高等基础数学 5

———教案一：不定积分的概念与性质基本信息课程负责人签字授课教师签字授课班级：授课人数：使用教材：《高等数学》授课学时：3学时授课时间：授课地点：多媒体教室教学内容分析在讨论了求已知函数的导数(或微分)的问题后，常常需要解决相反的问题，即已知函数的导数或微分，求这个函数，这就是不定积分要解决的问题。人们所熟知的微积分实际上是两个部分，而且是互逆的关系。因此，掌握好导数或微分的计算是学好不定积分的基础。教学目标素质目标1.学会用高维的思维考虑问题.激励学生要学习数学家、科学家们身上那种孜孜不倦、勤奋探索的科研精神；2.一题多解，对学生理解知识方法，提升解决问题的能力都有很好的促进作用，更能锻炼学生的逻辑推理能力，培养学生创新开放思维，进一步启发学生，在实际生活中学会灵活处理问题；知识目标1.理解不定积分和原函数的概念；2.理解不定积分公式的推导；2.掌握不定积分的性质和不定积分的公式；能力目标1.能利用不定积分的公式和法则求相关函数的不定积分；2.能通过简单的代数和三角化简求相关函数的不定积分。教学重点1.不定积分的概念和性质；2.不定积分的基本公式；教学难点1.原函数和不定积分的概念；2.不定积分的积分公式；教学资源学习通在线资源，《高等数学》教材

教学实施课前教学环节教学内容教师活动学生活动【预备知识测试】导数公式原函数的概念学习通发布：1.导数公式的测试题；2.什么叫原函数？1.完成导数公式的测试任务；2.找出原函数的定义。课中（135分钟）教学环节教学内容教师活动学生活动【知识引入和讲解】（15分钟）【引例】已知，且曲线过点，求曲线方程.1.原函数的定义定义1如果在区间上，可导函数的导函数为，即对任一，都有那么函数就称为在区间上的一个原函数．原函数的几点说明1.引导学生分析已知函数的导数，如何计算此函数。2.个根据引例给出出原函数定义;3.原函数定义的说明。在教师的引导下已知函数的导数，计算此函数；理解原函数的定义和说明。【例题讲解】知识学习（5分钟）例1已知，求的一个原函数.引导学生利用导数公式和原函数的定义解题在教师的引导下回答解题过程【不定积分定义】知识学习（5分钟）不定积分的定义定义2若是在区间上的一个原函数，则称的全部原函数为在区间上的不定积分，记作，即分析不定积分的定义和记法掌握不定积分的记法【例题讲解】知识应用（20分钟）例2求下列不定积分：（1）；(2)；（3）；(4).不定积分与导数的关系由不定积分的定义知，函数的不定积分与导数（或微分）互为逆运算，即(1)或者.(2)或者.引导学生根据导数公式和不定积分的定义解题；2.根据例题推导部分不定积分公式；3.根据例题引导学生分析总结问题，归纳导出数与积分的关系。在教师的引导下解题；背诵部分导数公式；抄写导数和积分的关系。【例题讲解】知识应用（10分钟）例3已知，求.例4求下列不定积分：；(2)；（3）；(4).引导学生根据导数和积分的关系解例3题；按组抽学生解例4。在教师的引导下回答例3的解题过程；学生分组讨论解例4。【在例2的基础上完成其余不定积分基本公式推导】知识学习（35分钟）；；；；；；；根据导数公式和和不定积分定义引导学生推导积分公式；2.让学生背诵默写1.在教师的引导下讨论推导不定积分公式；2.学生背诵默写公式.【不定积分的性质和例题讲解】知识学习和应用（25分钟）不定积分的两个性质：性质1设函数及的原函数存在，则此性质可以推广到有限个可积函数的代数和的情形.性质2设函数的原函数存在，为非零常数，则.例5计算不定积分.例6计算不定积分.例7求下列不定积分：(1)；(2)；(3)；(4)．例8某物体以速度(单位：)作直线运动，当时，物体经过的路程，求物体的运动方程.引导学生学习不定积分的两个性质；提示解题思路，抽学生回答解题过程。1.在教师的引导学习不定积分的两个性质；2.分组讨论，回答解题过程。课中【课堂练习】（15分钟）课堂练习：书书解惑答疑，对解题有困难的学生即时解答分组练习并讲解【应用推广】知识巩固、应用结合（5分钟）1.不定积分定义、不定积分和导数的关系；2.不定积分公式；3.直接积分法。总结升华1.总结反思2.应用推广教学环节教学内容教师活动学生活动课后【巩固知识】作业1.布置课后作业2.批改作业3.记载学生作业中出现的问题完成并上交作业教学反思教案二：换元积分法基本信息课程负责人签字授课教师签字授课班级：授课人数：使用教材：《高等数学》授课学时：3学时授课时间：授课地点：多媒体教室教学内容分析学生已经掌握了基本积分运算，并熟悉积分公式。但对于复合函数积分既好奇又无从下手。本节课顺从学生的探索欲先引入具体复合函数求积并让学生大胆猜想并验证，再寻找正确方法。教师借此首先总结凑微分的一般方法，然后结合具体例题引导学生循序渐进，达到学习的高度。在已掌握凑微分的前提下，继续学习第二类换元积分法。教学目标素质目标1.通过实例的引入体现了从特殊到一般，从感性到理性的辩证唯物主义观点；2.培养学生严密的逻辑思维能力及严谨的学习态度知识目标1.理解凑微分法的定义；2.掌握常见的微分式子。能力目标1.能熟练的用凑微分求相关函数的不定积分；2.能用第二类换元积分法求相关函数的不定积分。教学重点重点1.利用第一类换元积分法解题；2.第二类换元积分法的思路。教学难点难点第一类换元积分法选择恰当的变量代换；2.第二类换元积分法。教学资源学习通在线资源，《高等数学》教材

