专题2.9对数与对数函数（举一反三复习讲义）（试题版）

专题2.9对数与对数函数（举一反三复习讲义）【全国通用】考点要求(1)理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数

(2)通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点(3)了解指数函数y=ax（a>0且a≠1）与对数函数y=logax（a>0且a≠1）互为反函数高考真题统计考点2024年2025年2026年对数与对数函数新课标I卷：第6题，5分北京卷：第7题，4分全国一卷：第8题，5分北京卷：第9题，4分天津卷：第6题，5分命题规律分析1、对数与对数函数对数函数是常见的重要函数，对数与对数函数是高考常考的热点内容，从近三年的高考情况来看，主要考查对数的运算、对数函数的性质及应用；对数函数往往与幂函数、指数函数结合考查，考查内容包括：比较指对幂数的大小、解不等式等题型，主要以单选题的形式考察，难度较易。考点1考点1对数与对数函数知识点1对数运算的解题策略1．对数的换底公式及其推论(1)换底公式：设a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0，则.(2)换底公式的推论：①=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1)；

②(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,c>0,且c≠1,d>0)；

③(a>0,且a≠1,b>0,m≠0,n∈R).2．对数运算的常用技巧(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.(3)指对互化：(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.知识点2对数函数的常见问题及解题思路1．比较对数式的大小比较对数式的大小的方法是：(1)底数相同的，直接利用对数函数的单调性比较大小；(2)底数不同的，利用换底公式化成同底数的对数式，再利用对数函数的单调性比较大小.2．对数函数图象的识别及应用(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.3．对数（型）函数的值域和单调性问题的解题策略利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.【题型1对数的运算】【例1】（2026·浙江金华·一模）已知1log9a+1A．3 B．9 C．27 D．81【变式1-1】（25-26高二下·山东日照·期末）若logam=2，b3=m，则A．16 B．C．56 D．【变式1-2】（2026·四川绵阳·一模）在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以m%的增长率呈指数增长.若增长为原来的2.5倍经过了10天，则增长为原来的5倍需要经过的天数约为（

