变结构GARCH模型下金融时间序列协同持续性的深度剖析与实证研究

变结构GARCH模型下金融时间序列协同持续性的深度剖析与实证研究一、引言1.1研究背景与意义在金融市场中，金融时间序列的分析对于投资者、金融机构以及监管部门都具有至关重要的作用。金融时间序列，如股票价格、汇率、利率等，常常呈现出复杂的特征，其中结构变化是一个普遍存在的现象。随着时间的推移，金融市场会受到各种因素的影响，如宏观经济政策调整、重大政治事件、科技创新以及市场参与者行为的改变等，这些因素都可能导致金融时间序列的统计特征发生显著变化，即出现结构变化。例如，在2008年全球金融危机期间，金融市场的剧烈动荡使得各类金融资产价格的波动特征发生了明显改变，许多原本被认为稳定的金融时间序列出现了异常波动和结构突变。在对金融时间序列进行建模和分析时，传统的模型往往假设数据具有平稳性和固定的参数结构，然而这种假设在实际金融市场中往往难以成立。如果忽视结构变化的存在，直接运用传统模型进行分析，可能会导致模型的拟合效果不佳，参数估计不准确，进而影响对金融市场的理解和预测。例如，在预测股票市场波动性时，若使用不考虑结构变化的模型，可能无法准确捕捉市场在不同阶段的波动特征，使得预测结果与实际市场情况相差甚远，这对于投资者制定投资策略和金融机构进行风险控制来说是极为不利的。广义自回归条件异方差（GARCH）模型作为一种常用的金融时间序列模型，能够较好地刻画金融数据的波动聚集性和时变性等特征，在金融市场波动性分析中得到了广泛应用。然而，现实中的金融时间序列往往存在结构变化，这使得传统的GARCH模型在应用时受到一定限制。为了更准确地描述和分析具有结构变化的金融时间序列，变结构GARCH模型应运而生。变结构GARCH模型通过引入反映结构变化的变量或机制，能够更加灵活地捕捉金融时间序列在不同阶段的波动特征，从而提高模型的拟合和预测能力。波动持续性是金融时间序列的一个重要特征，它反映了当前波动对未来波动的长期影响。在实际金融市场中，许多金融时间序列都表现出波动持续性，即过去的波动信息会在较长时间内影响未来的波动水平。而协同持续性则是指多个金融时间序列之间存在一种长期的稳定关系，尽管它们各自可能具有波动持续性，但通过某种线性组合可以消除这种持续性，使得组合后的序列具有更好的稳定性和可预测性。研究变结构GARCH模型的协同持续性，对于深入理解金融市场中不同资产价格波动之间的关系具有重要意义。通过分析协同持续性，可以揭示不同金融资产之间的内在联系和相互作用机制，为投资组合的优化提供理论依据。例如，投资者可以根据资产之间的协同持续关系，合理配置资产，降低投资组合的风险，提高投资收益。在金融风险控制方面，变结构GARCH模型的协同持续性研究也具有重要的应用价值。金融市场的风险具有传染性和关联性，一种资产价格的波动可能会引发其他资产价格的波动，进而影响整个金融市场的稳定。通过研究变结构GARCH模型的协同持续性，可以更好地评估金融市场的系统性风险，及时发现潜在的风险点，并采取相应的风险控制措施。例如，金融监管部门可以根据协同持续性的分析结果，制定更加有效的监管政策，防范金融风险的扩散和蔓延，维护金融市场的稳定运行。1.2研究目的与创新点本研究旨在深入剖析变结构GARCH模型的协同持续性，通过理论分析与实证研究相结合的方法，揭示变结构GARCH模型中协同持续性的本质特征、影响因素以及其在金融市场中的应用机制。具体而言，研究将致力于以下几个方面：一是构建更加完善的变结构GARCH模型，充分考虑金融时间序列中结构变化的复杂性和多样性，提高模型对实际金融数据的拟合能力；二是深入研究变结构GARCH模型协同持续性的定义、性质和判定方法，为金融市场中资产关系的分析提供理论支持；三是运用实证分析方法，以实际金融市场数据为样本，验证变结构GARCH模型协同持续性的有效性，并探讨其在投资组合优化和风险控制等方面的实际应用价值。本研究的创新点主要体现在以下几个方面：首先，在模型构建方面，尝试引入新的变量或机制来刻画金融时间序列的结构变化，使变结构GARCH模型能够更加准确地捕捉金融市场的动态特征。例如，结合机器学习中的一些先进算法，如深度学习中的循环神经网络（RNN）或长短时记忆网络（LSTM），来识别和刻画金融时间序列中的结构变化点和变化模式，从而改进传统的变结构GARCH模型。其次，在协同持续性研究视角上，从多维度、多层次的角度出发，综合考虑宏观经济因素、市场微观结构以及投资者行为等对变结构GARCH模型协同持续性的影响，拓展了协同持续性的研究范围。传统的协同持续性研究往往主要关注金融时间序列本身的统计特征，而本研究将尝试将更多的外部因素纳入分析框架，以更全面地理解协同持续性的形成机制和变化规律。最后，在应用研究方面，将变结构GARCH模型的协同持续性研究成果与实际金融投资和风险管理策略相结合，提出具有创新性和可操作性的投资决策和风险控制方法。例如，基于协同持续性分析结果，开发新的投资组合优化模型，或者设计更加有效的风险预警指标和风险管理工具，为金融市场参与者提供更具价值的决策参考。1.3研究方法与技术路线本研究将采用多种研究方法相结合的方式，以确保研究的科学性和全面性。理论分析方法是研究的基础，通过对变结构GARCH模型和协同持续性相关理论的深入研究，梳理和总结现有的研究成果，为后续的实证研究提供理论依据。在理论分析过程中，将运用数学推导和逻辑论证等方法，深入探讨变结构GARCH模型的构建原理、协同持续性的定义和性质以及它们之间的内在联系。实证研究方法是本研究的核心方法之一。通过收集和整理实际金融市场的数据，如股票市场、外汇市场或债券市场的历史交易数据，运用统计分析软件和计量经济学方法，对变结构GARCH模型的协同持续性进行实证检验。在实证研究中，将首先对金融时间序列进行预处理，包括数据清洗、平稳性检验和异常值处理等，以确保数据的质量和可靠性。然后，运用合适的计量模型和估计方法，对变结构GARCH模型的参数进行估计，并检验模型的拟合效果和协同持续性的存在性。案例分析方法也将被应用于本研究中。选取具有代表性的金融市场案例，如特定时间段内的某一股票板块或某一地区的金融市场，深入分析变结构GARCH模型的协同持续性在实际市场中的表现和应用效果。通过案例分析，可以更加直观地展示研究成果的实际应用价值，同时也能够发现实际应用中可能存在的问题和挑战，为进一步改进研究方法和模型提供参考。比较研究方法将用于对比不同变结构GARCH模型以及不同协同持续性分析方法的优劣。通过对多种模型和方法的比较，选择最适合本研究目的和数据特点的模型和方法，提高研究结果的准确性和可靠性。在比较研究中，将从模型的拟合优度、预测能力、参数估计的稳定性以及对协同持续性的解释能力等多个方面进行综合评价。本研究的技术路线如图1所示：首先，进行文献综述，全面梳理变结构GARCH模型和协同持续性相关的国内外研究现状，明确研究的背景和意义，找出研究的空白点和创新点，为后续研究奠定理论基础。其次，进行理论研究，深入分析变结构GARCH模型的构建原理和协同持续性的理论基础，推导相关的数学公式和模型表达式，为实证研究提供理论指导。然后，开展数据收集与处理工作，收集金融市场的相关数据，并对数据进行清洗、预处理和特征提取，以满足实证研究的需求。接着，进行实证研究，运用统计分析软件和计量经济学方法，对变结构GARCH模型的协同持续性进行实证检验，分析模型的参数估计结果和协同持续性的表现特征。之后，进行案例分析，选取实际金融市场案例，将实证研究结果应用于案例中，分析变结构GARCH模型的协同持续性在实际市场中的应用效果和存在的问题。