2025年春沪科版九年级下册数学 专题246 切线的综合（压轴题专项讲练）（沪科版）（解析版）

专题24.6切线的综合

典例精析

【典例1］如图，延长。。的直径48,交直线DG于点Q,且80=9/18=10,乙40G=60。.射线0M从DG

出发绕点。逆时针旋转，旋转角为。：同时，线段0C从0B出发绕点O逆时针旋转，旋转角为2a,直线4c与

射线DM相交于点〃，与直线DG相交干点凡其中0。＜。＜180。，且。工90。.

(1)当。=20。时，弧BC的长为；

(2)当a=120。时，判断△4DH的形状，并求它的周长;

(3)△4DH的外心能否在边。〃匕如果能，求出a的度数：如果不能，请说明理由:

(4)若射线DM与0。有公共点，直接写出a的取值范围；

(5)当tan乙=g时，求线段HF的长度.

【思路点拨】

(1)根据孤长公式可得答案；

(2)首先证明出△40C为等边三角形，进而得到乙。4C=60。，可证明出△40H为等边三角形，然后根据三

角形周长公式求解即可；

(3)若△/!£)，的外心在边DH上，则边。，应为直角三角形的斜边，即趋化为判断4/X4H是否可以为90°的问

如

(4)设射线OM与O。相切于点Q,连接OQ,首先根据题意得到乙OQD=90。，OB=OQ,进而得到々=

Z.ADG-Z.ODQ=30°,然后当射线DM旋转到再次与00相切时，如解图②所示，此时a=90。，迸而得到

a的取•值范,国：

(5)分类讨论，当点，在4。右侧时，当点”在4。左侧时，利用锐角三角函数表示出47、AF计算出OF.再

利用角角相似得^DHF-△AD尸得出，尸的长.

【解题过程】

(1)解：va=20°,Z.BOC=2a,

・SOC=40。，,=池=10,

故答案为：~

(2)如解图①,

M

当“=120c时，乙A。。=2u-180c=60、

'：0A=OC,

「.△/IOC为等边三角形，

：,z.OAC=60°.

■:乙ADH=乙MDG-Z.ADG=120°-60°=60°,

・•.△/!/)〃为等边三角形.

VBD=-AB=10.

2

：.AD=3BD=30,

的周长为=90；

(3)不能.理由如下：

M

若△40”的外心在边0”上，则ND4H=90。，如解图②所示.

•；CDAH=90°,

.•."F与。0相切于点人

•••点C是直线"F与。。的交点，

，点。为切点，点4与点C重合.

：.LBOC=180°,即2a=180°,

解得。一90。，不合题意(0。90。)，舍去.

・•・符合条件的△ACH不存在，口以4。”的外心不能在边DH上;

(4)300<a<90°；

根据射线。M与0。有公共点，可判断有两个临界点即与圆的切点.

如解图③，设射线OM与。0相切于点Q,连接0Q,

则NOQO=9()。，OB=OQ,

'：BD=AB=10,

：.BD=OB=OQ,

:“ODQ=30°,

：,a=z.ADG-z.ODQ=3Q0.

射线DM继续绕点。逆时针旋转，与00有两个公共点，当射线DM旋转到再次与。0相切时，如解图②所

示，此时a=90。.

综上所述，a的取值范围为30。Wa<q。。.

(5)情况1：当点〃在力。右侧时，

如解图④，过点尸作FT_L4。于点了，

：.AD=AK-DK=5t-t=30,

：.FK=­,AK=-.

22

:.DF=-^=15,

sin60°

在AFK中，由勾股定理得凡4=y/FK2+A"=15夕,

'：^FDll--180°-a,^AOC-2a-180°,OA-OC,

J.LOAC=；X[180°-(2Q-180°)]=180°-a,

LFDH=Z.OAC,

,：Z.HFD=Z.DFA,

:.&HFD~〉DFA,

.DFHF

••AFDF,

：.FD2=AF-HF,BP152=1577-HF,

；・HF*.

7

综上所述，当tan，B4C=当时，，尸的值为一或*.

学霸必刷

I.（2023•全国•九年级专题练习）如图，在矩形A8CD中，AB=6,BC=8,点A在直线［上，月。与直线，相

交所得的锐角为60。.点尸在直线，上，AF=8,EF1直线，，垂足为点F且E~=6,以£F为直径，在EF的左

侧作半圆0,点M是半圆。上任一点.

发现：4M的最小值为,的最大值为,OB与直线1的位置关系是—.

思考：矩形/18CD保持不动，半圆。沿直线4句左平移，当点E落在4。边上时，求半圆与矩形重合部分的周长

和面积.

【思路点拨】

发现：先利用勾股定理求出04的长，根据圆的性质得到0M=3,当点M在线段04上时，4M有最小值，当

点M与点E重合时，/1M有最大值，然后过点B作BG_Lh垂足为G,求得BG的长，进而证明四边形0BGF为

平行四边形，即可得到0B与直线I的位置关系；

思考：连接。G,过点。作O，1EG,根据垂径定理得到GE=2HE,然后在△E0H中求得EH的长，接下来求

得乙E0G的度数，根据扇形的面积公式即可得到结论.

