2026年上海市复旦附中自主招生考试数学试题(含答案详解)

2026年上海市复旦附中自主招生考试数学试题(含答案详解)一、单选题（本大题共20小题，每小题2分，共40分）1.已知集合A={x|x²-5x+6=0}，B={x|x²-ax+1=0}，若B⊆A，则实数a的取值集合为（）A.{2}B.{3}C.{2,3}D.{0,2,3}解析：由x²-5x+6=0得A={2,3}，若B⊆A，则方程x²-ax+1=0的根必须属于{2,3}。当B=∅时，Δ=a²-4＜0⇒-2＜a＜2；当B={2}时，2²-2a+1=0⇒a=3；当B={3}时，3²-3a+1=0⇒a=4（舍去）。综上，a∈(-2,2)∪{3}，故选C。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为（）A.1B.2C.3D.4解析：f(x)表示数轴上点x到1和-2的距离之和，当x∈[-2,1]时，f(x)取最小值3。3.若复数z满足|z|=1且arg(z)=π/3，则z²+1的模长为（）A.1B.√2C.√3D.2解析：z=cos(π/3)+isin(π/3)=1/2+√3/2i，z²=3/4-1/4i，z²+1=3/4+3/4i，模长为√(9/16+9/16)=3/4√2。4.已知等差数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，若S₃=9，S₆=36，则a₈+a₉+a₁₀的值为（）A.27B.45C.63D.81解析：由S₃=9，S₆=36得3a₁+3d=9，6a₁+15d=36，解得a₁=1，d=2，故a₈+a₉+a₁₀=3a₁+24d=45。5.抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件A为“点数之和为偶数”，事件B为“点数之和大于8”，则P(A|B)等于（）A.1/3B.1/2C.2/3D.3/4解析：B包含的基本事件为(4,5),(4,6),(5,4),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)，共8个；其中满足A的有(4,6),(5,5),(6,4),(6,6)，共4个，故P(A|B)=4/8=1/2。6.已知函数f(x)=ln(x+1)-x，则f(x)在(0,1)上的最大值等于（）A.0B.1/2C.1/eD.1解析：f'(x)=1/(x+1)-1=-(x/(x+1))，在(0,1)上f'(x)<0，函数单调递减，故最大值为f(0)=0。7.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a²=b²+c²-bc，则cosA的值为（）A.1/2B.1/3C.1/4D.1/5解析：由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，代入a²=b²+c²-bc得cosA=1/2。8.已知函数f(x)=x³-3x²+2，则方程f(x)=0在(1,2)区间内的实根个数为（）A.0B.1C.2D.3解析：f'(x)=3x²-6x=3x(x-2)，f(1)=-1，f(2)=0，f'(x)在(1,2)上为负，故f(x)单调递减，仅有一个根。9.已知圆C₁：x²+y²-2x+4y-4=0与圆C₂：x²+y²+4x-2y+k=0相切，则k的值为（）A.-20B.-12C.12D.20解析：C₁圆心(1,-2)，半径√(1+4+4)=3；C₂圆心(-2,1)，半径√(4+1-k)，两圆外切⇒3+√(5-k)=√(5+k)，解得k=20。10.已知函数f(x)=√(x²+1)-ax在x→+∞时与x轴渐近，则实数a的取值范围是（）A.(-∞,-1)B.(-1,1)C.(1,+∞)D.(-1,+∞)解析：f(x)渐近x轴⇒lim(x→+∞)(√(x²+1)-ax)/x=0⇒lim(x→+∞)(1/x-√(1/x²+1)a)=0⇒a=1。11.已知函数f(x)=sin²x+2cosx-1，则f(x)的最小正周期为（）A.π/2B.πC.2πD.4π解析：f(x)=1/2-cos²x+2cosx-1=-1/2(cosx-2)²+1，周期为2π。12.已知函数f(x)=x²e^(-x)，则f(x)在(-∞,0)上的单调性为（）A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增解析：f'(x)=2xe^(-x)-x²e^(-x)=xe^(-x)(2-x)，在(-∞,0)上f'(x)>0，单调递增。13.已知函数f(x)=x³-3x²+2x+1，则f(x)在(-1,1)区间上的最大值与最小值之差为（）A.0B.1C.2D.3解析：f'(x)=3x²-6x+2，在(-1,1)上f'(x)>0，函数单调递增，f(1)-f(-1)=8。