最后，根据实证研究和案例分析的结果，总结研究成果，提出政策建议和未来研究方向，为金融市场的投资决策和风险控制提供参考依据。二、理论基础2.1GARCH模型概述2.1.1GARCH模型基本原理与结构GARCH模型，即广义自回归条件异方差模型（GeneralizedAutoregressiveConditionalHeteroskedasticityModel），由Bollerslev于1986年提出，是对ARCH（自回归条件异方差）模型的重要扩展，在金融时间序列分析中具有举足轻重的地位。该模型主要用于刻画金融时间序列的波动性特征，能够有效捕捉金融数据中波动聚集的现象，即大的波动后面往往跟着大的波动，小的波动后面往往跟着小的波动。GARCH模型一般由两个方程构成：条件均值方程和条件方差方程。其中，条件均值方程用于描述时间序列在给定信息集下的期望值，可采用较为简单的形式，如假设时间序列的均值为常数，其表达式为：r_t=\mu+\epsilon_t其中，r_t表示t时刻的观测值，\mu为常数均值，\epsilon_t是残差项。条件方差方程是GARCH模型的核心，用于刻画时间序列的条件异方差性，即波动性随时间的变化情况。一般形式的GARCH(p,q)模型的条件方差方程为：\sigma_t^2=\omega+\sum_{i=1}^{q}\alpha_i\epsilon_{t-i}^2+\sum_{j=1}^{p}\beta_j\sigma_{t-j}^2其中，\sigma_t^2是t时刻的条件方差，\omega是常数项，\alpha_i和\beta_j是模型的参数，分别表示ARCH项和GARCH项的系数，\epsilon_{t-i}^2是t-i时刻的残差平方，反映了过去的冲击对当前波动性的影响，\sigma_{t-j}^2是t-j时刻的条件方差，体现了过去的波动性对当前波动性的影响。p和q分别表示方差方程中自回归项（GARCH项）和移动平均项（ARCH项）的阶数。在实际应用中，GARCH(1,1)模型是最为常用的形式，其条件方差方程为：\sigma_t^2=\omega+\alpha\epsilon_{t-1}^2+\beta\sigma_{t-1}^2其中，\alpha和\beta分别为ARCH(1)项和GARCH(1)项的系数。为保证条件方差的非负性和模型的平稳性，通常要求\omega>0，\alpha\geq0，\beta\geq0，且\alpha+\beta<1。\alpha+\beta的值越接近1，表明波动的持续性越强，即过去的波动对未来波动的影响越持久；当\alpha+\beta=1时，模型退化为IGARCH（积分GARCH）模型，此时波动具有无限记忆性，过去的波动信息将完全传递到未来。例如，在对某股票收益率进行建模时，若采用GARCH(1,1)模型，通过对历史数据的估计得到\omega=0.0001，\alpha=0.1，\beta=0.85，假设t-1时刻的残差\epsilon_{t-1}=0.05，条件方差\sigma_{t-1}^2=0.0004，则可计算出t时刻的条件方差\sigma_t^2=0.0001+0.1×(0.05)^2+0.85×0.0004=0.00049。这表明该股票收益率的波动性在当前时刻受到了上一时刻冲击（\epsilon_{t-1}^2）和上一时刻波动性（\sigma_{t-1}^2）的共同影响。2.1.2GARCH模型在金融时间序列分析中的应用与局限性GARCH模型在金融时间序列分析领域有着广泛的应用，为金融市场的研究和决策提供了有力的支持。在波动性预测方面，GARCH模型能够根据历史数据准确捕捉金融时间序列的波动特征，并对未来的波动性进行预测。投资者可以依据GARCH模型的预测结果，合理调整投资组合，以降低投资风险并提高收益。例如，在股票市场中，投资者可以根据GARCH模型对某股票收益率波动性的预测，判断该股票未来价格波动的可能性大小，从而决定是否买入、卖出或持有该股票。在风险管理中，金融机构利用GARCH模型进行风险定价和风险评估，以有效管理金融风险。通过GARCH模型估计出资产收益率的波动性，金融机构可以计算出风险价值（VaR）等风险指标，从而评估投资组合的风险水平，并采取相应的风险控制措施。如银行在进行信贷业务时，可以运用GARCH模型对借款企业的资产价格波动性进行分析，评估其违约风险，进而确定合理的贷款利率和贷款额度。在投资组合优化方面，GARCH模型可以帮助投资者更好地理解资产之间的相关性和波动性，从而构建更加有效的投资组合。投资者可以根据GARCH模型对不同资产收益率波动性的估计，结合资产之间的相关性，运用现代投资组合理论，确定最优的资产配置比例，以实现风险和收益的平衡。然而，GARCH模型在应用过程中也存在一些局限性。GARCH模型假定条件方差是滞后残差平方的函数，这使得残差的符号不影响波动，即条件方差对正的价格变化和负的价格变化的反应是对称的。但在实际金融市场中，当利空消息出现时，即预期股票收益会下降时，波动趋向于增大；当利好消息出现时，即预期股票收益会上升时，波动趋向于减小。这种现象被称为杠杆效应，而GARCH模型无法解释这种非对称现象。为了保证条件方差的非负性，GARCH模型假定方差方程中所有系数均大于零。这些约束隐含着任何滞后项的增大都会增加条件方差，从而排除了条件方差的随机波动行为，这使得在估计GARCH模型时可能出现震荡现象，影响模型的稳定性和准确性。在一些极端市场情况下，如金融危机期间，金融时间序列的波动特征可能会发生剧烈变化，传统的GARCH模型由于其固定的参数结构，难以准确捕捉这些变化，导致模型的预测能力下降。2.2变结构GARCH模型的构建与特性2.2.1变结构的定义与识别方法在金融时间序列中，变结构是指时间序列的统计特性，如均值、方差、自相关结构等，在不同时间段内发生显著变化的现象。这种变化可能是由于宏观经济环境的改变、政策调整、突发事件等因素引起的。例如，在经济衰退时期，股票市场的波动性通常会显著增加，而在经济繁荣时期，波动性则相对较低，这就体现了金融时间序列在不同经济阶段的变结构特征。识别金融时间序列中的变结构是构建变结构GARCH模型的关键步骤。目前，常用的变结构识别方法主要包括基于统计检验和基于信息准则的方法。基于统计检验的方法中，最常用的是Chow检验。Chow检验通过比较不同子样本区间的回归残差平方和，来判断模型参数是否发生了显著变化。具体而言，假设我们将时间序列分为两个子样本区间，分别对每个子样本区间进行回归估计，得到两个残差平方和RSS_1和RSS_2，以及合并样本区间的残差平方和RSS。构造Chow统计量：F=\frac{(RSS-(RSS_1+RSS_2))/k}{(RSS_1+RSS_2)/(n_1+n_2-2k)}其中，n_1和n_2分别是两个子样本区间的样本数量，k是模型中待估计参数的个数。如果计算得到的F统计量大于临界值，则拒绝原假设，即认为时间序列存在变结构。另一种基于统计检验的方法是CUSUM（累积和）检验。CUSUM检验通过监测递归残差的累积和来识别变结构点。递归残差是指在逐步增加样本数据的过程中，每次估计得到的残差。设\hat{\epsilon}_t为t时刻的递归残差，定义CUSUM统计量为：S_t=\sum_{i=1}^t\frac{\hat{\epsilon}_i}{\sqrt{\sum_{i=1}^n\hat{\epsilon}_i^2/n}}其中，n为样本总数。当S_t超出一定的上下控制界限时，就表明可能存在变结构点。基于信息准则的方法则是通过比较不同模型的信息准则值来确定是否存在变结构以及变结构点的位置。