【解题过程】

发现：由题意可知0M=0F=3,AF=S,EF11,

：.AF2+OF2=OA2,

：.0A=y/AF2+OF2=V824-32=g,

当点M在线段。/1上时，4M有最小值，最小值为旧一3,

当点M与点E重合时，有最大值，最大值=3笆转声=10,

如图1所示：过点B作8G11,垂足为G,

,：z.DAF=60°,/.BAD=90°,

工乙BAG=30%

：.GB=^AB=3,

：.0F=BG=3,

又•:GBIIOF,

・•・四边形08GF为平行四边形，

：.0B||FG,即08I",

故答案为：\/73-3：10；平行.

思考：如图2所示：连接0G,过点。作。HlEG.

c

D

AF

图2

'：^DAF-60°,EF1.AF,

：.Z-AEF=30°,

:.乙GOE=120°,

・"GOH=60°,

,：OH1EG.

：.L0GH=30°,

,:EF=6,

：,GO=OE=OF=3,

・・・。"=*。=13.

：.GH=y/OG2-OH2=收_（款=苧,

：,GE=2EH=2Xyx3=373,

・・•半圆与矩形重合部分的周长二号丁+3g=2兀+3V3：

ccc1207rx320G〜3〜1o9仃

5重合部分一S扇形G0E、AGOE-3603V3X2X2-37r4.

2.（2023上•广东广州•九年级统考期末）如图，已知正方形4BCD边长为2.点。是8。边的中点，点E是

正方形内一个动点，且EO=1.

口

月|--------------1c

(1)连接BE,CE,求乙BEC的度数：

⑵连接DE,若4。£0=90。，求8E的长度:

(3)将线段0E绕点。逆时针旋转90。后，得到线段。凡连接CF,线段CF长是否存在最小值，若无，说明

理由：若有，求出这个最小值.

【思路点拨】

(1)判断出点£在以BC为直径，■在正方形4BCD内部的半圆上，根据直径所对的圆周角是直角可得结论;

(2)由乙OE。=90"J'知是半圆的切线，连接8瓦EC,00.利用切线的性质进一步得出CE=28E,再运用

勾股定理可得结论；

(3)根据SAS证明△ADE=△COF得到月E-CF,求得HE的最小值即可

【解题过程】

(1)•・•点O为BC的中点，BC=2,E0=1,

.,•点E在以O为圆心，以1为半径的圆上，且位于正方形ABCD内部的半圆上，

：.Z-BEC=90。：

(2)当乙。E0=90°时，DE切。0于点E,连接BE,EC,0D,如图1,

o

图I

•・•四边形/BCD是正方形,

：.CD=BC=2,/.BCD=Z.ADC=90°,即CD是00的切线,

：.ED=DC=2,

'：E0=0C

,"EDO=乙CDO,

：.0D1.EC,且。。平分CE,

：.BE\\OD,

：.z.ECO+乙DOC=90°,Z.ODC+乙DOC=90°

:.乙ECO=乙ODC

tanzFCO=tanzODC

.B£_O£

''CE-CD

ACE=2BE

在Rtz\8C£■中，BC2=BE2+EC2,

：.BE2+4BE2=22,

(3)'：LADC=Z.EDF=90°,即ZJ1DE+乙EDC=Z.CDE+ZFDC

J.LADE=Z.FDC

在AAOE和女。”中，

(AD=CD

1/.ADE=乙CDF

(DE=DF

.•.△/DF^ACDF(SAS)

:.CF=AE

，CF最小时,AE最小,

如图2,连接4。交＜3。丁点E',

在Rt△A80中，OA=y/AB2+OB2=V22+I2=V5,

•••AE'=OA-OE'=4S-1.

••.CF存在最小值为遥-1

3.（2022上•江苏南京,九年级统考期中）如图，在0。中，力B为0。的直径，以与00相切于点A,点C

在。。上，且PC=P4.

(1)求证：PC与0。相切；

(2)过点C作CD_L/1B,交。。于点Q，若CD=/M=2g,则图中阴影部分的面积为，

【思路点拨】

(1)连接。C、"，只要证得AOP，mAOPC(SSS),利用全等三角形的性质即可证得。BlP0即可;

(2)连接OC、OD、/W,设48与C。的交点为E,如图所示，只要证得四边形P4DC是菱形，由菱形的性质

得到CD=40=271进而利用直角三角形中一条直角边等于斜边的一半就可得到/■□48=30。，接着利用

锐角三角函数求得。仄。。的长，最后根据S阴影=S扇形go-5式。。即可求解.

【解题过程】

(1)证明：连接0C0P.

•.•/M与。。相切于点A,

：.0A1PA.

［乙PAO=90°.

在和△OPC中

0A=0C

PA=PC,

OP=OP

：.△OPA三△OPC(SSS).

：.LPCO=Z.PAO=90°,EPOC1PC.

又•・•点C在O。上，

.•・PC与00相切.

(2)解：连接OC、OD、AD,设48与CD的交点为E,如图所示,

•.NB为O。的直径，CDLAB,CD=PA=273,

：.CE=DE=^CD=V3,阮=町,

.\z.COB=乙DOB.

