高等基础数学 2

———教案一：向量及其线性运算基本信息课程负责人签字授课教师签字授课班级：授课人数：使用教材：《高等数学》授课学时：2学时授课时间：授课地点：多媒体教室教学内容分析本节知识是从平面向量到空间向量的推广与拓展，是立体几何“代数化、坐标化”的核心工具。空间向量的线性运算体系，建立了用代数方法解决几何问题的核心思想，实现几何问题代数化，是高等数学数形结合思想的重要载体，在工程制图、空间力学、计算机建模等专业领域有广泛的应用。教学目标素质目标1.通过平面向量向空间向量的拓展，培养学生类别迁移的数学思维；2.规范进行向量线性运算，培养运算素养；3.建立“几何直观+代数运算”的双重思维，培养严谨、有据可依的数理逻辑素养。知识目标理解空间直角坐标系及其相关概念，理解空间向量及其相关的概念；2.掌握用坐标表示进行向量的线性运算；3.记住空间任意位置点的坐标的特征和对称关系；4.掌握空间两点间的距离公式。能力目标1.会求非零向量的模、方向角与方向余弦；2.会用两向量平行的条件判断两向量是否平行；3.会求向量在轴上的投影。教学重点1.向量线性运算的法则；2.两向量平行的条件；3向量的模、方向角与方向余弦。教学难点1.空间任意位置点的坐标的特征和对称关系；2.计算向量在轴上的投影。教学资源多媒体课件（PPT），学习通在线资源，《高等数学》教材。

教学实施课前教学环节教学内容教师活动学生活动【预备知识测试】复习：1.平面向量的表示;2.平面向量的运算。学习通发布新课资料和任务测试题1.完成预习自测；2.记录疑问点。

课中（90分钟）教学环节教学内容教师活动学生活动【作业点评】（5分钟）课前测试作业点评课前作业巩固旧课知识【空间向量的坐标表示】（20分钟）空间直角坐标系向量(在坐标系)中的坐标,记作2.空间任意点的坐标的特征及对称关系坐标轴上的点时，其坐标分别为，，；坐标原点时，其坐标为；坐标面上的点时，其坐标分别为，，；关于原点对称的点为；关于轴对称的点为；关于轴对称的点为；关于轴对称的点为；关于面对称的点为；关于面对称的点为；关于面对称的点为.1.由平面向量的坐标表示推广到空间向量的坐标表示；2.引导学生发现空间点的坐标特征和对称关系。1.认真听讲，跟随老师思路理解空间向量的坐标表示；2.在老师的引导下记忆空间点的坐标特征和对称关系。【例题讲解】（15分钟）例1说明下列各点在空间直角坐标系里的位置：，，，.例2已知点，求：(1)与点关于坐标原点对称的点；(2)与点关于轴对称的点；(3)与点关于面对称的点.请学生思考回答例题；分析帮助学生记忆点的坐标特征和对称关系。学生思考回答例题；通过例题巩固点的坐标特征和对称关系。【空间向量的线性运算】（15分钟）设，，利用向量的坐标，可得向量的加法、减法以及数乘运算如下：；；.当向量时，向量相当于，坐标表示为.1.由平面向量的和差、数乘运算推广到空间向量的和差、数乘运算；2.根据根据平面向量平行的结论推广到空间向量平行的结论。1.认真听讲，理解空间向量的和差、数乘运算；2.理解并记忆空间向量平行的结论。【例题讲解】（5分钟）例3设向量，，求，.请学生计算并回答例题。学生计算并回答例题。【向量的模、方向角及投影】（15分钟）1．向量的模与两点间的距离公式设向量，向量模的坐标表示式.设有点、，则两点间的距离为2.方向角与方向余弦非零向量与三条坐标轴的夹角、、称为向量的方向角.，，称为向量的方向余弦.且.3.向量在轴上的投影给定一轴，设向量在轴上的投影，记作..1.根据图像说明模的计算公式和两点间的距离公式；2.根据图像说明方向角和方向余弦，方向余弦的计算以及方向余弦之间的关系；3.根据图像讲解投影公式。学生在教师的讲解下理解并抄写模的计算公式、两点间的距离公式、方向余弦的计算公式、方向余弦之间的关系式和投影公式。【例题讲解】（10分钟）例5求证以、、三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.例6已知两点和，计算向量的模、方向余弦和方向角．教师提示，请学生解答讲解例题。学生在教师的提示下思考解答讲解例题。【课堂总结】（5分钟）归纳空间向量的表示、运算、平行的判断、模方向角、方向余弦和投影引导学生分析总结；答疑解惑。1.总结反思；2.提出疑问。