14.已知函数f(x)=log₃(x²-2x+3)，则f(x)的值域为（）A.RB.(0,+∞)C.[1,+∞)D.R-{0}解析：x²-2x+3=(x-1)²+2≥2，log₃(x²-2x+3)≥log₃(2)，值域为[log₃(2),+∞)。15.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，则f(x)在(-∞,0)上的表达式为（）A.x+3B.x-1C.-x-1D.-x+3解析：在(-∞,0)上f(x)=-(x-1)-(x+2)=-2x-1。16.已知函数f(x)=sin(2x+π/3)，则f(x)的图像关于（）对称A.x=π/6B.x=π/3C.x=π/2D.x=π解析：f(π/6)=sin(π/2)=1，f(π/3)=sinπ=0，f(π/2)=sin(π+π/3)=-√3/2，f(π)=sin(2π+π/3)=√3/2，关于x=π对称。17.已知函数f(x)=x³-3x²+2x+1，则f(x)在(-1,1)区间上的最大值与最小值之差为（）A.0B.1C.2D.3解析：f'(x)=3x²-6x+2，在(-1,1)上f'(x)>0，函数单调递增，f(1)-f(-1)=8。18.已知函数f(x)=log₃(x²-2x+3)，则f(x)的值域为（）A.RB.(0,+∞)C.[1,+∞)D.R-{0}解析：x²-2x+3=(x-1)²+2≥2，log₃(x²-2x+3)≥log₃(2)，值域为[log₃(2),+∞)。19.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，则f(x)在(-∞,0)上的表达式为（）A.x+3B.x-1C.-x-1D.-x+3解析：在(-∞,0)上f(x)=-(x-1)-(x+2)=-2x-1。20.已知函数f(x)=sin(2x+π/3)，则f(x)的图像关于（）对称A.x=π/6B.x=π/3C.x=π/2D.x=π解析：f(π/6)=sin(π/2)=1，f(π/3)=sinπ=0，f(π/2)=sin(π+π/3)=-√3/2，f(π)=sin(2π+π/3)=√3/2，关于x=π对称。二、填空题（本大题共20小题，每小题2分，共40分）1.已知集合A={x|x²-5x+6=0}，B={x|x²-ax+1=0}，若B⊆A，则实数a的取值集合为________。参考答案：{2,3}解析：同第1题解析。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为________。参考答案：3解析：同第2题解析。3.若复数z满足|z|=1且arg(z)=π/3，则z²+1的模长为________。参考答案：3√2/4解析：z²=3/4-1/4i，z²+1=3/4+3/4i，模长为√(9/16+9/16)=3√2/4。4.已知等差数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，若S₃=9，S₆=36，则a₈+a₉+a₁₀的值为________。参考答案：63解析：同第4题解析。5.抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件A为“点数之和为偶数”，事件B为“点数之和大于8”，则P(A|B)等于________。参考答案：2/3解析：同第5题解析。6.已知函数f(x)=ln(x+1)-x，则f(x)在(0,1)上的最大值等于________。参考答案：0解析：同第6题解析。7.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a²=b²+c²-bc，则cosA的值为________。参考答案：1/2解析：同第7题解析。8.已知函数f(x)=x³-3x²+2，则方程f(x)=0在(1,2)区间内的实根个数为________。参考答案：1解析：同第8题解析。9.已知圆C₁：x²+y²-2x+4y-4=0与圆C₂：x²+y²+4x-2y+k=0相切，则k的值为________。参考答案：20解析：同第9题解析。10.已知函数f(x)=√(x²+1)-ax在x→+∞时与x轴渐近，则实数a的取值范围是________。参考答案：(1,+∞)解析：同第10题解析。11.已知函数f(x)=sin²x+2cosx-1，则f(x)的最小正周期为________。参考答案：2π解析：同第11题解析。12.已知函数f(x)=x²e^(-x)，则f(x)在(-∞,0)上的单调性为________。参考答案：单调递增解析：同第12题解析。13.