,：CDLAB,PA1AB,

：.PA||CD,

又YCD=PA=2b，PA=PC,

・•・四边形PAOC是菱形，

：.CD=AD=2y[3,

：.DE=-AD,

2

...在Rt^AOE中，乙DAB=30。,

工乙COB=乙DOB=2Z.DAB=60°,

:.MOD=2乙DOB=120°,

，在RfDOE中，刖60。=氏=焉而60。=券=焉

解得OE=1,OD=2,

'S阴影=S扇形COD-SACOD

120°兀xOD21

-----------------------CD-OE

36002

2

12O°TTX21「

--xx1

360°

1-V3,

・•・阴影部分的面积为"一百,

故答案为:—V3

4.(2022上•广西南宁•九年级广西大学附属中学校考期中)如图，以的直角边BC为直径作

交斜边EC于点A,于点。，点尸是8E的中点，连接CF与40相交于点G,延长4尸与C8的延长线相

交于点P.

(2)求证：点G为4D的中点；

(3)若2FG=£8,且。。的半径长为3,求8。的长度.

【思路点拨】

(1)要证P4是。。的切线，就要证明乙R4。=90。，连接/IO,AB,根据乙E80=90。，和直角三角形的等

量代换，就可得出结论；

(2)根据切线判定知道E8J.BC,而ADJ.BC,从而可以确定AD〃BE，那么又点F是EB

的中点，就可得出结论；

(3)过点”作FH，40于点〃，根据前两问的结论，利用三角形的相似性和勾股定理，可以求出8D的长度.

【解题过程】

(1)证明：如图，连接210,AB,

：.z.BAC=90°,

在股△BAE中，尸是斜边BE的中点,

：.AF=FB=EF,

：.z.FBA=LFAB,

又二。4=OB,

/-ABO=Z.BAO,

,：z.EB0=9Q°,

,:乙EBO=乙FBA+乙ABO=/.FAB+Z.BAO=Z.FAO=90°,

.•.PH是。。的切线：

(2)证明：YBC是OO的直径，^LEBO-90%

：.EB1BC,8f是。。的切线

y.'：ADIBC,

：.AD||BE,

•*.△BFCDGC»△FECGAC,t

.BF_CFEF_CF

**DG-而，"AG-CGr

.orcr

••=,

DGAG

•IF是斜边BE的中点，

：.BF=EF,

：.DG=AG,

工点G为的中点;

(3)解：过点尸作FHJ./ID于点从如图，

•；BD1AD,FHLAD,

/.FH||BC,

由(2)知，Z.FBA=乙BAF,

：.BF=AF,

由已知，有2FG=EB,点F是RE的中点,

：.BF=FG

：.AF=FG,即A是等腰三角形.

*：FHLAD,

：.AH=GH,

,:DG=AG,

：.DG=2HG,

即空=」

DG2

'：FH||BD,BFIIAD,Z.FBD=90°,

J四边形BDHF是矩形，BD=FH„

'：FH||BC,

：.△HFGSDCG,

.FHFGHG1

**CD-CG~~DG~2,

•；。。的半径长为3,

：.BC=6.

.BD_BO_BD_1

,*CD-BC-BD-6-RD-2'

解得BD=2：

:,BD=2.

5.(2023上•河北石家庄•九年级校考期末)如图，在宜角坐标系中，矩形OABC的顶点。与坐标原点重合，

G为两条对角线的交点，顶点力在工轴上，顶点C的坐标为(0,6),乙C08=30。.以0C上一点P为圆心、：为半径

的圆恰与08相切于点D.

(1)求点P的坐标；

(2)判断力。和。。的位置关系，并说明理由;

(3)已知E为0P与PC的交点，求DE的长.

【思路点拨】

(1)连接尸。，在RtaPD。中，知道一边、一锐角可以求出0P长，从而求出点P的坐标.

(2)过点尸作PH1.4C,垂足为“，只需求出PH长，然后比较P”与半径PD大小关系，就可得到4C和0P的

位置关系.

(3)过点。作DF_LOC,垂足为尸，只需求出OF、E尸的长，就可以求出0E的长.

【解题过程】

•••PD10B,

•••Z.FDO=90°

又乙COB=30°,PD=

:.OP=2PD=3

•••点P的坐标为(0,3).

(2)AC与OP相切

证明:过点尸作PH1AC于点H.

VC(D,6),

A0C=6

PO=3,OC=6,

•%PC=OC-PO=3

•••四边形。是矩形，

:.CG=0G,

...LGC0=乙COB=30°

VPH1AC,

Z.FHC=90%

PH=1PC=-,

22

又⑷p的半径是不

•••4C与OP相切.

（3）过点。作。尸IOC与点F.

v2FDO=90°,乙POB=30°,

:.Z.0PD=60°

在RtAPFT）中，有OF=PO・sin60o=?x^=^

224

vPD=PE,

•••Z.PED=乙PDE,

又•••LOPD=乙PED+乙PDE,

1

:./.FED=-z.OPD=30°

迪r

在RtAEFO中，ED==^=—

sln30012

6.；2022上・北京•九年级校考期末)如图，在平面直角坐标系xOy中，存在半径为2,圆心为(0,2)的0W,

点P为。”上的任意一点，线段P0绕点P逆时针旋转90。得到线段P0',如果点M在线段PO'上，那么称

点M为。W的呻艮距点”.