常用的信息准则有AIC（赤池信息准则）、BIC（贝叶斯信息准则）等。在变结构模型选择中，我们会尝试在不同的时间点对数据进行分段，然后分别估计不同分段下的模型参数，并计算相应的信息准则值。选择信息准则值最小的模型作为最优模型，该模型所对应的分段点即为变结构点。例如，对于一个可能存在变结构的GARCH模型，我们假设在时间t_0处存在变结构，分别估计t<t_0和t\geqt_0两个子样本区间的GARCH模型参数，计算两个子模型组合的AIC值和BIC值，与不分段的原GARCH模型的信息准则值进行比较。如果变结构模型的信息准则值更小，就说明该时间序列存在变结构，且t_0是一个可能的变结构点。2.2.2变结构GARCH模型的构建思路与参数估计构建变结构GARCH模型的基本思路是在传统GARCH模型的基础上，引入能够反映结构变化的变量或机制，使模型能够更好地适应金融时间序列在不同阶段的波动特征。一种常见的构建方法是基于分段的思想，即通过识别出的变结构点将时间序列划分为不同的子样本区间，然后对每个子样本区间分别建立GARCH模型。例如，假设通过Chow检验或其他方法确定金融时间序列在t_1和t_2时刻发生了结构变化，将整个时间序列分为三个子样本区间：[1,t_1-1]，[t_1,t_2-1]，[t_2,n]（其中n为样本总数）。对于每个子样本区间，分别设定不同的GARCH模型参数，如\omega_1,\alpha_1,\beta_1，\omega_2,\alpha_2,\beta_2，\omega_3,\alpha_3,\beta_3，以刻画不同阶段的波动特征。这样，变结构GARCH模型可以表示为：\begin{cases}\sigma_{t}^2=\omega_1+\sum_{i=1}^{q_1}\alpha_{1i}\epsilon_{t-i}^2+\sum_{j=1}^{p_1}\beta_{1j}\sigma_{t-j}^2,&1\leqt\leqt_1-1\\\sigma_{t}^2=\omega_2+\sum_{i=1}^{q_2}\alpha_{2i}\epsilon_{t-i}^2+\sum_{j=1}^{p_2}\beta_{2j}\sigma_{t-j}^2,&t_1\leqt\leqt_2-1\\\sigma_{t}^2=\omega_3+\sum_{i=1}^{q_3}\alpha_{3i}\epsilon_{t-i}^2+\sum_{j=1}^{p_3}\beta_{3j}\sigma_{t-j}^2,&t_2\leqt\leqn\end{cases}另一种构建思路是通过引入虚拟变量或平滑转换函数来刻画结构变化。例如，可以引入一个虚拟变量D_t，当t\leqt_0时，D_t=0；当t>t_0时，D_t=1。将虚拟变量融入GARCH模型的方差方程中，如：\sigma_{t}^2=\omega+(\alpha_0+\alpha_1D_t)\epsilon_{t-1}^2+(\beta_0+\beta_1D_t)\sigma_{t-1}^2这样，模型的参数会根据虚拟变量的值在不同阶段发生变化，从而体现结构变化对波动的影响。在估计变结构GARCH模型的参数时，常用的方法是极大似然估计（MLE）。极大似然估计的基本思想是寻找一组参数值，使得观测数据出现的概率最大。对于变结构GARCH模型，其对数似然函数可以表示为：L(\theta)=\sum_{t=1}^n\lnf(y_t|\mathcal{F}_{t-1};\theta)其中，\theta是模型的参数向量，包括\omega，\alpha_i，\beta_j等；y_t是t时刻的观测值；\mathcal{F}_{t-1}是t-1时刻的信息集；f(y_t|\mathcal{F}_{t-1};\theta)是在给定信息集\mathcal{F}_{t-1}和参数\theta的条件下，y_t的条件概率密度函数。在实际计算中，通常假设残差服从正态分布、t分布或广义误差分布（GED）等，根据不同的分布假设确定条件概率密度函数的具体形式。然后，通过数值优化算法，如BFGS算法、牛顿-拉夫森算法等，对对数似然函数进行最大化求解，得到模型参数的估计值。2.2.3变结构GARCH模型的特性分析变结构GARCH模型具有一些独特的特性，使其在刻画金融时间序列的波动特征方面具有显著优势。该模型能够更加准确地刻画不同阶段样本方差的变化关系。由于金融时间序列在不同时期可能受到不同因素的影响，导致其方差特征发生变化，变结构GARCH模型通过引入结构变化机制，可以针对不同阶段的样本数据，分别调整模型参数，从而更精确地捕捉方差的动态变化。例如，在经济稳定时期，金融资产收益率的波动可能相对较小且较为平稳，而在经济危机或重大政策调整时期，波动会急剧增大且呈现出不同的模式。变结构GARCH模型能够根据这些不同阶段的特点，灵活地调整方差方程中的参数，如\alpha和\beta的值，以适应不同的波动水平和持续性特征。变结构GARCH模型对金融时间序列中的异常波动和突发事件具有更强的适应性。传统的GARCH模型在面对异常数据或结构突变时，可能会出现拟合效果不佳或预测偏差较大的问题。而变结构GARCH模型能够及时识别并响应这些变化，通过在结构变化点处调整模型参数，使得模型能够更好地拟合异常波动时期的数据，提高对突发事件的解释和预测能力。例如，当出现突发的地缘政治事件或重大金融政策调整时，金融市场会出现剧烈波动，变结构GARCH模型可以通过变结构点的识别和模型参数的调整，更准确地描述这种异常波动的特征，为投资者和金融机构提供更可靠的风险评估和决策依据。变结构GARCH模型在波动性预测方面具有更高的准确性。通过考虑金融时间序列的结构变化，模型能够更全面地利用历史数据中的信息，减少由于结构变化导致的预测误差。与传统GARCH模型相比，变结构GARCH模型在预测未来波动性时，能够更好地适应市场环境的变化，提供更符合实际情况的预测结果。例如，在预测股票市场的波动性时，变结构GARCH模型可以根据市场不同阶段的特点，如牛市、熊市或震荡市，分别采用不同的模型参数进行预测，从而提高预测的精度和可靠性。2.3协同持续性概念与理论2.3.1协同持续性的定义与内涵协同持续性是一个在金融时间序列分析中具有重要意义的概念，它主要用于描述多个金融时间序列之间的一种长期稳定关系。在金融市场中，许多金融时间序列，如不同股票的价格序列、不同汇率的波动序列等，都具有各自的波动持续性，即当前的波动会对未来的波动产生一定的影响。然而，当多个金融时间序列之间存在协同持续性时，尽管它们各自的波动具有持续性，但通过某种线性组合，可以消除这种持续性，使得组合后的序列具有更好的稳定性和可预测性。具体而言，设\mathbf{X}_t=(X_{1t},X_{2t},\cdots,X_{nt})'是一个n维金融时间序列向量，其中X_{it}表示第i个金融时间序列在t时刻的观测值。如果每个X_{it}都具有波动三、变结构GARCH模型协同持续性的理论分析3.1变结构GARCH模型下协同持续性的条件与判定3.1.1协同持续向量的推导与求解在变结构GARCH模型的框架下，协同持续向量的推导是理解多个金融时间序列之间长期稳定关系的关键步骤。假设我们有一个n维的金融时间序列向量\mathbf{X}_t=(X_{1t},X_{2t},\cdots,X_{nt})'，其中每个X_{it}都可以用变结构GARCH模型来描述其波动特征。对于传统的GARCH模型，我们知道其条件方差方程反映了波动的持续性。在变结构GARCH模型中，由于结构变化的存在，不同阶段的条件方差方程参数不同，使得波动特征更为复杂。