已知函数f(x)=x³-3x²+2x+1，则f(x)在(-1,1)区间上的最大值与最小值之差为________。参考答案：8解析：同第13题解析。14.已知函数f(x)=log₃(x²-2x+3)，则f(x)的值域为________。参考答案：[log₃(2),+∞)解析：同第14题解析。15.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，则f(x)在(-∞,0)上的表达式为________。参考答案：-2x-1解析：同第15题解析。16.已知函数f(x)=sin(2x+π/3)，则f(x)的图像关于________对称。参考答案：x=π解析：同第16题解析。17.已知函数f(x)=x³-3x²+2x+1，则f(x)在(-1,1)区间上的最大值与最小值之差为________。参考答案：8解析：同第13题解析。18.已知函数f(x)=log₃(x²-2x+3)，则f(x)的值域为________。参考答案：[log₃(2),+∞)解析：同第14题解析。19.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，则f(x)在(-∞,0)上的表达式为________。参考答案：-2x-1解析：同第15题解析。20.已知函数f(x)=sin(2x+π/3)，则f(x)的图像关于________对称。参考答案：x=π解析：同第16题解析。三、判断题（本大题共20小题，每小题2分，共40分）1.若集合A={x|x²-5x+6=0}，B={x|x²-ax+1=0}，若B⊆A，则实数a的取值集合为{2,3}。参考答案：正确解析：同第1题解析。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为3。参考答案：正确解析：同第2题解析。3.若复数z满足|z|=1且arg(z)=π/3，则z²+1的模长为3√2/4。参考答案：正确解析：同第23题解析。4.已知等差数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，若S₃=9，S₆=36，则a₈+a₉+a₁₀的值为63。参考答案：正确解析：同第4题解析。5.抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件A为“点数之和为偶数”，事件B为“点数之和大于8”，则P(A|B)等于2/3。参考答案：正确解析：同第5题解析。6.已知函数f(x)=ln(x+1)-x，则f(x)在(0,1)上的最大值等于0。参考答案：正确解析：同第6题解析。7.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a²=b²+c²-bc，则cosA的值为1/2。参考答案：正确解析：同第7题解析。8.已知函数f(x)=x³-3x²+2，则方程f(x)=0在(1,2)区间内的实根个数为1。参考答案：正确解析：同第8题解析。9.已知圆C₁：x²+y²-2x+4y-4=0与圆C₂：x²+y²+4x-2y+k=0相切，则k的值为20。参考答案：正确解析：同第9题解析。10.已知函数f(x)=√(x²+1)-ax在x→+∞时与x轴渐近，则实数a的取值范围是(1,+∞)。参考答案：正确解析：同第10题解析。11.已知函数f(x)=sin²x+2cosx-1，则f(x)的最小正周期为2π。参考答案：正确解析：同第11题解析。12.已知函数f(x)=x²e^(-x)，则f(x)在(-∞,0)上的单调性为单调递增。参考答案：正确解析：同第12题解析。13.已知函数f(x)=x³-3x²+2x+1，则f(x)在(-1,1)区间上的最大值与最小值之差为8。参考答案：正确解析：同第13题解析。14.已知函数f(x)=log₃(x²-2x+3)，则f(x)的值域为[log₃(2),+∞)。参考答案：正确解析：同第14题解析。15.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，则f(x)在(-∞,0)上的表达式为-2x-1。参考答案：正确解析：同第15题解析。16.已知函数f(x)=sin(2x+π/3)，则f(x)的图像关于x=π对称。参考答案：正确解析：同第16题解析。17.已知函数f(x)=x³-3x²+2x+1，则f(x)在(-1,1)区间上的最大值与最小值之差为8。参考答案：正确解析：同第13题解析。18.已知函数f(x)=log₃(x²-2x+3)，则f(x)的值域为[log₃(2),+∞)。参考答案：正确解析：同第14题解析。19.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，则f(x)在(-∞,0)上的表达式为-2x-1。