(2)如果过点N(0,a)且平行于X轴的直线/上始终存在0W的“限距点”，求〃的取值范围；

(3)OG的圆心为(b,2),半径为1,如果OG上始终存在OW的呻艮距点”，请直接写出〃的取值范围.

【思路点拨】

(1)分两种情况：当WPJLy轴时，P。'相切于0W轴时，分别作出相应图形即可判断；

(2)以/为圆心，)。为半径作圆，根据题意证明出△WOPsZk/OO、得到点。，的轨迹是以l为圆心，以J0为

半径的圆，如果过点N(0,a)且平行于％轴的直线，上始终存在。W的“限距点”，则N在平行于x轴并相切于。P

的范围内，据此求解即可；

(3)如果OG上始终存在。”的“限距点”，则0G相切于0P和。卬：据此求解即可.

【解题过程】

(1)解：如图所示，

当WPly轴时，0'点的坐标为(4,0),

当P0'相切于0W轴时，P点的坐标为(0,4),

・•・在点A(4,0),8(l,2),C(0,4)中,OW的“限距点”为2(4,0),C(0,4),

故答案为：＞4(4,0),C(0,4)

(2)如图2中,

图2

作W/ly轴，OP1O'P

VWO=WP,OP=O'P

・•・△加0/和4POO'都是等腰直角三角形，

.WO_PO_V2

,•方一而一"F

又•.•4WO/=Z.POO1=45°

：.£WOJ-Z.POJ=NPOO'-乙POJ,即NWOP=Z.JOO'

/.△WOPJOO'

VWO=WP

：.JO=JO1

・••点。’的轨迹是以J为圆心，以/O为半位的圆，

•.•点P在O”上运动，

••・P0'扫过的区域为图上阴影部分，

・•・当直线y=。与阴影部分有公共点时，满足条件.

当直线y=Q与。/相切时，

\'JO=V22+22=2V2,

...a的取值范围是：2-2&4Q42+2企：

(3)如图3中，由题意当OG与阴影部分有公共点时，OG上始终存在。卬的呻艮距点”,

当。Gi与。W外切时，Gi点坐标为：（-3,2）,

当0G2与。/内切时，G2点坐标为：（3-2底,2）,

当。G3与。W内切时，G3点坐标为：（L2）,

当OG4与O/外切时，G4点坐标为：（3+2^2,2）,

，观察图象可知，满足条件b的取值范围是：一3Wb£3-2企或l£b£3+2四.

7.（2022上•北京东城,九年级东直门中学校考期中）对于。。与OC上一点A,若平面内的点P满足：射线

AP与0c交于点。，且P4=2QA,则称点尸为点A关于0c的“倍距点”.已知平面直角坐标系xOy中，点

（1）如图1,点O是坐标原点，。。的半径是2,点。是点A关于。。的“倍距点”

①若点尸在^轴的负半轴上，直接写出点P的坐标；

②若点P在第二象限，W.Z-PAO=45°,求点P的坐标；

（2）设点TQ,0）,以丁为圆心，加长为半径作07,直线y=—x+4分别与x轴、y轴交于点。、E,若直

线y=-%+4上存在点P,使得P是点A关于。7的“倍距点”，求/的双值范围.

【思路点拨】

（1）①②根据点P为点A关于的“倍距点”的定义，画出图形解决问题即可:

（2）取AD的中点N（3,0）,过点N作NKIIDE交），轴于点K.当点7在点A的左侧与直线NK相切于点”

时，作射线AM交直线DE于点P,此时P4=2AM,存在点P,使得。是点A关于。7的“倍距点”，再结合

图形，可得结论.当点T在点A的右侧与直线NK相切于点M时,作射线4M交直线QE于点P,此时=2AM,

存在点P，使得尸是点A关于0T的“倍距点”，同法可得结论.

【解题过程】

（1）解：①如图1中，当点P在x轴的负半轴上时，QP=4Q=4,

•；4（2,0）,

：.OA=OQ=2,

:.PQ=AQ=4,

；・OP=6,

/.P（-6,0）.

故答案为：（一6,0）；

②当点P'在第二象限，且NPSO=45、观察图象可知，点尸的坐标（-2,4）；

（2）解：如图2中，

•.•直线y=-x+4分别与x轴、y轴交于点。、E,

.,.0（4,0）,E（0,4）,

：.0E=。。=4,

*：A（2,0）,

：.0A=2,

取AD的中点N（3,0）,过点N作NKIIDE交y轴于点K.

当点7在点4的左侧与直线NK相切于点M时，作射线4M交直线于点P,此时P4=24M,

二.存在点P，使得P是点A关于。丁的“倍距点”，

'：OE=OD,Z.DOE=90°,

:•（ODE=45°,

,：NK\\DE,

"TNM=乙ODE=45°,

,：TM1MN,

：.TM=MN=TA,

设T4=m,则有m2+m2=（m+l）2,

解得m=1+&或1一鱼（舍去），

.*.7（1-V2,0）,

观察图象可知，当t0l一逅时，满足条件.

