重难突破6　抛体运动中的临界问题和空间抛体运动

重难突破6抛体运动中的临界问题和空间抛体运动目标要求进一步理解抛体运动的规律，会处理抛体运动的临界、极值问题。目录CONTENTS突破点一抛体运动中的临界问题突破点二立体空间中的抛体运动突破点三圆周运动的临界问题课时跟踪训练突破点一抛体运动中的临界问题

（2024·浙江1月选考8题改编）如图，小明取山泉水时发现水平细水管到

水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，使水恰好从桶口中

心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D。试分析：（1）水从细水管管口落到水桶桶口中心所用的时间t？

（2）水离开细水管出水口的速度大小？

1.

平抛运动的临界问题三种常见情境常见情境典型实例平抛位移或速度存在“刚好”“恰好”等条件

常见情境典型实例平抛位移或速度存在“最大”“最小”“至少”等条件

平抛位移或速度存在“取值范围”

2.

临界问题的解题技巧在题中找出有关临界问题的关键词，如“恰好不出界”“刚好飞过壕

沟”“速度方向恰好与斜面平行”“速度方向与圆周相切”等，然后利用

平抛运动对应的位移规律或速度规律进行解题。

（2026·云南昭通期末）如图，某同学在一次立定投篮练习中，在距离

水平地面高为2

m处将篮球（视为质点）投出，篮球恰好垂直击中距离地

面高为3.6

m的篮板上，篮球被水平弹回后，又恰好击中自己的双脚（视

为质点），篮球抛出点和双脚可认为在同一竖直线上，不计空气阻力，则

篮球撞击篮板前后瞬间的速度大小之比为（

）A.9∶4B.1∶1C.3∶2D.8∶5C

（2026·辽宁沈阳期中）如图所示，某同学将可视为质点的小球扔进游戏

箱子的侧面开口处。将小球从离水平地面高度为1.80

m的抛出点，以大小

为6

m/s的初速度水平抛出，游戏箱子的侧面开口处离水平地面的高度为

1.35

m，小球恰好从侧面开口处落入箱中。不计空气阻力，取重力加速度

大小为10

m/s2，则抛出点到箱子的侧面开口处的水平距离为（

）A.1.2

mB.1.5

mC.1.6

mD.1.8

m√

B.

水喷出后在空中飞行的最长时间为0.3

sC.

水流飞行的最大水平位移为0.45

mD

〔多选〕（2026·河北邢台月考）公园草坪浇水，采用一种高效节水灌溉

的方式——喷灌，通过专门的设备将水喷射出去，已知喷管的出水口横截

面积为S，水的密度为ρ，水从出水口与水平方向夹角为45°喷出，能喷射

的最大高度为H。不计喷头高度和空气阻力，重力加速度g取10

m/s2，则喷

水口（

）C.

水射出后的水平射程为4HD.

到地面间这段空中的水柱质量为2ρSH√√

突破点二立体空间中的抛体运动

（2026·湖南郴州一模）我国某运动员获得2024年巴黎奥运会网球女子

单打金牌，她的成功是勤奋训练的结果。如图所示，她在某次训练中将离

地1.25

m的网球以13

m/s的速度斜向上击出，击球点到竖直墙壁的距离为

4.8

m。当网球竖直分速度为零时，击中墙壁上离地高度为8.45

m的P点。

网球碰墙后垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍，平行墙面的速度分

量不变。已知重力加速度g取10

m/s2。则下列说法正确的是（

）A.

网球从击球点到P点的时间为1.3

sB.

网球达到P点时速度大小为5

m/sC.

网球碰墙后速度大小为3

m/sD.

网球落地点到墙壁的距离为3.6

mB

解析：建立如图所示的三维坐标系，

分析空间中的抛体运动的思路（1）明确题意，形成运动轨迹在空间分布情况的一个轮廓；（2）以抛出点为坐标原点，根据运动情景建立三维直角坐标系；（3）确定每个坐标轴上的受力特点，明确各自的运动性质；（4）依据已知条件、运动学公式找出在各个坐标轴方向的位移、速度、

加速度大小；（5）利用运动的合成与分解知识确定研究问题或联立求解相关问题。

（2026·辽宁大连二模）2028年奥运会新增壁球运动项目。如图所示，运

动员从A点将球斜向上击出，水平击中墙上B点反弹后又水平飞出，落到C

点，BB'竖直，AB'C三点在同一水平面上，B'C垂直于AC。不计空气阻力，

球碰撞B点前后的速度大小分别为v1、v2，球在AB、BC两段运动时间分别为t1、t2，则正确的是（

）A.