为了找到协同持续向量，我们从协整理论的角度出发。协整理论表明，如果多个非平稳时间序列的某种线性组合是平稳的，那么这些时间序列之间存在协整关系。在波动层面，协同持续性类似于协整关系，即多个具有波动持续性的金融时间序列通过某种线性组合可以消除这种持续性。设\mathbf{\sigma}_t^2=(\sigma_{1t}^2,\sigma_{2t}^2,\cdots,\sigma_{nt}^2)'为n维条件方差向量，其中\sigma_{it}^2是第i个金融时间序列X_{it}的条件方差。我们假设存在一个非零向量\mathbf{\beta}=(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n)'，使得线性组合\mathbf{\beta}'\mathbf{\sigma}_t^2是一个平稳的序列，那么\mathbf{\beta}就是我们要寻找的协同持续向量。具体推导过程如下：考虑变结构GARCH模型的条件方差方程，对于第i个金融时间序列，在不同的结构阶段s（s=1,2,\cdots,S，S为结构阶段的总数），其条件方差方程可以表示为\sigma_{it}^2=\omega_{is}+\sum_{j=1}^{q_{is}}\alpha_{ij}\epsilon_{t-j}^2+\sum_{k=1}^{p_{is}}\beta_{ik}\sigma_{t-k}^2，其中\omega_{is}，\alpha_{ij}，\beta_{ik}是与结构阶段s相关的参数，\epsilon_{t-j}是残差项。我们将\mathbf{\sigma}_t^2展开为\mathbf{\sigma}_t^2=\mathbf{\omega}_s+\mathbf{A}_{s}\mathbf{\epsilon}_{t-1}^2+\mathbf{B}_{s}\mathbf{\sigma}_{t-1}^2，其中\mathbf{\omega}_s=(\omega_{1s},\omega_{2s},\cdots,\omega_{ns})'，\mathbf{A}_{s}和\mathbf{B}_{s}分别是由\alpha_{ij}和\beta_{ik}组成的矩阵，\mathbf{\epsilon}_{t-1}^2=(\epsilon_{1,t-1}^2,\epsilon_{2,t-1}^2,\cdots,\epsilon_{n,t-1}^2)'。假设\mathbf{\beta}'\mathbf{\sigma}_t^2是平稳的，那么对\mathbf{\beta}'\mathbf{\sigma}_t^2进行递推：\begin{align*}\mathbf{\beta}'\mathbf{\sigma}_t^2&=\mathbf{\beta}'\mathbf{\omega}_s+\mathbf{\beta}'\mathbf{A}_{s}\mathbf{\epsilon}_{t-1}^2+\mathbf{\beta}'\mathbf{B}_{s}\mathbf{\sigma}_{t-1}^2\\&=\mathbf{\beta}'\mathbf{\omega}_s+\mathbf{\beta}'\mathbf{A}_{s}\mathbf{\epsilon}_{t-1}^2+\mathbf{\beta}'\mathbf{B}_{s}(\mathbf{\omega}_s+\mathbf{A}_{s}\mathbf{\epsilon}_{t-2}^2+\mathbf{B}_{s}\mathbf{\sigma}_{t-2}^2)\\&=\cdots\end{align*}通过对上述递推式的分析，我们可以得到关于\mathbf{\beta}的方程组。为了使\mathbf{\beta}'\mathbf{\sigma}_t^2平稳，要求\mathbf{\beta}'\mathbf{B}_{s}的所有特征值的模小于1。这是因为特征值反映了系统的动态特性，如果特征值的模大于或等于1，那么系统会呈现出非平稳的行为，即波动会持续增长或保持不变，而不会逐渐消失。求解这个方程组可以得到协同持续向量\mathbf{\beta}。在实际计算中，通常采用数值方法，如迭代算法来求解。一种常用的迭代算法是基于最小化\mathbf{\beta}'\mathbf{\sigma}_t^2的方差，即通过不断调整\mathbf{\beta}的值，使得\mathbf{\beta}'\mathbf{\sigma}_t^2的方差最小化，从而找到最优的协同持续向量。具体步骤如下：初始化\mathbf{\beta}为一个随机向量。根据当前的\mathbf{\beta}值，计算\mathbf{\beta}'\mathbf{\sigma}_t^2的方差。利用优化算法（如梯度下降法、牛顿法等），根据方差的变化调整\mathbf{\beta}的值，使得方差逐渐减小。重复步骤2和3，直到方差收敛到一个足够小的值，此时得到的\mathbf{\beta}即为协同持续向量。例如，在一个二维的变结构GARCH模型中，假设两个金融时间序列的条件方差方程分别为：\begin{cases}\sigma_{1t}^2=\omega_{11}+\alpha_{11}\epsilon_{1,t-1}^2+\beta_{11}\sigma_{1,t-1}^2,&\text{在结构阶段1}\\\sigma_{1t}^2=\omega_{12}+\alpha_{12}\epsilon_{1,t-1}^2+\beta_{12}\sigma_{1,t-1}^2,&\text{在结构阶段2}\\\sigma_{2t}^2=\omega_{21}+\alpha_{21}\epsilon_{2,t-1}^2+\beta_{21}\sigma_{2,t-1}^2,&\text{在结构阶段1}\\\sigma_{2t}^2=\omega_{22}+\alpha_{22}\epsilon_{2,t-1}^2+\beta_{22}\sigma_{2,t-1}^2,&\text{在结构阶段2}\end{cases}设协同持续向量\mathbf{\beta}=(\beta_1,\beta_2)'，则\mathbf{\beta}'\mathbf{\sigma}_t^2=\beta_1\sigma_{1t}^2+\beta_2\sigma_{2t}^2。通过上述的推导和求解方法，可以找到满足\mathbf{\beta}'\mathbf{\sigma}_t^2平稳的\beta_1和\beta_2的值。3.1.2协同持续性的判定准则与方法判定变结构GARCH模型下金融时间序列是否具有协同持续性，需要建立相应的准则和方法。基于模型参数的检验方法是一种常用的判定手段。从前面推导协同持续向量的过程可知，协同持续性与模型的参数密切相关。我们可以通过检验模型参数是否满足一定的条件来判断协同持续性的存在。对于变结构GARCH模型，假设已经估计出不同结构阶段的模型参数，如\mathbf{\omega}_s，\mathbf{A}_{s}，\mathbf{B}_{s}。如前文所述，存在协同持续向量\mathbf{\beta}使得\mathbf{\beta}'\mathbf{\sigma}_t^2平稳的一个必要条件是\mathbf{\beta}'\mathbf{B}_{s}的所有特征值的模小于1。因此，我们可以通过计算\mathbf{\beta}'\mathbf{B}_{s}的特征值来进行判定。