当点T在点4的右侧与直线NK相切于点M时，作射线4M交直线于点P,此时PA=2AM,

「•存在点P，使得P是点A关于。T的“倍距点”，

同法可证兀4=TM=MN,设，4=TM=MN=n,则有？2+\[2n=1,

n=V2—1,

，7｛注+1,0),

观察图象可知，当时，满足条件.

图3

综上所述，满足条件的/的值为£W1-&或£>V2+1.

8.(2023下•湖北黄石•九年级校考阶段练习)已知AB是。0的直径，4C是弦，ZBAC的角平分线交00于

点。，。£1何于£.

(1)如图1,求证：DE是。。的切线；

(2)如图1,若48=13,AC=5,求的长;

⑶如图2,过点8作O0的切线，交4。的延长线于凡若ED=DF=x,AD=y,求消值.

【思路点拨】

(1)连接。0,则利用角平分线的定义和等腰三角形的性质可以推出乙40。=4区4。，从而证明。0||力E,

则4E+40DE=180。，再由DEJ.4C,得到NE=90。,则匕ODE=90),由此即可证明结论；

(2)连接OD,BC交手凡先利用勾股定理求出BC=12,然后整理四边形ECTD是矩形，得到DE=

CF,Z-CFD=90°,再由垂径定理求得。尸=8/=18。=6,由此即可得到答案：

（3）连接B。，先证明△4E。三ZiB。凡得到4D=BF,再由勾股定理得至IjBD2=<§2—人。2=8F2一

AB2=AF2-BF2,从而可以推出0~2+4。,。2一4。2=0,即。£>2+AO•OE—40?=0,则^十器

1=0,

设器=3则/+—i=o,解方程即可.

【解题过程】

（1）证明：如图所示，连接。。，

"：OA=OD,

*.z.0AD=Z.ODA,

平分48/1C,

：.z.EAD=4BAD,

：.Z.ADO=Z.EAD,

：.ODIIAE,

・"E+NODE=180°,

'：DE1AC,

Az£=90°,

:.乙ODE=90°,

又「。。是。。的半径，

，。£是00的切线：

(2)解：如图所示，连接OD,BC交于F,

•NB是直径,

：.LACB=乙BCE=90°,

：.BC=\/AB2-AC2=12,

又•.•△£1=LFDE=90°,

・•・四边形ECFD是矩形，

:,DE=CF,Z.CFD=90°,

：.CF=BF=^BC=6,

2

：.DE=CF=6,

(3)解：如图所示,连接8D,

•.MB是直径，

：.z.BDA=乙BDF=90°,

.,.zF+zFFD=90°,

平分乙B4C,

：.z.EAD=z.BAD,

户是。。的切线，

：.£ABF=90°,

/.zF+zF/ie=90o,

Z.Z.EAD=/.BAD=乙FBD,

'：z.E=Z.BDF=90°,ED=FD,

：.△AEDSAFDF(AAS),

.\AD=BF,

'：BD2=AB2-AD2=BF2-DF2,AB2=AF2-BF2,

：.AF2-BF2-AD2=BF2-DF2,

：.(AD+DF)2-AD2-AD2=AD2-DF2,

：.DF2+AD-DF-AD7-0,BPDE2+AD-DE-AD2-0

••恩)2-1=。，

唠=3

t24-1-1=0,

解得t=亨或亡=一芋(舍去)，

•丝=匹］

AD2

VED=DF=x,AD=y,

..心酸一=如

xDE、行-12

9.(2023•陕西西安・统考二模)问题提出

(1)如图1,。。是△ABC的内接圆，乙力=60。，BC=4,则。。半径长等于

问题探究

(2)如图2,在矩形4BCD中，AB=4,若在边CD上存在一点P,使得“PB=90。，求矩形A8CD面积的

最人值；

问题解决

(3)如图3,是一个矩形广场，其中AB=60m,8E足够长.为了方便居民生.活，促进经济发展，街道计

划在矩形内部修建•个面积尽量大的交易市场48CD,其中C,。分别在边8E,AF±,且=45。.在

具体施工中安全联防小组要求在CD上找到一点。，使得乙AQB=45。，以便安装摄像头对市场进行安全监

管.请问满足上面要求的市场48C。是否存在，若存在，请求出市场48C0面枳的最大值：若不存在，请说

明理由.

【思路点拨】

(1)连接。8,。配过点。作。018C,垂足为。，根据圆周角定理得到乙80。=120。，根据三线合一得到

根据等腰三角形的性质得到408c=2。。8=30。，利用直角三角函数即可求出08：

(2)设48的中点为O,以点。为圆心，4。为半径作圆，0。与。。的交点可以满足4428=90。，当当0C

与O。相切时，矩形力BC0而枳的最大值，根据圆的性质即可求得矩形的最大面积：

(3)结合(1)和(2)的思路，先作的垂直平分线MN,交AB点M,交E尸与点N,以点M为圆心，以4Al为

半径作圆，交MN于点O,再以点。为圆心，力。为半径作。0,。。与直线0C的交点为Q,根据圆周角定

理得乙/1QB=45。，当DC与。。相切时，4。最大，根据正方形和圆的性质即可求得最大而枳.