v1＝v2B.

v1＜v2C.

t1＞t2D.

t1＝t2√

突破点三圆周运动的临界问题水平面内圆周运动的临界问题

〔多选〕（2026·天津南开期中）如图，餐厅里两瓷罐P、Q（可视为

质点）放在水平圆桌转盘上，质量分别为m、2m，离转轴OO'的距离分别

为R、2R，与转盘间的动摩擦因数均为μ。若转盘从静止开始缓慢地加速转

动，P、Q与转盘均保持相对静止，用ω表示转盘的角速度，则（

）A.

当ω增大时，Q比P先开始滑动B.

P、Q未滑动前所受的摩擦力大小相等AC

1.与摩擦力有关的临界极值问题物体间恰好发生或者不发生相对滑动的临界条件是物体间的静摩擦力恰

好达到最大静摩擦力。2.与弹力有关的临界极值问题（1）物体接触或分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零；（2）绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为

最大承受力等。

〔多选〕（2026·广东东莞模拟）如图所示，半径R＝3l的光滑圆筒竖直

固定，长度为5l的轻绳，一端固定在圆筒轴线上一点，另一端悬挂可视为

质点、质量为m的小球。现使小球在水平面内做匀速圆周运动，小球始终

在圆筒内，重力加速度为g。下列说法正确的是（

）A.

小球角速度越大，轻绳的拉力越大√√

两类模型的对比项目轻绳模型（最高点无支撑）轻杆模型（最高点有支撑）实例球与绳连接、“水流星”、沿内轨道运动的“过山车”等球与杆连接、球在光滑管

道中运动等图示

竖直面内圆周运动的临界问题项目轻绳模型（最高点无支撑）轻杆模型（最高点有支撑）受力示

意图

力学方程项目轻绳模型（最高点无支撑）轻杆模型（最高点有支撑）临界特征（1）v＝0即F向＝0F弹＝mg项目轻绳模型（最高点无支撑）轻杆模型（最高点有支撑）讨论分析

（2026·辽宁丹东期中）如图甲，一长为R且不可伸长的轻绳一端固定

在点O，另一端系住一小球，使小球在竖直面内做圆周运动。若小球经过

最高点时速度大小为v、绳子拉力大小为F，则F与v2的关系如图乙所示，下

列说法中正确的是（

）A.

绳长不变，用质量更小的球做实验，

得到的图线斜率更大B.

小球质量不变，换更长的轻绳做实验，

图线b点的位置不变C

（2026·湖南长沙一模）如图，在竖直平面内，轻杆一端通过转轴连接在

O点，另一端固定一质量为m的小球。小球从A点由静止开始摆下，先后经

过B、C两点，A、C两点分别位于O点的正上方和正下方，B点与O点等

高，不考虑摩擦及空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是（

）A.

小球在B点受到的合力大小为2mgB.

小球在C点受到的合力大小为2mgC.

从A到C的过程，杆对小球的弹力最大值为5mgD.

从A到C的过程，杆对小球的弹力最小值为4mgC

1.

题型简述：在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同，

如静摩擦力控制、绳控制、杆控制等，物体的受力情况和所遵循的规

律也不相同。斜面上圆周运动的临界问题物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力

与物体受到的支持力相等，解决此类问题时，可以按以下操作，把问

题简化。物体在转动过程中，随着角速度增大，最先滑动的位置是最低点，恰好滑

动时：μmgcos

θ－mgsin

θ＝mω2R。2.

解题关键：重力的分解和视图

B.

物块从最低点转到最高点的过程中，圆盘对物块的摩擦力一直减小C.

物块转至与圆盘圆心高度相同处时，圆盘对物块的摩擦力大小为2.5

ND.

在保持物块相对圆盘静止的情形下，改变圆盘角速度，物块在最高点

的摩擦力不可能为零ABD

A.0＜r≤2.5

mB.1

m≤r≤3.5

mC.2.5

m≤r≤4

mD.2.5

m≤r≤5

m√解析：

当小孩转到圆盘的最低点刚要滑动时，所受的静摩擦力沿斜面

向上达到最大，设半径为r1，根据牛顿第二定律有μmgcos

30°－mgsin

30°＝mω2r1，解得r1＝2.5

m；当小孩转到圆盘的最高点刚要滑动时，所

受的静摩擦力沿斜面向下达到最大，设半径为r2，根据牛顿第二定律有

μmgcos

30°＋mgsin

30°＝mω2r2，解得r2＝12.5

m，可知r2＝12.5

m＞5

m，故r2不符合要求，故距离r的可能取值范围为0＜r≤2.5

m。故选A。课时跟踪训练

A.