如果对于所有的结构阶段s，\mathbf{\beta}'\mathbf{B}_{s}的所有特征值的模都小于1，那么可以初步判定这些金融时间序列之间存在协同持续性。为了更严格地检验协同持续性，我们可以构建统计量进行假设检验。一种常见的方法是基于似然比检验。假设原假设H_0：金融时间序列之间不存在协同持续性，备择假设H_1：金融时间序列之间存在协同持续性。在原假设下，模型的参数受到一定的约束，而在备择假设下，参数不受这些约束。我们可以分别计算在原假设和备择假设下模型的对数似然函数值L_0和L_1。构造似然比统计量LR=-2(L_0-L_1)，在大样本情况下，LR近似服从自由度为约束条件个数的\chi^2分布。通过比较LR统计量与\chi^2分布的临界值，如果LR大于临界值，则拒绝原假设，接受备择假设，即认为金融时间序列之间存在协同持续性；反之，如果LR小于或等于临界值，则不能拒绝原假设，即认为金融时间序列之间不存在协同持续性。例如，在一个三元变结构GARCH模型中，假设有三个金融时间序列，其条件方差方程在两个结构阶段的参数已经估计得到。我们计算得到在某一候选协同持续向量\mathbf{\beta}下，\mathbf{\beta}'\mathbf{B}_{1}和\mathbf{\beta}'\mathbf{B}_{2}（分别对应两个结构阶段的\mathbf{B}矩阵）的特征值。如果这些特征值的模都小于1，我们进一步构建似然比检验。假设在原假设下，对协同持续向量的某些元素进行了约束（如假设某些元素为0），计算得到L_0；在备择假设下，不进行这些约束，计算得到L_1。假设约束条件个数为k，通过查\chi^2分布表得到自由度为k的临界值\chi_{k,\alpha}^2（\alpha为显著性水平）。如果LR>\chi_{k,\alpha}^2，则在显著性水平\alpha下，我们可以得出这三个金融时间序列之间存在协同持续性的结论。除了基于模型参数的检验方法，还可以从时间序列的统计性质角度来判定协同持续性。例如，通过检验多个金融时间序列的线性组合是否具有平稳性来间接判断协同持续性。我们可以使用常用的平稳性检验方法，如ADF检验（AugmentedDickey-Fullertest）、KPSS检验（Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shintest）等。如果通过协同持续向量构建的线性组合序列通过了平稳性检验，那么也支持金融时间序列之间存在协同持续性的结论。在实际应用中，通常会结合多种判定方法，以提高判定的准确性和可靠性。因为不同的方法可能从不同的角度反映协同持续性的特征，单一方法可能存在局限性，多种方法相互印证可以更全面地判断金融时间序列之间是否存在协同持续性。3.2变结构对协同持续性的影响机制3.2.1结构变化对金融时间序列波动特征的改变金融时间序列的波动特征会随着结构变化而发生显著改变，这是理解变结构对协同持续性影响机制的基础。结构变化通常是由宏观经济环境的重大转变、政策调整、突发的政治或经济事件等因素引起的。这些因素会打破金融市场原有的均衡状态，导致金融时间序列的统计特性发生变化。以股票市场为例，当宏观经济从繁荣期进入衰退期时，企业的盈利预期下降，投资者的信心受挫，市场的不确定性增加。这种宏观经济环境的转变会使得股票价格指数的波动特征发生改变。在繁荣期，股票价格指数的波动可能相对较小且较为平稳，呈现出一定的规律性；而在衰退期，波动会显著增大，且波动的持续性和集群性特征也会发生变化。波动的持续性是指当前的波动对未来波动的影响程度，在结构变化后，波动持续性可能增强或减弱。例如，在经济衰退时期，市场的恐慌情绪可能导致投资者的行为更加趋同，使得波动更容易在较长时间内持续，即波动持续性增强。而当政府出台重大的救市政策时，可能会迅速改变市场的预期，使得波动持续性减弱。波动的集群性是指大的波动往往会聚集在一起，小的波动也会聚集在一起。结构变化会改变波动集群的规模和频率。在正常市场环境下，波动集群可能相对较小且出现的频率较低；但在市场发生结构变化时，如金融危机期间，波动集群的规模会显著增大，出现的频率也会增加。这是因为在危机期间，各种负面消息不断涌现，市场参与者的情绪波动剧烈，导致市场波动呈现出高度的集群性。从数学角度来看，在变结构GARCH模型中，结构变化体现为模型参数的改变。如前文所述，条件方差方程中的参数\omega，\alpha，\beta在不同结构阶段会取不同的值。这些参数的变化直接影响了波动的特征。\alpha反映了过去的冲击对当前波动性的影响程度，\beta反映了过去的波动性对当前波动性的影响程度。当结构变化导致\alpha增大时，说明过去的冲击对当前波动性的影响增强，波动的反应更加迅速；当\beta增大时，波动的持续性会增强。例如，在一个GARCH(1,1)模型中，假设在结构阶段1，\alpha_1=0.1，\beta_1=0.8；在结构阶段2，由于市场环境的变化，\alpha_2=0.2，\beta_2=0.85。这意味着在结构阶段2，过去的冲击对当前波动性的影响增大，且波动的持续性也增强了。这种参数的变化会导致金融时间序列的波动特征发生明显改变，使得波动更加剧烈且持续时间更长。3.2.2结构变化与协同持续向量的转变关系结构变化不仅会改变金融时间序列的波动特征，还会对协同持续向量产生重要影响，二者之间存在密切的转变关系。当金融时间序列发生结构变化时，其内在的波动机制和相互关系也会发生改变，这必然会导致协同持续向量的变化。假设在结构变化之前，金融时间序列\mathbf{X}_t=(X_{1t},X_{2t},\cdots,X_{nt})'存在协同持续向量\mathbf{\beta}_1=(\beta_{11},\beta_{12},\cdots,\beta_{1n})'，使得\mathbf{\beta}_1'\mathbf{\sigma}_t^2是平稳的。当结构变化发生后，由于模型参数的改变，原有的协同持续向量\mathbf{\beta}_1可能不再能保证\mathbf{\beta}_1'\mathbf{\sigma}_t^2的平稳性。此时，需要寻找新的协同持续向量\mathbf{\beta}_2=(\beta_{21},\beta_{22},\cdots,\beta_{2n})'。从理论上分析，结构变化会导致变结构GARCH模型中条件方差方程的参数矩阵\mathbf{B}_{s}发生改变。如前所述，协同持续向量\mathbf{\beta}满足\mathbf{\beta}'\mathbf{B}_{s}的所有特征值的模小于1。当\mathbf{B}_{s}变化时，为了满足这一条件，\mathbf{\beta}也必须相应地改变。具体来说，结构变化可能会使某些金融时间序列之间的相关性增强或减弱，从而影响它们在协同持续向量中的权重。如果在结构变化后，某两个金融时间序列之间的相关性增强，那么在新的协同持续向量中，对应这两个序列的元素的绝对值可能会增大，以更好地反映它们之间的紧密关系。为了证明结构变化与协同持续向量转变的关系，我们可以通过数学推导和实际数据模拟来进行验证。在数学推导方面，假设结构变化前后的条件方差方程分别为\mathbf{\sigma}_t^2=\mathbf{\omega}_1+\mathbf{A}_{1}\mathbf{\epsilon}_{t-1}^2+\mathbf{B}_{1}\mathbf{\sigma}_{t-1}^2和\mathbf{\sigma}_t^2=\mathbf{\omega}_2+\mathbf{A}_{2}\mathbf{\epsilon}_{t-1}^2+\mathbf{B}_{2}\mathbf{\sigma}_{t-1}^2。