课后教学环节教学内容教师活动学生活动【巩固知识】课后作业作业：书1.布置课后作业2.批改并记载作业中出现的问题完成并上交作业 教学反思教案二：向量的数量积与向量积基本信息课程负责人签字授课教师签字授课班级：授课人数：使用教材：《高等数学》授课学时：2学时授课时间：授课地点：多媒体教室教学内容分析本节介绍数量积的定义、坐标计算公式，向量积的定义、几何意义和坐标行列式计算。这部分内容是后面平面方程、直线方程的计算基础。教学目标素质目标1.通过两种向量运算定义的推导、公式辨析，培养学生分类辨析、严谨推理的治学态度。2.通过对比数量积、向量积的异同，培养学生归纳总结、对比辨析、举一反三的自主学习能力。3.体会“代数运算刻画空间几何”的数学思想，培养多维、立体、数形统一的思维方式。知识目标理解向量的数量积与向量积的概念，并会进行运算；会求两个向量夹角，会判断两个向量是否垂直或平行。能力目标1.能熟练完成数量积和向量积的坐标运算；2.能利用公式判断向量垂直、平行、夹角大小；3.能利用向量积求平面图形的面积。教学重点数量积的坐标公式、夹角公式、垂直判定；向量积的坐标计算、平行判定和求面积。教学难点向量积概念和行列式运算教学资源多媒体课件（PPT），学习通在线资源，《高等数学》教材。

教学实施课前教学环节教学内容教师活动学生活动【预备知识测试】复习1.平面向量的数量积和向量积；2行列式的计算。学习通发布测试题1.完成测试；2.预习并记录疑问点。课中（90分钟）教学环节教学内容教师活动学生活动【向量的数量积】（新课讲解25）1.向量和的数量积，记作，即性质1.性质2对于两个非零向量、，如果，则；反之，如果,则.数量积符合下面的运算律:交换律:；分配律:；结合律：数量积的坐标表示:设有两个向量，,则；当，时，有由物理学知识引入向量的数量积；2.由数量积公式引导学生推出性质1、2；3.由平面向量数量积的坐标公式推广到空间向量坐标的数量积公式，引导学生推导出夹角公式。1.跟随老师思路抄写记住数量积公式；2.在老师的引导下推出性质1、2；3.理解并记住空间向量数量积的坐标公式，在老师的引导下推导出夹角公式。【例题讲解】（15分钟）例1已知，，求(1)；(2)；(3).例2已知三点、和,求.请学生记公式；2.引导学生自己计算然后回答解题过程。1.记公式；2.对照公式计算例题，然后回答解题过程。【向量的向量积】新课讲解（20分钟）与的向量积是按下列方式给出:（1）的模，其中为与间的夹角；（2）的方向垂直于与所决定的平面，由向量积的定义可得下面规律:（1）；（2）对于两个非零向量、，如果，则，反之,如果，则.向量积的运算律（略）向量积的坐标表示式.设向量，,则按向量积的运算规律可得为了帮助记忆,利用三阶行列式符号,上式可写成在几何上，由于，所以表示已向量与为邻边的平行四边形的面积.1.由物理学知识引入向量的向量积；2.由向量积公式引导学生推出性质1、2；3.给出向量积公式的坐标表示和对应的行列式表示。1.跟随老师思路抄写记住向量积公式；2.在老师的引导下推出性质1、2；3.理解并记住空间向量向量积的坐标公式和对应的行列式表示。【例题讲解】（10分钟）例3设，，计算和．请学生记公式；2.引导学生自己计算然后回答解题过程。记公式；2.对照公式计算例题，然后回答解题过程。【课堂练习】（15分钟）课堂练习：书1.解惑答疑，即时解答学生问题；2.抽学生到黑板做题，根据做题情况评讲。1.讨论解题；2.在老师的点评下改正错题。【课堂总结】（5分钟）空间向量的数量积和向量积公式及其坐标表示板书总结，答疑解惑1.总结反思2.记公式

课后教学环节教学内容教师活动学生活动【巩固知识】课后作业作业：书1.布置课后作业2.收作业、批改作业3.记载学生作业中出现的问题完成并上交作业 教学反思

教案三：空间平面及其方程基本信息课程负责人签字授课教师签字授课班级：授课人数：使用教材：《高等数学》授课学时：2学时授课时间：授课地点：多媒体教室教学内容分析本节实现了空间平面图形向代数方程的转化，建立了“用方程研究空间图形”的解析几何思想。主要包含平面的点法式方程、一般式方程和截距式方程。教学目标素质目标培养学生数形统一、几何直观与代数严谨相结合的科学思维；2.利用向量工具解决几何问题，培养学生知识迁移、多维思考、举一反三的自主探究能力。知识目标1.掌握平面的点法式方程；2.理解平面的一般式方程和三点式方程；3.掌握平面的截距式方程；4.会分析特殊位置的平面的特点。能力目标1.会求平面的方程；2.会求平面的夹角和点到平面的距离；3.会判断平面之间的关系。教学重点求平面的方程 教学难点分析特殊位置的平面的特点教学资源多媒体课件（PPT），学习通在线资源，《高等数学》教材。