汽车过该弯道时受到重力、支持力、摩擦力、

牵引力和向心力B.

汽车过该弯道时所受径向静摩擦力大小为4

000

NC.

汽车过该弯道时的向心加速度大小为4

m/s21234567891011√

1234567891011

√1234567891011

12345678910113.

〔多选〕（2025·河北邯郸期末）如图所示，三角形为一光滑圆锥体的

正视图，锥面与竖直方向的夹角为θ＝37°。一根长为l＝1

m的细线一端系

在圆锥体顶端，另一端系着一可视为质点的小球，小球在水平面内绕圆锥

体的轴做匀速圆周运动，重力加速度取g＝10

m/s2，sin

37°＝0.6，不计空

气阻力，则（

）A.

小球受重力、支持力、拉力和向心力B.

小球可能只受拉力和重力√√1234567891011

12345678910114.

★〔多选〕（2026·云南文山期中）配备消防模块的机器狗可通过高压喷

水装置进行灭火作业。如图所示，某次测试中，机器狗位于水平地面上O

点，以与水平方向成θ角（θ只能在小于45°范围内变化）的初速度v斜向上

喷水，水流恰好可以喷射到水平地面P位置的火源。忽略机械狗的大小、

空气阻力和水柱粗细。若机器狗向火源移动一小段距离，则在以下操作中

有可能让水流恰好喷射到火源的是（

）A.

只减小夹角θB.

只增大夹角θC.

只减小初速度vD.

只增大初速度v√√1234567891011

12345678910115.

（2026·福建福州模拟）如图所示，某同学站在水平地面上对着竖直墙

壁练习接发排球，排球被该同学从离地高h处斜向上击出，刚好垂直击中

竖直墙壁上的某一点，排球击中墙壁后，以击中前瞬时速率的一半反弹，

恰好落在击出点正下方的地面上，排球可视为质点，忽略空气阻力，则墙壁上被击中点离地高度为（

）√1234567891011

12345678910116.

（2025·江西景德镇三模）如图所示，轻杆长3L，在杆两端分别固定质

量均为m的球A和球B，光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点，外界给

系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球B运动到最高点时，杆对

球B恰好无作用力。忽略空气阻力，重力加速度为g。则球B在最高点时

（

）A.

球B的速度为零C.

水平转轴对杆的作用力为mgD.

水平转轴对杆的作用力为2mg√1234567891011

12345678910117.

〔多选〕（2026·河南郑州期末）2025年亚洲冬奥会在哈尔滨举行，如

图为某滑雪场地的侧视简图，它由助滑雪道和着陆坡构成，着陆坡与水平

面的夹角θ＝30°。某次滑雪过程中，运动员在A点沿与着陆坡夹角α＝

60°的方向，以v0＝10

m/s的初速度离开雪道，在着陆坡上的B点着陆。忽

略空气阻力，取重力加速度g＝10

m/s2，则运动员（

）A.

从A点到最高点的运动时间为1

sD.

运动轨迹最高点与B点的高度差为11.25

m√√1234567891011

12345678910118.

（2026·山东潍坊期末）如图所示的正方体空间，其面ABCD水平。现将

一小球先后两次从A点水平抛出，当以速度v1沿AC方向抛出时打在C'点，

且在C'点的速度与竖直方向夹角为θ1；当以速度v2沿AD方向抛出时打在

DD'中点E，且在E点的速度与竖直方向夹角为θ2。不计空气阻力，则

（

）√1234567891011

1234567891011

9.

〔多选〕（2026·安徽芜湖模拟）如图，BD为斜面顶端的水平边沿，某

同学将水弹枪瞄准D点正上方的某点C（即初速度沿AC方向）进行打靶训

练，若水弹从斜面最低点A处以一定初速度射出，则经过一段时间后恰好

水平击中D点。已知斜面的倾角为30°，重力加速度为g＝10

m/s2，AB长

度xAB＝6

m，BD长度xBD