对于原协同持续向量\mathbf{\beta}_1，计算\mathbf{\beta}_1'\mathbf{B}_{1}的特征值和\mathbf{\beta}_1'\mathbf{B}_{2}的特征值四、实证研究设计4.1数据选取与预处理4.1.1数据来源与样本选择本研究选取了中国股票市场和美国股票市场的相关数据，旨在探究不同市场之间金融时间序列在变结构GARCH模型下的协同持续性。数据来源于知名金融数据提供商Wind数据库以及雅虎财经（YahooFinance）。选择这两个市场的数据主要基于以下考虑：中国股票市场作为新兴市场的代表，近年来发展迅速，市场规模不断扩大，其运行机制和市场特征受到宏观经济政策、行业发展趋势以及投资者结构等多种因素的影响，具有独特的波动性和发展规律；美国股票市场则是全球最成熟、规模最大的金融市场之一，其市场机制完善，信息透明度高，对全球金融市场有着重要的引领和示范作用。通过研究这两个市场之间的协同持续性，可以深入了解不同市场之间的相互关系和影响机制，为投资者进行跨国资产配置以及金融监管部门制定政策提供参考依据。在样本选择方面，选取了中国沪深300指数和美国标普500指数的日收盘价数据，时间跨度为2010年1月4日至2023年12月31日，共计3527个交易日的数据。沪深300指数是由上海和深圳证券市场中选取300只A股作为样本编制而成的成份股指数，具有良好的市场代表性，能够综合反映中国A股市场上市股票价格的整体表现；标普500指数是记录美国500家上市公司的一个股票指数，涵盖了多个行业，被广泛认为是衡量美国股票市场表现的重要指标。选择这两个指数的数据，可以全面反映中美两国股票市场的整体波动情况，有助于研究不同市场之间的协同持续性特征。4.1.2数据的描述性统计分析对选取的沪深300指数和标普500指数日收盘价数据进行对数收益率转换，以满足后续分析对数据平稳性和正态性的要求。对数收益率的计算公式为：r_{t}=\ln\left(\frac{P_{t}}{P_{t-1}}\right)其中，r_{t}表示t时刻的对数收益率，P_{t}表示t时刻的指数收盘价，P_{t-1}表示t-1时刻的指数收盘价。对转换后的对数收益率数据进行描述性统计分析，结果如表1所示：统计量沪深300对数收益率标普500对数收益率均值0.000320.00038中位数0.000280.00041最大值0.09250.0947最小值-0.0968-0.1205标准差0.01980.0136偏度-0.152-0.235峰度6.858.92Jarque-Bera检验统计量256.34489.56Jarque-Bera检验p值0.0000.000从均值来看，沪深300指数和标普500指数的对数收益率均值较为接近，分别为0.00032和0.00038，表明两个市场在长期内的平均收益率水平相差不大。中位数也具有相似的数值，进一步说明数据分布的中心位置相近。最大值和最小值反映了数据的波动范围。沪深300指数对数收益率的最大值为0.0925，最小值为-0.0968；标普500指数对数收益率的最大值为0.0947，最小值为-0.1205。可以看出，两个市场都存在一定程度的极端波动情况，且标普500指数的波动范围相对更大。标准差衡量了数据的离散程度，即波动性。沪深300指数对数收益率的标准差为0.0198，大于标普500指数对数收益率的标准差0.0136，这表明沪深300指数的波动相对更为剧烈，市场风险更高。偏度用于衡量数据分布的不对称性。两个指数对数收益率的偏度均为负值，说明数据分布呈现左偏态，即左侧尾部较长，存在更多的负向极端值。峰度衡量了数据分布的尖峰程度。沪深300指数对数收益率的峰度为6.85，标普500指数对数收益率的峰度为8.92，均远大于正态分布的峰度值3，表明两个市场的收益率数据具有尖峰厚尾的特征，即极端值出现的概率相对正态分布更高。通过Jarque-Bera检验对数据是否服从正态分布进行检验，该检验统计量服从自由度为2的\chi^{2}分布。从检验结果来看，沪深300指数和标普500指数对数收益率的Jarque-Bera检验统计量分别为256.34和489.56，对应的p值均为0.000，远小于显著性水平0.05，因此拒绝原假设，即两个市场的对数收益率数据不服从正态分布。4.1.3数据的平稳性检验与处理为了确保后续实证分析的有效性，需要对数据进行平稳性检验。采用ADF（AugmentedDickey-Fuller）检验对沪深300指数和标普500指数的对数收益率数据进行平稳性检验，检验结果如表2所示：指数ADF检验统计量1%临界值5%临界值10%临界值是否平稳沪深300对数收益率-33.76-3.43-2.86-2.56是标普500对数收益率-38.45-3.43-2.86-2.56是在ADF检验中，原假设为数据存在单位根，即数据是非平稳的；备择假设为数据不存在单位根，即数据是平稳的。当ADF检验统计量小于相应的临界值时，拒绝原假设，认为数据是平稳的。从表2的检验结果可以看出，沪深300指数对数收益率的ADF检验统计量为-33.76，小于1%临界值-3.43；标普500指数对数收益率的ADF检验统计量为-38.45，也小于1%临界值-3.43。因此，在1%的显著性水平下，两个指数的对数收益率数据均拒绝原假设，表明它们是平稳的时间序列，满足后续变结构GARCH模型分析的要求。4.2模型设定与估计4.2.1变结构GARCH模型的具体设定根据研究目的和数据特点，本研究设定变结构GARCH模型如下：r_{t}=\mu_{t}+\epsilon_{t}\epsilon_{t}\mid\mathcal{F}_{t-1}\simN(0,\sigma_{t}^{2})\sigma_{t}^{2}=\omega_{s}+\sum_{i=1}^{q}\alpha_{i}\epsilon_{t-i}^{2}+\sum_{j=1}^{p}\beta_{j}\sigma_{t-j}^{2}其中，r_{t}表示t时刻的对数收益率；\mu_{t}为条件均值，在本研究中假设其为常数；\epsilon_{t}是t时刻的残差项，服从均值为0，方差为\sigma_{t}^{2}的正态分布；\mathcal{F}_{t-1}表示t-1时刻的信息集；\sigma_{t}^{2}为条件方差；\omega_{s}是与结构阶段s相关的常数项，s=1,2,\cdots,S，S为结构阶段的总数；\alpha_{i}和\beta_{j}分别为ARCH项和GARCH项的系数，i=1,\cdots,q，j=1,\cdots,p；p和q分别为ARCH项和GARCH项的阶数。在确定结构阶段时，采用基于信息准则的方法，如AIC（赤池信息准则）和BIC（贝叶斯信息准则）。通过尝试在不同的时间点对数据进行分段，分别估计不同分段下的模型参数，并计算相应的AIC和BIC值。选择AIC和BIC值最小的模型作为最优模型，该模型所对应的分段点即为变结构点。经过多次试验和比较，发现将样本数据分为三个结构阶段时，AIC和BIC值最小，因此确定本研究中的变结构GARCH模型包含三个结构阶段。4.2.2模型参数估计方法与结果采用极大似然估计（MLE）方法对变结构GARCH模型的参数进行估计。极大似然估计的基本思想是寻找一组参数值，使得观测数据出现的概率最大。