【解题过程】

解：(I)如下图所示，连接08,0C,过点。作OO_L/?C,垂足为力，

•."A=60°,

•"B0C=120。，

'：OB=OC,

：.Z.0BC=Z.0CB=30°,

,：OD1BC,BC=4

:.BD=3BC=2,

2

RD

cosZ.OBD=cos300=—,

故答案为：”:

(2)如下图所示，设48的中点为O,以点O为圆心，4。为半径作圆，连接PO,

c

O。与QC的交点可以满足4APB=90\

,•,S能形4OCD=48x4。，

工当0C与。。相切时,4D最大,

••.DC是。。的切线，

：,P01DC,

・•・四边形0P。力是矩形，

：.AD=PO=2,

•.S炖形ABCO=xAD=4x2=8,

故矩形48。。面枳的最大值为8：

(2)如下图所示，作/1B的垂直平分线MN,交AB点、M,交EF与点N,

以点M为圆心，以AM为半径作圆，交MN于点O,再以点。为圆心，40为半径作O0,过点。作

垂足为P，

VZ.A0B=90°,

•••。。与直线0C的交点为Q，根据圆周角定理得乙4Q8=45°,

当直线DC与。。相交时，存在点Q,

当直线DC与O。相离时，不存在点Q,

当直线DC与。。相切时，四边形48CD面积的最大值，

=45°^BAO=45°,/.ABP=90°,/.BAD=90°

：.^LADB=45°,4OAD=45°,

：.A0=OD=OQ,AB=AD,

・••点。与点。重:合,

BCD=45%

：.DP=PC=AB=60,

=2

,•S四边形ABCD=^QABPD+S^DPC60x60+-x60x60=5400m,

故市场力BCD而枳的最大值为5400m2.

10.（2023•河北衡水・校联考模拟预测）在一平面内，点。是。/1上的点，连接AD,AB.BC、。。是三条定

长线段，将四条线段按如图1顺次首尾相接，把48固定，让AD绕点A从开始逆时针旋转角a（0。<a<360。）

到某一位置时，BC,C。将会跟随到相应的位置，且点C始终保持在力B上方.

（1）若点。在43上方且40I8C时,求乙4BC的度数（用含a的式子表示）：

（2）当旋转到如图2位置时,连接AC,4。与04交于点P,连接PD,若乙48+2“DP=90。,请判断CD

与。力的位置关系，并说明理由；

（3）若04的半径为1,BC=3,AB=CD=5,连接力C.

①当点D落在C4的延长线上时，求线段4。扫过的面积（参考数据：tan37o《》；

②当点4与点。的距离最大时，求点。到48的距离；

③当点。在力B上方，且8cle。时，直接写出sin"BC的值.

【思路点拨】

（1）利用平行线的性质求解；

（2）结论：是。力的切线.如图2中，延长C4交。4于点了，连接。7\证明AC_LCO即可：

（3）①求出圆心角，利用弧长公式求解；

②如图3—2中，过点D作DHJ.AB于点H,过点C作C/1.48于点/.当A,D,C共线时，A,C两点之间距离

最大.设夕=y,则有6?-（5+y）2=32—y2,求出叮，再利用平行线分线段成比例定理求解：

③如图3—3中，过点力作力71CD于点T,过点力作4R1BC于点、R,则四边形力RCT是矩形，设DT=x,AT=

y.构建方程组求解即可.

【解题过程】

(1)解：如图1中，当力0II8c时,

乙4+=180°,

•••乙B=180°-a；

(2)解：结论：。。是04的切线.

理由：如图2中，延长C/1交。A于点7,连接。7.

•••P7是直径，

:.Z.TDP=90°,

zT+Z.DPT=90。，

vZ.DPT=Z.ACD+乙CDP,

:.Z.ACD+Z.CDP+Z.T=90°

Z.ACD+2Z.CDP=90°,

Z.T=乙CDP,

-AT=AD,

:.ZT=Z.ADT,

,Z.CAD=ZT+Z.ADT-2zT=2Z.CDP,

•••Z.ACD+/.CAD=90%

:.LADC=90°,

AAD1CD,

•••/w是半径，

•••。。是。4的切线：

(3)①如图3-1中

AB

D

图3・l

CD-AB-5,AD-1,

AC=CO-4。=5—1=4,

BC=3,

AAC2+BC2=AB2,

乙C=90%

•••tan皿N=W，

£.CABy37%

(180+37>nxF_2177r

线段4。扫过的面积=

360—360

②如图3—2中，过点。作DH_148于点”，过点。作。_L48于点人

当4D,C共线时，A,C两点之间距离最大.

设8/=y,则有62-(5+y)2=32-y2,

解得y=g,

CJ=-Bp=J32-Q)2=空，

•••DH||CJ,

DHAD

,••_——__f

CJAC

DK1

逅=不

・•.DH=甯,

.,.点。到48的距离为与昔:

③如图3-3中，过点力作471CD于点T,过点A作AR1RC于■点R,则四边形4RC7是矩形，设“丁=x,AT=

y-

图3・3

x2+y2=1

则有，

(5-X)2+(3-y)=25

X=—8

解得17

15'

y=77

：,AR=CT=5-^=^

77

Ary「AR

・・・smZ.ABC=—=卫=一77.

