4，5，6}}，样本空间包含的样本点个数为n（Ω）＝6×6＝36，且每个样本点都是等

可能的.A＝{（m，n）｜m∈{2，4，6}，n∈{1，2，3，4，5，6}}，n（A）＝

3×6＝18，

（2）若第一轮甲连续两次掷出的点数均为偶数，则甲获胜.同时比赛结

束；否则，由另一人继续投掷，直到有人连续两次掷出的点数均为偶数，

则此人获胜且比赛结束.求甲获胜的概率.（注：若0＜p＜1，当n→＋∞

时，pn看作0）

概率、统计与数列问题的交汇，多以概率的求解为主线，建立关于概

率的递推关系.解决此类问题的基本步骤为：（1）精准定性，即明确所求概率的“事件属性”；（2）准确建模，即通过概率的求解，建立递推关系，转化为数列模型

问题；（3）解决模型，即转化为等差、等比数列的问题求解.在求解过程应灵活

运用数列的性质.

所以X的分布列为X3456P

（2）从学生中随机抽取n人（n∈N*），记这n人的合计得分恰为n＋1的

概率为pn，求p1＋p2＋…＋pn.

概率、统计中的新定义问题（师生共研过关）

（2026·湖北武汉调研）已知常数p∈（0，1），在成功的概率为p的

伯努利试验中，记X为首次成功时所需的试验次数，X的取值为所有正整

数，此时称离散型随机变量X的概率分布为几何分布.

（2）对于几何分布的拓展问题，在成功的概率为p的伯努利试验中，记首

次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为E2，现提供一种求E2的方

式：先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验失败对出现连

续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是E2，即总的试验次数为（E2

＋1）；若第一次试验成功，则进行第二次试验，当第二次试验成功时，

试验停止，此时试验次数为2，若第二次试验失败，相当于重新试验，此

时总的试验次数为（E2＋2）.①求E2；②记首次出现连续n次成功时所需的试验次数的期望为En，求En.

解：①E2＝（1－p）·（E2＋1）＋p2·2＋p（1－p）·（E2＋2），

对于概率统计背景下的新定义问题，构建解题模型是解决问题的关

键.学生需要根据题目的具体要求和已学知识，构建出适合解决该问题的

统计模型.这个模型可以是基于某种统计分布的假设检验模型，也可以是

基于数据特征的描述统计模型.在构建模型的过程中，学生需要充分考虑

新定义的条件和结论，确保模型的准确性和有效性.训练3某工厂生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于

82为合格品，小于82为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果

统计如下表：测试指标[20，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100]元件数

（件）121836304（1）现从这100件样品中随机抽取2件，若其中一件为合格品，求另一件

也为合格品的概率；

（2）关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：

课时跟踪检测（时间：50分钟，满分：62分）1.

（15分）（2023·新高考Ⅱ卷19题）某研究小组经过研究发现某种疾病的

患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下

的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：1234利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判

定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病

者判定为阴性的概率，记为p（c）；误诊率是将未患病者判定为阳性的

概率，记为q（c）.假设数据在组内均匀分布.以事件发生的频率作为相

应事件发生的概率.（1）当漏诊率p（c）＝0.5％时，求临界值c和误诊率q（c）；解：

题图知，（100－95）×0.002＝1％＞0.5％，所以95＜c＜100，则p（c）＝（c－95）×0.002＝0.5％，所以c＝97.5，所以q（c）＝0.01×2.5＋0.002×5＝3.5％.1234（2）设函数f（c）＝p（c）＋q（c）.当c∈[95，105]时，求f（c）

的解析式，并求f（c）在区间[95，105]的最小值.

12342.

（15分）（2026·北京模拟）为考查一种新的治疗方案是否优于标准治

疗方案，现从一批患者中随机抽取100名患者，均分为两组，分别采用新

治疗方案与标准治疗方案治疗，记其中采用新治疗方案与标准治疗方案治

疗受益的患者数分别为X和Y.

在治疗过程中，用指标I衡量患者是否受

益：若μ－σ≤I≤μ＋σ，则认为指标I正常；若I＞μ＋σ，则认为指标I偏

高；若I＜μ－σ，则认为指标I偏低.若治疗后患者的指标I正常，则认为患

者受益于治疗方案，否则认为患者未受益于治疗方案.根据历史数据，受

益于标准治疗方案的患者比例为0.6.（1）求E（Y）和D（Y）；解：

由题设知Y服从二项分布B（50，0.6），所以E（Y）＝50×0.6＝30，D（Y）＝50×0.6×0.4＝12.1234

①简述以下统计量所反映的样本信息，并说明理由.A＝｜f（x1）｜＋｜f（x2）｜＋…＋｜f（x50）｜；

1234②为确定新的治疗方案是否优于标准治疗方案，请在①中的统计量中选择

一个合适的统计量，并根据统计量的取值作出统计决策.解：①统计量A反映了未受益于新治疗方案的患者数，理由如下：若第i位患者受益于新治疗方案，则其指标I的值xi满足f（xi）＝0，否则｜f（xi）｜＝1，会被统计量A计入，且每位未受益于新治疗方案

的患者恰使得统计量A的数值加1.统计量B反映了未受益于新治疗方案且指标I偏高的患者数量，理由如下：1234

当50－A＝30，即A＝20时，认为新治疗方案与标准治疗方案相当；当50－A＜30，即A＞20时，认为新治疗方案劣于标准治疗方案.1234

1234

1234（2）受机器人电池蓄航能力影响，本次比赛最多进行10轮，规定当