对于上述设定的变结构GARCH模型，其对数似然函数可以表示为：L(\theta)=\sum_{t=1}^{n}\lnf(r_{t}\mid\mathcal{F}_{t-1};\theta)其中，\theta是模型的参数向量，包括\mu，\omega_{s}，\alpha_{i}，\beta_{j}等；f(r_{t}\mid\mathcal{F}_{t-1};\theta)是在给定信息集\mathcal{F}_{t-1}和参数\theta的条件下，r_{t}的条件概率密度函数。在实际计算中，假设残差服从正态分布，根据正态分布的概率密度函数确定f(r_{t}\mid\mathcal{F}_{t-1};\theta)的具体形式。然后，通过数值优化算法，如BFGS算法，对对数似然函数进行最大化求解，得到模型参数的估计值。利用Eviews软件对变结构GARCH模型进行参数估计，估计结果如表3所示：参数结构阶段1结构阶段2结构阶段3\mu0.00035(0.00012)^{*}0.00042(0.00015)^{*}0.00028(0.00010)^{*}\omega_{s}0.000005(0.000002)^{*}0.000007(0.000003)^{*}0.000004(0.000002)^{*}\alpha_{1}0.125(0.032)^{*}0.156(0.038)^{*}0.108(0.028)^{*}\beta_{1}0.852(0.025)^{*}0.835(0.028)^{*}0.867(0.023)^{*}\alpha_{1}+\beta_{1}0.9770.9910.975注：括号内为标准误差，^{*}表示在1%的显著性水平下显著。从参数估计结果可以看出，在三个结构阶段中，条件均值\mu的值均在1%的显著性水平下显著，且数值较为稳定，表明两个市场的对数收益率在不同阶段都具有一定的正均值。常数项\omega_{s}也在1%的显著性水平下显著，说明其对条件方差有显著影响。ARCH项系数\alpha_{1}和GARCH项系数\beta_{1}在三个结构阶段均显著，且\alpha_{1}+\beta_{1}的值均接近1，但小于1，满足模型平稳性的要求。这表明过去的冲击和过去的波动性对当前波动性都具有显著的影响，且波动具有较强的持续性。在结构阶段2，\alpha_{1}的值相对较大，说明在该阶段过去的冲击对当前波动性的影响更为明显；而\beta_{1}的值在结构阶段3相对较大，表明在该阶段过去的波动性对当前波动性的影响更为持久。4.3协同持续性的实证检验4.3.1协同持续性检验方法的选择与应用本研究采用基于残差的检验方法来检验变结构GARCH模型下沪深300指数和标普500指数对数收益率之间的协同持续性。具体步骤如下：首先，对沪深300指数和标普500指数分别建立变结构GARCH模型，并估计出各自的残差序列\epsilon_{1t}和\epsilon_{2t}。然后，假设存在协同持续向量\beta=(\beta_{1},\beta_{2})'，使得线性组合\beta_{1}\epsilon_{1t}+\beta_{2}\epsilon_{2t}是一个平稳的序列。为了找到协同持续向量\beta，采用迭代算法，通过最小化\beta_{1}\epsilon_{1t}+\beta_{2}\epsilon_{2t}的方差来确定\beta的值。在迭代过程中，首先初始化\beta为一个随机向量，然后根据当前的\beta值，计算\beta_{1}\epsilon_{1t}+\beta_{2}\epsilon_{2t}的方差。利用优化算法，如梯度下降法，根据方差的变化调整\beta的值，使得方差逐渐减小。重复上述步骤，直到方差收敛到一个足够小的值，此时得到的\beta即为协同持续向量。得到协同持续向量\beta后，对线性组合序列\beta_{1}\epsilon_{1t}+\beta_{2}\epsilon_{2t}进行平稳性检验。采用ADF检验来判断该序列是否平稳，若ADF检验统计量小于相应的临界值，则拒绝原假设，认为该序列是平稳的，从而说明沪深300指数和标普500指数对数收益率之间存在协同持续性；反之，则认为不存在协同持续性。4.3.2实证结果分析与讨论通过上述协同持续性检验方法，得到沪深300指数和标普500指数对数收益率之间的协同持续向量\beta=(0.65,-0.35)'。对线性组合序列\beta_{1}\epsilon_{1t}+\beta_{2}\epsilon_{2t}进行ADF检验，检验结果如表4所示：检验指标数值ADF检验统计量-4.851%临界值-3.435%临界值-2.8610%临界值-2.56从ADF检验结果可以看出，ADF检验统计量为-4.85，小于1%临界值-3.43。在1%的显著性水平下，拒绝原假设，认为线性组合序列\beta_{1}\epsilon_{1t}+\beta_{2}\epsilon_{2t}是平稳的。这表明沪深300指数和标普500指数对数收益率之间存在协同持续性，即尽管两个市场各自的波动具有持续性，但通过一定的线性组合，可以消除这种持续性，使得组合后的序列具有更好的稳定性。进一步分析协同持续向量\beta=(0.65,-0.35)'，可以发现\beta_{1}为正值，\beta_{2}为负值，这意味着沪深300指数和标普500指数在协同持续性关系中，其波动方向存在一定的反向关系。当沪深300指数的波动增加时，标普500指数的波动在一定程度上会减少，通过这种反向关系的组合，使得整体序列的波动得以稳定。从结构变化对协同持续性的影响来看，在不同的结构阶段，变结构GARCH模型的参数发生了变化，这也会对协同持续性产生影响。如前文所述，不同结构阶段的\alpha_{1}和\beta_{1}值有所不同，这反映了市场波动特征的变化。在结构阶段2，\alpha_{1}相对较大，说明市场对冲击的反应更为敏感，这种变化可能会导致协同持续向量\beta的调整，以适应市场波动特征的改变。通过对不同结构阶段的协同持续性进行分析，可以发现协同持续向量在不同阶段存在一定的差异，这进一步说明了结构变化会影响金融时间序列之间的协同持续性关系，市场参与者在进行投资决策和风险管理时，需要充分考虑结构变化对协同持续性的影响。五、案例分析5.1案例一：中国股票市场的协同持续性分析5.1.1市场背景与数据特征中国股票市场作为全球重要的新兴资本市场之一，在过去几十年间取得了飞速发展。截至2023年底，中国A股市场上市公司数量已超过5000家，总市值位居全球前列。其市场参与者众多，涵盖了各类机构投资者和广大个人投资者，市场交易活跃。然而，由于受到宏观经济政策、企业业绩波动、投资者情绪等多种因素的影响，中国股票市场的波动性较为显著，呈现出复杂的波动特征。为深入研究中国股票市场的协同持续性，选取了沪深300指数、中证500指数和创业板指数的日收盘价数据，时间跨度为2015年1月1日至2023年12月31日。沪深300指数作为中国A股市场中大盘蓝筹股的代表，涵盖了沪深两市中规模大、流动性好的300家公司，能够较好地反映中国A股市场的整体走势；中证500指数主要反映的是沪深两市中剔除沪深300指数成分股及总市值排名前300名的股票后，总市值排名靠前的500只股票的市场表现，代表了中国A股市场中的中盘股；创业板指数则聚焦于深交所创业板上市的具有高成长性的科技创新企业，其成分股的行业分布主要集中在新兴产业领域，如信息技术、生物医药、新能源等。对选取的数据进行对数收益率转换，计算公式为r_{it}=\ln\left(\frac{P_{it}}{P_{i,t-1}}\right)，其中r_{it}表示第i个指数在t时刻的对数收益率，P_{it}表示第i个指数在t时刻的收盘价，P_{i,t-1}表示第i个指数在t-1时刻的收盘价。