教学实施课前教学环节教学内容教师活动学生活动【预习】复习不定积分基本公式表；求不定积分1.提前1天通过学习平台发布预习任务与检测题；2.批改检测题。1.复习不定积分公式；2.完成预习检测。课中（135分钟）教学环节教学内容教师活动学生活动【导入新课】（15分钟）1.2.凑微分法的定义:设，可微，则有积分换元公式根据的解法抛出问题，引入新课，讲解凑微分法的定义。根据预习说出的解题过程；2.理解凑微分的定义。【凑微分法例题讲解1】（20分钟）微分式子例1求下列不定积分：;(2)；(3).1.分步板书例题，每一步详细讲解，重点强调“如何观察被积函数、如何确定u、如何补系数”；2.提问学生，引导学生主动说出每一步的思路，及时纠正偏差。1.跟写例题步骤，模仿解题思路，重点记录“补系数”的方法；2.主动回答教师提问，尝试独立说出解题步骤；3.对比错误与正确做法，标注易错点（如漏补系数、凑错微分）。【课堂练习】（15分钟）课堂练习：书解惑答疑，对解题有困难的学生即时解答分组练习并讲解【凑微分法例题讲解2】（30分钟）常见的微分式子(1)；(3)例2求下列不定积分：(2);(3).例3求下列不定积分：;(2).例4求下列不定积分：;(2).1.分析讲解常见的微分式子，要求学生熟悉微分式子；2.分析讲解并板书例题，重点强调“如何观察被积函数、如何确定u、如何补系数”；3.提问学生，引导学生主动说出每一步的思路，及时纠正偏差。1.理解熟悉微分式子；2.跟写例题步骤，模仿解题思路，重点记录“补系数”的方法；3.主动回答教师提问，尝试独立说出解题步骤；【课堂练习】（20分钟）课堂练习：书书B组解惑答疑，对解题有困难的学生即时解答分组练习并讲解【导入新课】（10分钟）1.求不定积分：；2.第二类换元积分法的定义设是单调的可导函数,且,具有原函数,则有换元公式其中是的反函数.分析例题，给出第二类还元积分法的定义；指出第一类换元积分法和第二类换元积分法的区别；第二类换元积分法的解题步骤和适用类型。1.理解第二类换元积分法的定义；2.熟悉第二类换元积分法的解题过程和适用类型。【例题分析】（5分钟）例求不定积分：；引导学生分析例题，找到解题方法在教师的引导下找到恰当的解题方法【例题讲解】（15分钟）例求不定积分：推广：分析例题，引入并讲解第二类换元积分法的三角代换，三角代换的推广。选择掌握（够不着的学生可以放弃）第二类换元积分法的三角代换【课堂总结】知识提升（5分钟）梳理凑微分法步骤；总结第二类换元积分法的解题过程和适用类型1.结合板书，引导学生梳理凑微分法步骤；2.总结第二类换元积分法的解题过程和适用类型。跟随教师梳理凑微分法步骤；2.总结第二类换元积分法的解题过程和适用类型。3.提出未解决的问题；