AB585

II.（2023•河北石家庄•校考二模）如图,在RS48C中,4c=90。，Z.BAC=60°,18=8,半径为百的OM

与射线84相切，切点为N,且力N=3,将Rt/MBC绕点力顺时针旋转，设旋转角为a（0。4a工180。）

（1）4c的长为.

（2）求当旋转角a为多少时，AC与OM相切:

（3）当4。落在4N上时，设点8,C的对应点分别是点。，E.

①画出旋转后RC落在射线AN上时的RSADE（草图即可），此时Rt△ADE的斜边AD所在的直线与OM的

位置关系是

②求出Rt△4DE的直角边DE被OM截得的弦PQ的长.

【思路点拨】

(1)根据直角三角形中，30。角所对的直角边等于斜边的一半计算即可.

(2)分与0M在上方相切和下方相切两种情形计算即可.

(3)①根据切线的判定定理证明即可.

②求出Rta/lOE的.

【解题过程】

(1)VzC=90°,Z.BAC=60°,

工乙B=30%

：,AC=-AB,

2

9：AB=8,

：,AC=^AB=4,

故答案为：4.

(2)如图，

旋转到如图所示的位置时，4C'与。"相切于G,

连接MG,：,z.AGM=90°,

•.•川/与。M相切于N,

J.Z-ANM=90°,连接4M,

，乙GAN=2乙MAN,在RtZiAMN中，MN=6,AN=3,

..tanZ.MAN=—=一

AN3

."MAN=30°,

:.乙GAN=60°,

,：z.BAC=60°,

：.a=LCAC=180°-60°-60°=60°：

••・川，于OM相切，

.•"C旋转到/IN上时，也满足题意，

：.a=1800-ABAC=120°

答：当旋转角a为60。或120。时，4C和。M相切.

(3)①如图Rt△<£)£1就是要画的图形，

过点”作MH14。于点〃，

•.•力”与OM相切于N,

・"4NM=90。，

连接AM,

工在Rt/4MN中,MN=V3,AN=3,

・.,A,AA,MNV3

..tanzM4/V=-=y

:.乙MAN=30°,

•：3)AN=60%

：.z.MAH=30°,

：.z.MAH=乙MAN,

ZLMHA=Z.MNA

Z.MAH=乙MAN,

AM=AM

SAZMZ1/V(AAS),

：,AH=AN,

・・/，是OM的切线，

故答案为：相切.

②连接MQ,过M点作M产IDE,垂足为F,由RtZk/IBC可知，

AC=^AB,

根据翻折变换的知识得至必C=4E=4,NE=TIE-4N=4-3=1,

LMNE=90。,4NE尸=90°,zEFM=90°,

.•・四边形MNEF是矩形，

：.NE=MF=1

在RtAMFQ中，

FQ=J(V3)2-I2=V2,

VMFIDE,M是圆的圆心，PQ是0M的弦,

：.PQ=2FQ=2V2,

故弦PQ的长度2vL

12.(2023•广西梧州•统考二模)如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y=a/+b%-3与x

轴交于4(一1,0)、8(3,0),与y轴交于点C,其顶点为。点.

(1)求抛物线的解析式.

(2)连结BD、CD,动点。的坐标为(nt,1).P为抛物线上的一点，是否存在以8,D,Q,P为顶点的四

边形是平行四边形？若存在，求出点P，。的坐标；若不存在，请说明理由.

(3)连结OQ、CQ,当心CQO最大时，求出点Q的坐标.

【思路点拨】

(I)利用待定系数法即可求解；

(2)求得顶点。(1,-4),分两种情况讨论，当。Q为对角线时，当DP为对角线时，根据平行四边形的性

质以及平移的性质即可求解；

(3)记△OQC的外心为M,则M在0C的垂直平分线MN上(设MN与y轴交于点N),连接。M、CM.由

圆周角定理和三角函数的定义可表示出sin4CQ。，可得出sin/CQ。的值随着0M的增大而减小，则可得OM

与直线y=1相切，再结合勾股定理可求得Q点的坐标.

【解题过程】

(1)解：•・•抛物线多=以2+取-3与/轴交于力(-1,0)、8(3,0),

，｛QQ二乡］；。解得｛：［，

(9a+3b—3=03=-2

J抛物线的解析式为y=x2-2x-3；

(2)解：Vy=x2-2x-3=(x-l)2-4,

/.D(l,-4),

当DQ为对角线时，根据平行四边形的性质，相当于BD向上平移I个单位，

VD(1,-4),8(3,0),

点8向上平移1个单位为点Q,

・••点。向上平移1个单位为点P,则点P的纵坐标为-3,

解方程——2x-3=-3,得，x—0或x=2；

当x=0时，P(0,-3),即点。(1,-4)向上平移I个单位，向左平移1个单位，

・•.点B(3,0)向上平移1个单位，向左平移1个单位，得到点Q(2,1),

当％=2时，同理P(2,-3),Q(4,1)：

即P(0,-3),Q(2,1)或P(2,-3).Q(4,1)；

当DP为对角线时，根据平行四边形的性质，相当于8。向上平移5个单位，

V/?(3,0),

・••点，的纵坐标为5,

解方程》2-2%-3=5,得，x=-2或x=4；

同理得P(-2,5),(2(-4,1)或P(4,5),Q(2,1)；

综上，P(0,-3),Q(2,1)或PQ，-3),Q(4,1)或P(-2,5),Q(-4,1)或P(4,5),Q(2,1)；

(3)解：如图，记△OQC的外心为M,则同在0C的垂直平分线MN上(设MN与)，轴交于点N).