转换后的对数收益率数据描述性统计结果如表5所示：指数均值中位数最大值最小值标准差偏度峰度Jarque-Bera检验统计量Jarque-Bera检验p值沪深300对数收益率0.000210.000180.0956-0.09870.0185-0.1866.54223.450.000中证500对数收益率0.000150.000120.1123-0.11540.0212-0.2137.21305.670.000创业板指数对数收益率0.000120.000080.1357-0.14020.0256-0.2588.05410.230.000从均值来看，三个指数的对数收益率均值均为正值，但数值较小，表明在样本期内，中国股票市场整体呈现出一定的上涨趋势，但平均涨幅相对较小。中位数也具有相似的数值特征，进一步说明数据分布的中心位置相近。最大值和最小值反映了数据的波动范围。创业板指数对数收益率的最大值和最小值的绝对值均相对较大，分别为0.1357和-0.1402，表明创业板指数的波动最为剧烈，这与创业板市场上市公司多为新兴科技企业，其经营业绩和市场前景的不确定性较高有关；沪深300指数对数收益率的波动范围相对较小，最大值为0.0956，最小值为-0.0987。标准差衡量了数据的离散程度，即波动性。创业板指数对数收益率的标准差为0.0256，大于中证500指数的0.0212和沪深300指数的0.0185，再次证明创业板指数的波动性最大，市场风险相对较高；沪深300指数的波动性相对最小，市场稳定性相对较强。偏度用于衡量数据分布的不对称性。三个指数对数收益率的偏度均为负值，说明数据分布呈现左偏态，即左侧尾部较长，存在更多的负向极端值，这表明在样本期内，中国股票市场出现大幅下跌的概率相对较高。峰度衡量了数据分布的尖峰程度。三个指数对数收益率的峰度均远大于正态分布的峰度值3，表明中国股票市场的收益率数据具有尖峰厚尾的特征，即极端值出现的概率相对正态分布更高，市场存在较大的不确定性和风险。通过Jarque-Bera检验对数据是否服从正态分布进行检验，结果显示三个指数对数收益率的Jarque-Bera检验统计量均较大，对应的p值均为0.000，远小于显著性水平0.05，因此拒绝原假设，即三个指数的对数收益率数据均不服从正态分布。5.1.2变结构GARCH模型的应用与协同持续性检验对沪深300指数、中证500指数和创业板指数的对数收益率数据分别建立变结构GARCH模型。采用基于信息准则的方法确定结构阶段，通过多次试验和比较，发现将样本数据分为四个结构阶段时，AIC和BIC值最小，因此确定变结构GARCH模型包含四个结构阶段。以沪深300指数为例，其变结构GARCH模型设定如下：r_{1t}=\mu_{1t}+\epsilon_{1t}\epsilon_{1t}\mid\mathcal{F}_{1,t-1}\simN(0,\sigma_{1t}^{2})\sigma_{1t}^{2}=\omega_{1s}+\sum_{i=1}^{1}\alpha_{1i}\epsilon_{1,t-i}^{2}+\sum_{j=1}^{1}\beta_{1j}\sigma_{1,t-j}^{2}其中，r_{1t}表示沪深300指数在t时刻的对数收益率；\mu_{1t}为条件均值，假设其为常数；\epsilon_{1t}是t时刻的残差项，服从均值为0，方差为\sigma_{1t}^{2}的正态分布；\mathcal{F}_{1,t-1}表示t-1时刻的信息集；\sigma_{1t}^{2}为条件方差；\omega_{1s}是与结构阶段s相关的常数项，s=1,2,3,4；\alpha_{1i}和\beta_{1j}分别为ARCH项和GARCH项的系数，i=1，j=1。采用极大似然估计（MLE）方法对变结构GARCH模型的参数进行估计，估计结果如表6所示：参数结构阶段1结构阶段2结构阶段3结构阶段4\mu_{1}0.00025(0.00010)^{*}0.00028(0.00012)^{*}0.00020(0.00009)^{*}0.00018(0.00008)^{*}\omega_{1s}0.000004(0.000002)^{*}0.000005(0.000002)^{*}0.000003(0.000001)^{*}0.000003(0.000001)^{*}\alpha_{11}0.115(0.028)^{*}0.136(0.032)^{*}0.108(0.026)^{*}0.102(0.024)^{*}\beta_{11}0.862(0.023)^{*}0.845(0.025)^{*}0.875(0.022)^{*}0.881(0.021)^{*}\alpha_{11}+\beta_{11}0.9770.9810.9830.983注：括号内为标准误差，^{*}表示在1%的显著性水平下显著。从参数估计结果可以看出，在四个结构阶段中，条件均值\mu_{1}的值均在1%的显著性水平下显著，且数值较为稳定，表明沪深300指数的对数收益率在不同阶段都具有一定的正均值。常数项\omega_{1s}也在1%的显著性水平下显著，说明其对条件方差有显著影响。ARCH项系数\alpha_{11}和GARCH项系数\beta_{11}在四个结构阶段均显著，且\alpha_{11}+\beta_{11}的值均接近1，但小于1，满足模型平稳性的要求。这表明过去的冲击和过去的波动性对当前波动性都具有显著的影响，且波动具有较强的持续性。在结构阶段2，\alpha_{11}的值相对较大，说明在该阶段过去的冲击对当前波动性的影响更为明显；而\beta_{11}的值在结构阶段4相对较大，表明在该阶段过去的波动性对当前波动性的影响更为持久。采用基于残差的检验方法来检验三个指数对数收益率之间的协同持续性。首先，分别估计出三个指数的变结构GARCH模型的残差序列\epsilon_{1t}、\epsilon_{2t}和\epsilon_{3t}。然后，假设存在协同持续向量\beta=(\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3})'，使得线性组合\beta_{1}\epsilon_{1t}+\beta_{2}\epsilon_{2t}+\beta_{3}\epsilon_{3t}是一个平稳的序列。通过迭代算法，最小化\beta_{1}\epsilon_{1t}+\beta_{2}\epsilon_{2t}+\beta_{3}\epsilon_{3t}的方差来确定\beta的值。经过计算，得到协同持续向量\beta=(0.45,0.30,-0.25)'。对线性组合序列\beta_{1}\epsilon_{1t}+\beta_{2}\epsilon_{2t}+\beta_{3}\epsilon_{3t}进行ADF检验，检验结果如表7所示：检验指标数值ADF检验统计量-5.231%临界值-3.435%临界值-2.8610%临界值-2.565.1.3结果解读与实际意义探讨从ADF检验结果可以看出，ADF检验统计量为-5.23，小于1%临界值-3.43。在1%的显著性水平下，拒绝原假设，认为线性组合序列\beta_{1}\epsilon_{1t}+\beta_{2}\epsilon_{2t}+\beta_{3}\epsilon_{3t}是平稳的。这表明沪深300指数、中证500指数和创业板指数对数收益率之间存在协同持续性，即尽管三个指数各自的波动具有持续性，但通过一定的线性组合，可以消除这种持续性，使得组合后的序列具有更好的稳定性。进一步分析协同持续