教学实施课前教学环节教学内容教师活动学生活动【预备知识测试】复习1.平面的数量积及坐标表示；2平面的向量积及坐标表示。学习通发布复习和预习任务1.完成复习任务；2.预习并记录疑问点课中（90分钟）教学环节教学内容教师活动学生活动【作业点评】，（5分钟）点评课后作业点评课后作业；检查复习和预习情况巩固旧知识；根据教师点评订正错误点【空间平面方程】（知识学习25分钟）平面的点法式方程2.平面的一般方程称为3.平面的截距式方程4.三点式方程讲解推导平面的点法式方程；给出平面的一般式和截距式方程；3.讲解平面的三点式方程。理解并记住平面的点法式、一般式和截距式方程；2.三点式方程根据情况掌握。【例题讲解】（25分钟）例1求过点且以为法线向量的平面的方程例2求过三点、和的平面方程．例3求平行于平面：，且与平面垂直，求此平面的方程．例4求通过轴和点的平面的方程.例5、求过三点、、的平面方程.1.分析讲解例题；2.引导学生回答解题过程；3.总结计算方法。1.在教师的引导下回答解题过程；2.记笔记，对易错点做好记录。【两平面的位置关系】（15分钟）两平面的夹角平面和垂直的充要条件为；平面和平行或重合的充要条件为2.点到平面的距离点到平面的距离公式.讲解推导两平面的夹角公式，由夹角公式给出平面位置关系的判定方法；给出点到平面的距离公式。在教师的讲解下理解两平面的夹角公式，掌握平面位置关系的判定方法；掌握点到平面的距离公式。【课堂练习】（15分钟）课堂练习：书1.解惑答疑，即时解答学生问题；2.抽学生到黑板做题，根据做题情况评讲。1.讨论解题；2.在老师的点评下改正错题。【课堂总结】（5分钟）总结空间平面方程的形式，两平面的夹角公式、平面之间的关系和点到直线的距离公式引导学生分析总结；2.答疑解惑。1.总结反思；2.提出问题。

课后教学环节教学内容教师活动学生活动【巩固知识】课后作业作业：书1.布置课后作业2.批改作业并记载学生作业中出现的问题完成并上交作业 教学反思

教案四：空间直线及其方程基本信息课程负责人签字授课教师签字授课班级：授课人数：使用教材：《高等数学》授课学时：2学时授课时间：授课地点：多媒体教室教学内容分析本节主要介绍空间直线方程的三种形式以及空间直线的位置关系和直线与平面的位置关系。在整个空间解析几何中起到总结、综合和应用的关键作用。教学目标素质目标1.通过空间直线几何形态与代数方程对应，培养数形统一、以数解形的数学思维；2.通过公式推导、位置关系判定、规范解题，培养学生细致缜密、求真务实的学习态度；3.培养分类辨析、总结规律、举一反三的学习能力。知识目标1.知道空间直线一般式方程、点向式方程、参数方程的概念以及在表示方法上的不同；2.理解判定直线与直线的位置关系；3.理解两条直线夹角的概念。能力目标会求空间直线的方程。判定直线与直线的位置关系；2.会求两条直线的夹角。教学重点求空间直线的方程；直线与直线位置关系的判定。教学难点把直线的参数方程化成一般式方程或点向式方程的方法；求两条直线夹角的方法。教学资源多媒体课件（PPT），学习通在线资源，《高等数学》教材。

教学实施课前教学环节教学内容教师活动学生活动【预备知识测试】复习1.直线平行的条件；2.参数方程。学习通发布复习测试题和预习任务1.完成复习测试题；2.完成预习任务，记录疑问点

课中（90分钟）教学环节教学内容教师活动学生活动【作业点评】（5分钟）点评测试作业。点评课前作业情况巩固旧课知识；做好错题订正【空间直线方程】（20分钟）1.空间直线的一般方程2.空间直线的对称式方程与参数方程，分析讲解直线的一般式方程；分析讲解直线的点向式方程和参数方程；讲解直线方程形式的转化。认真听讲，理解直线的一般式方程；2.掌握直线的点向式方程和参数方程；3.理解直线方程形式的转化。【例题讲解】（15分钟）例1用对称式方程及参数方程表示直线.例2求直线与平面的交点.分析讲解例题；2.引导学生回答解题过程。1.在教师的引导下回答解题过程；2.记笔记，对易错点做好记录。【两直线的位置关系】新课讲解（10分钟）两直线的夹角公式位置关系(1)两直线和互相垂直相当于；(2)两直线和互相平行或重合相当于.分析讲解推导两直线的夹角公式；由夹角公式给出直线位置关系的判定方法。在教师的讲解