）（参考数据：lgA．12 B．15 C．18 D．20【变式1-3】（2026·天津河北·模拟预测）已知a=lg2，b=lg3，则lg12A．a2b B．2ab C．a+2b 【题型2对数函数的图象及应用】【例2】（2026·湖南长沙·一模）已知lga+lgb=0(a>0,b>0，且a≠1,b≠1)，则函数fx=A． B．C． D．【变式2-1】（2026·河北廊坊·一模）函数fx=lnA． B． C． D．【变式2-2】（2026·福建泉州·模拟预测）若实数x，y，z满足2x−2=3y−3=5z−5，则A．x=y=z B．x>y>z C．z>y>x D．z>x>y【变式2-3】（25-26高一上·湖南益阳·期末）已知函数fx=lnxxA． B．C． D．【题型3比较指对幂数的大小】【例3】（2026·天津河西·三模）设a=2.10.7，b=0.72.1，c=log2.10.7，则aA．a<b<c B．c<a<b C．a<c<b D．c<b<a【变式3-1】（2026·河南·模拟预测）已知a=log0.50.4，b=0.50.4A．a>c>b B．a>b>c C．c>a>b D．b>c>a【变式3-2】（2026·湖北武汉·三模）已知a=log32，b=log511，c=log23A．a<c<b B．b<c<a C．b<a<c D．a<b<c【变式3-3】（2026·广东深圳·模拟预测）若a=log0.10.2，b=log40.3，c=3A．a<b,c<d B．a<b,c>d C．a>b,c<d D．a>b,c>d【题型4解对数不等式】【例4】（2026·天津滨海新区·三模）已知p：log2x+1≤1，q：1x≥1，则pA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式4-1】（2026·山东枣庄·三模）已知集合A=x|x2<4，B=x|A．−∞,11 B．−2,11 C．1,2 【变式4-2】（2026·辽宁大连·模拟预测）不等式log2−x−1<xA．−1,+∞ B．−∞,−1 C．−1,0【变式4-3】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数fx=log24x+1−x，A．0B．−∞，−1C．(−1，0)D．−∞，【题型5对数（型）函数的单调性问题】【例5】（2026·河北沧州·一模）已知函数fx=log12−xA．12, 2 B．−∞,【变式5-1】（2026·湖南·二模）已知函数fx=loga|x|（a>0且a≠1），若fA．[0,+∞) B．(−∞,0) C．【变式5-2】（2026·陕西·模拟预测）已知函数f(x)=log3(x2−2ax+1)在A．(−54,+C．(−2,+∞) 【变式5-3】（2026·云南昆明·二模）已知函数fx=lne2xA．fx是奇函数，且在0,+B．fx是奇函数，且在0,+C．fx是偶函数，且在0,+D．fx是偶函数，且在0,+【题型6对数函数性质的综合应用】【例6】（2026·陕西西安·模拟预测）关于函数fx=lgA．fx的定义域为−1,1 B．fx在区间C．fx的值域为110,10 【变式6-1】（2026·海南·模拟预测）若函数fx=x+1,x≤0,logax+2,x>0的值域为RA．1,2 B．2,+∞ C．（0，1） D．【变式6-2】（2026·海南儋州·模拟预测）已知函数f(x)=log3(3x)⋅(1)求函数f(x)的值域及单调区间；(2)若不等式f(3t)−kt≥0在t∈【变式6-3】（25-26高一下·湖北黄石·阶段检测）已知fx=logax+loga6−x，(1)求a的值及fx(2)若对于∀x1∈0,6，∃x一、单选题1．（2026·湖南株洲·模拟预测）函数fx=logA．R B．xx>3 C．xx≥3 2．（2026·四川自贡·一模）已知a>b>1，若logab+logba=52A．8 B．6 C．4 D．23．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知a=30.3，b=log315A．c<a<b B．c<b<a C．a<b<c D．a<c<b4．（2026·湖南·模拟预测）已知函数fx是定义在R上的增函数．若flog2x−1<fA．1,2 B．1,3 C．2,+∞ D．5．（2026·海南海口·模拟预测）已知函数f(x)=logax+eb（a>0，a≠1A．a>1 B．0<b<1 C．ba>a6．（2026·河南·模拟预测）风电是我国新能源战略的核心支柱，某型号海上风电机组的安全运行标准中，风力等级与轮毂高度风速的关系满足方程：lgn=23lgv+120（其中v为轮毂高度风速，单位：ms，A．9级 B．11级 C．13级 D．15级7．（2026·河南周口·模拟预测）若函数f(x)=(2a−1)x+a,x<1logax,x≥1,(a>0且a≠1)A．0,13 C．13,18．（2026·四川成都·三模）已知y=fx+1是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈1,2时，fx=log2x，设a=f12A．a<c<b B．c<a<b C．b<c<a D．c<b<a二、多选题9．（2026·湖南·三模）若0<a<b<1，则下列结论正确的是（

）A．logab2C．logab<log10．（2026·广东深圳·模拟预测）若函数f(x)=ln(ax+b)的图象经过第二、三、四象限，则（A．a>0 B．a<0 C．b>1 D．0<b<111．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知函数fx=lgA．fx的定义域为B．fx在0,C．y=fx的图像关于直线x=D．fx三、填空题12．（2026·北京顺义·一模）函数fx=1−13．（2026·上海松江·模拟预测）已知函数y=logax+2+1(a>0且a≠1)的图像过定点s,t，正实数m､n满足nt−ms=1，则14．（2026·宁夏银川·三模）在冷链物流中，某蔬菜的保鲜时间y（单位：小时）与贮藏温度x（单位：℃）之间满足：y=eax+b（其中a，b为常数）.若该蔬菜在贮藏温度x为9℃的环境下保鲜时间y为261小时，在23℃的环境下保鲜时间为29小时.若该蔬菜运输总物流时间为87小时，为保障运输安全，要求保鲜时间不少于运输时长的1.2倍，则该蔬菜在物流过程中的贮藏温度x的最大整数数值为__________.（参考数据：ln3≈1.099，ln四、解答题15．（2026·上海·模拟预测）已知fx=logax(1)若a=3，解方程f27(2)若f4a−1>fa16．（2026·山西吕梁·模拟预测）已知函数fx(1)若fx是偶函数，求实数a(2)解不等式fx17．（25-26高二下·陕