参考答案：正确解析：同第15题解析。20.已知函数f(x)=sin(2x+π/3)，则f(x)的图像关于x=π对称。参考答案：正确解析：同第16题解析。四、简答题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.已知函数f(x)=x³-3x²+2x+1，求f(x)在(-1,1)区间上的最大值与最小值。解：f'(x)=3x²-6x+2，令f'(x)=0得x=1±√3/3，f(-1)=-2，f(1)=-1，f(1-√3/3)=1/3(2+√3)，f(1+√3/3)=1/3(2-√3)，最大值为1/3(2+√3)，最小值为-2。2.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，求f(x)的最小值及取得最小值时的x值。解：f(x)在(-∞,-2)上为-2x-1，在(-2,1)上为3，在(1,+∞)上为2x-1，当x=-2时，f(x)取最小值-3。3.已知函数f(x)=sin²x+2cosx-1，求f(x)的最小正周期。解：f(x)=1-cos²x+2cosx-1=-cos²x+2cosx，令t=cosx，则y=-t²+2t，周期为2π。4.已知函数f(x)=x³-3x²+2，求f(x)的零点个数。解：f'(x)=3x²-6x=3x(x-2)，f(0)=2，f(1)=-1，f(2)=0，在(-∞,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，有3个零点。5.已知圆C₁：x²+y²-2x+4y-4=0与圆C₂：x²+y²+4x-2y+k=0相切，求k的值。解：C₁圆心(1,-2)，半径3；C₂圆心(-2,1)，半径√(5-k)，外切⇒3+√(5-k)=√(5+k)，解得k=20。6.已知函数f(x)=√(x²+1)-ax在x→+∞时与x轴渐近，求实数a的取值范围。解：lim(x→+∞)(√(x²+1)-ax)/x=lim(x→+∞)(1/x-√(1/x²+1)a)=0⇒a=1。7.已知函数f(x)=ln(x+1)-x，求f(x)在(0,1)上的最大值。解：f'(x)=1/(x+1)-1=-(x/(x+1))，在(0,1)上f'(x)<0，函数单调递减，最大值为f(0)=0。8.已知函数f(x)=x²e^(-x)，求f(x)在(-∞,0)上的单调性。解：f'(x)=2xe^(-x)-x²e^(-x)=xe^(-x)(2-x)，在(-∞,0)上f'(x)>0，函数单调递增。五、应用题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）1.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a²=b²+c²-bc，且a=√3，求△ABC的面积。解：cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)=1/2⇒A=π/3，由正弦定理b/sinB=c/sinC=2sinA=2√3/3，面积S=1/2bcsinA=1/2(2√3/3)²sin(π/3)=√3/3。2.已知函数f(x)=x³-3x²+2x+1，求f(x)在(-1,1)区间上的最大值与最小值。解：同简答题61。3.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，求f(x)的最小值及取得最小值时的x值。解：同简答题62。4.已知函数f(x)=sin²x+2cosx-1，求f(x)的最小正周期。解：同简答题63。5.已知圆C₁：x²+y²-2x+4y-4=0与圆C₂：x²+y²+4x-2y+k=0相切，求k的值。解：同简答题65。6.已知函数f(x)=√(x²+1)-ax在x→+∞时与x轴渐近，求实数a的取值范围。解：同简答题66。7.已知函数f(x)=ln(x+1)-x，求f(x)在(0,1)上的最大值。解：同简答题67。8.已知函数f(x)=x²e^(-x)，求f(x)在(-∞,0)上的单调性。解：同简答题68。【标准答案及解析】一、单选题1.C2.C3.D4.B5.C6.A7.A8.B9.D10.C2.C12.A13.B14.C15.D16.D17.D18.C19.C20.D二、填空题1.{2,3}22.323.3√2/424.6325.2/326.027.1/228.129.2030.(1,+∞)2.2π32.单调递增33.834.[log₃(2),+∞)35.-2x-136.x=π37.838.[log₃(2),+∞)3.-2x-140.x=π三、判断题1.√42.√43.√44.√45.√46.√4