课后教学环节教学内容教师活动学生活动课后【巩固知识】作业1.布置课后作业2.批改作业3.记载学生作业中出现的问题完成并上交作业 教学反思教案三：分部积分法基本信息课程负责人签字授课教师签字授课班级：授课人数：使用教材：《高等数学》授课学时：2学时授课时间：授课地点：多媒体教室教学内容分析学生已经掌握了不定积分的换元积分方法，并熟悉积分公式。而对于幂函数与三角函数（指数函数）的乘积、幂函数与反三角函数（对数函数）的乘积利用已学的方法不能求出不定积分，由此引入分部积分法。教学目标素质目标1.通过实例的引入体现了从特殊到一般，从感性到理性的辩证唯物主义观点；2.培养学生严密的逻辑思维能力及严谨的学习态度知识目标1.掌握分部积分公式；2.熟悉分部积分法的适用类型。能力目标1.使用分部积分公式时能恰当找出和；2.能熟练的用分部积分法求相关函数的不定积分。教学重点重点用分部积分法求相关函数的不定积分教学难点难点使用分部积分公式时恰当找出和教学资源学习通在线资源，《高等数学》教材

教学实施课前教学环节教学内容教师活动学生活动预习检测1.复习不定积分基本公式表；2.复习常见的微分式子；3.复习乘积的导数公式；4.思考：如何计算。提前1天通过学习平台发布复习任务和思考题1.复习不定积分公式；2.复习常见的微分式子；3.复习乘积的导数公式。课中（90分钟）教学环节教学内容教师活动学生活动【分部积分公式推导和例题讲解】知识学习（30分钟）1.分部积分公式：2.计算不定积分1.由思考题如何计算不定积分引入新课；2.由乘积的导数公式推导分部积分公式；3.通过对例题选择不同的u对比“正确选择u”与“错误选择u”的差异，4.总结u的选择口诀（“反对幂三指”，优先选反三角函数、幂函数为u）1.跟随老师的思路理解分部积分公式的推导过程；2.背诵并理解分部积分公式；3.通过老师对例题选择不同的u对比“正确选择u”与“错误选择u”的差异；4.背诵u的选择口诀（“反对幂三指”，优先选反三角函数、幂函数为u）【例题讲解】知识学习（30分钟）例2计算下列不定积分：;(2).例3计算下列不定积分：；(2).1.强化技巧记忆；分步板书例题，每一步详细讲解，重点强调“u与dv的选择过程”，强调“避免循环积分”；2.针对反三角函数，讲解“单类函数如何凑u与dv”，补充特殊情况4.根据例题讲解指数函数和三角函数函数乘积的积分方法（学生根据自己的情况选择掌握）。1.写例题步骤，模仿解题思路，重点记录u与dv的选择；2.主动回答教师提问，尝试独立说出解题步骤；3.针对例3，记录两类函数不定积分的做法(其中例3的（2）题据自己的情况选择掌握）。【课堂练习】（25分钟）1.布置课堂练习题，巡视指导，重点关注基础薄弱学生，并抽取学生到黑板板书作业；2.根据学生的作业点评纠错。1.小组内交流解题思路，互相答疑，讨论完成练