连接OM、CM,则NCQO=^ZTM。=zOMN,MC=MO=MQ,

AsinzCQO=s\nz.OMN=翳，

，si叱CQO的值随着OM的增大而减小.

XVMO=MQ,

当MQ取最小值时sin乙CQO最大，

即M。垂直直线y=1时，ZCQO最大，

此时，。“与直线丫=1相切.

：.MQ=NF=2.5,MN=70M?-ON?=2,

••・Q坐标为(2,1).

根据对称性，另一点(-2,1)也符合题意.

综上可知，Q点坐标为(2,1)或(一2,1).

13.(2023・湖北褒阳•模拟预测)如怪，48为。0的直径，C是。0上一点，CO1/1B于点。，弦CD与4B交

于点F,过点。作NCDE,使NCDE=ND产E,DE交力8的延长线下点E,过点A作0。的切线交的延长线于

点G.

(1)求证：GE是。。的切线；

(2)若。。的半径为3,ZG=30°,求图中阴影部分面积.

【思路点拨】

(1)连接。。，根据等边对等角和直角三角形的两锐角互余求得乙OCD+4CFO=90。，而=

贝IJNC。。+ACDE=90。，从而证得GE是Q。的切线；

(2)过点。作OH14E于H,先根据三角形的内角和定理可得NE=60°=UDE,接着得“。。="=30°,

根据含30。角的直角三角形的性质可得OF和。，的长，最后根据面积差可得结论.

【解题过程】

(I)证明：连接OD，

vOC=OD,

:.Z.C=Z.ODC,

OC1AB,

:.Z.COF=90°,

Z.OCD+Z.CFO=90°,

•••乙ODC+LCFO=90°,

Z.EFD=乙FDE,Z-CFO=Z.EFD,

二Z.CDO+乙CDE=90°,

••・。。是0。的半径，

・••GE为O。的切线：

（2）解：•.TG是。。的切线，48是O0的直径,

**•AEJ.AG1

•••Z.GAE=90。，

v乙G=30°,

•••乙E=60°,

Z.CDE=Z.DFE,

Z.CDE=Z.DFE=60°,

vZ-ODE=90°,

•••Z.CDO=30°,

-OC=OD,

•••L.C=Z.CDO=30°,

二Z.COD=120°,

AZ.DOE=120。-90。=30。，

•••Z.COF=90°,OC=3,zC=30°,

二CF=2OF,CF2=OF2+OC2,

OF=V3»

过点。作OH_L4E于〃，

在RtAOD”中，Z.DOH=30°,OD=3,

•%DH=^OD=l，

22

・•・图中阴影部分面积二S扇形四_S®吁誓/xgxR手一呼.

14.(2023上•湖北武汉•九年级武汉市卓刀泉中学校考阶段练习)在△48。中，AB=AC,^BAC=90°,D

为平而内的一点.

图1图2图3

(1)如图1,当点。在边BC上时，且4840=30。，求证：AD=y/2BD.

(2)如图2,当点。在aAB。的外部，且满足N/?DC-N/WC=45。，求证：BD=yf2AD.

(3)如图3,若44=8,当。、£分别为A4、月C的中点，把△〃人〃绕A点顺时针旋转，设陡转角为a(。V

a<180°),直线8。与CE的交点为P,连接P4直接写出△P4c面枳的最大值____________.

【思路点拨】

(1)将△48D沿48折直，得到△48E,连接利用全等三角形的判定与性质以及勾股定理求解即可；

(2)过A作AE14。，且AE=4D,连接0E,利用全等三角形的判定与性质以及勾股定理求解即可；

(3)作PGJ.C4,交。4延长线于点G,当CE所在的直线与04相切时，直线8。与CE的交点P到直线4c的距

离最大，求出最大值即可求解.

【解题过程】

(1)证明：如图，将△A8D沿4B折尊，得至iJZkABE,连接DE,

A

图1

'：AB=AC,/.BAC=90°

:.乙C=/.ABC=45°,

将△A8D沿/IB折禄，得到△/18E,

**•△ABD=△ABE

：,z.ABE=乙ABD=45°,BE=BD,AE=ADt乙BAD=Z.BAE=30°

：.LEBD=90°,LDAE=60°

为等边三角形，△BDE为等腰直角三角形

：.AD=DE,2BD2=DE2

:.AD=DE=&BD；

(2)如图，过A作AE1A。，HAE=AD,连接DE,

图2

"AE1AD

•••Z.DAE=Z.BAC=90°

：.Z.BAE=Z.DAC,

V.V/1D=AE,A