2026年四川德阳市罗江区九年级初中数学毕业诊断试题附答案

九年级初中数学毕业诊断试题一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．-2的倒数是（）A． B． C．-2 D．22．下列计算正确的是（）A． B．C． D．3．据报道，2026年“元旦”假期全国国内旅游出游合计142000000人次，数字142000000用科学记数法表示是()A． B． C． D．4．下列说法中，正确的是（）A．对神舟十五号飞船部件的检查适合采用抽样调查B．甲、乙两人各进行了次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，，则乙的射击成绩较稳定C．一组数据，，，，，的众数是，中位数是D．某种彩票中奖的概率是，则购买张这种彩票一定会中奖5．将三角板按如图位置摆放，顶点落在直线上，顶点落在直线上，若，则的度数是（）A． B． C． D．6．数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了甜果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果，苦果各买了多少个？设买了甜果x个，苦果y个，则可列方程组为（）A． B．C． D．7．如图，，为矩形的对角线，于点，，，则的长为（）A．1 B．2 C． D．48．水车是中国古代重要的灌溉工具，罗江太平廊桥旁也保留了几座大水车．图1是某种型号水车的示意图，其外围部件是绕中心轴旋转的圆形轮盘，它的边缘平均分布了12个水斗，这些水斗随轮盘转动而升降．如图2，在水车顺时针转动时，其中的1个水斗在点处放空水，同时有1个水斗刚好在点处接触水面，中间还有2个水斗，已知外围轮盘半径为，点到水面的距离为，则水面宽度为（）A． B． C．或 D．或9．给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（为正整数），已知．并规定：，，．则①；②；③对于任意正整数，成立，以上结论中正确的有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个10．如图，抛物线的图像交轴于点、，交轴于点．以下结论：①；②；③当以点、、为顶点的三角形是等腰三角形时，；④当时，在内有一动点，若，则的最小值为．其中正确结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）11．因式分解：．12．关于的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是．13．如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为．14．图1为《天工开物》记载的用于井上汲水的工具——桔槔（jiégāo）的结构简图，图2为桔槔处于水平状态时的平面示意图，代表固定支架，点，点分别代表水桶和重物，是固定长度的麻绳，绳长米，杠杆米，，当水桶的位置低于地面0.5米时（如图3），支架与绳子之间的距离是1.2米，则这个桔槔支架的高度为米．15．如图，在矩形中，，，为中点，连接、，为上的动点，连接，为的中点，连接，则的最小值是．三、解答题（本大题共7个少题，共90分）16．计算与化简求值（1）；（2），其中．17．我国航天技术飞速发展，我校以“探航天奥秘，立报国之志，做追梦少年”为主题，组织学生开展了航天知识科普竞赛活动．为了解学生对航天知识的掌握情况，我校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：（1）本次共抽取了________名学生的竞赛成绩，并补全条形统计图；（2）若该校共有1500名学生参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩为B等级的学生人数；（3）学校在航天知识科普竞赛成绩为A等级中的甲、乙、丙、丁这4名同学中，随机抽取2人担任校园航天文化节的主持人，用画树状图或列表法求出甲、乙两人同时被选中的概率．18．如图，在平面直角坐标系中，直线l：与y轴正半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与双曲线的交点为，（在D的左边），且C，D恰好是线段的三等分点．（1）求a，k的值；（2）将直线l向下平移n个单位，平移后直线与x轴相交于点E，连接，若与x轴所形成的锐角为，求n的值．19．综合与探究．【问题背景】（1）数学活动课上，老师提出了一个问题：如图1，点E为的边上一点，连接，，请探究的面积与面积的关系？“领航”学习小组在数学活动中发现：的面积等于面积的2倍．请你写出完整的解答过程．【尝试应用】（2）如图2，长方形中，点E为边上一点，点F为右侧一点，，若，，，求的长；【深入思考】（3）如图3，中，点E为边上一点，点F为边上一点，连接，交于点G，连接，若，证明：平分．20．为深入挖掘中华优秀传统文化底蕴，丰富广大群众精神文化生活，罗江区3月3日举办了“闹元宵”系列活动，为了筹备原创民俗《潺舞》，表演团队需要采买服装甲、乙，某服装经销商计划购进甲、乙两种服装销售，已知购进服装甲和服装乙分别需要元、元，且购进服装乙的件数是服装甲的件数的，每件服装甲的进价比每件服装乙的进价多元．（1）服装甲、服装乙每件进价分别是多少元？（2）若服装甲以每件元的价格出售，每天可售出件，通过调查发现，服装甲每件的售价每降低元，每天可多售出件．当服装甲以每件多少元出售时，服装甲每天的销售利润最大？并求出最大利润．21．如图，是⊙的直径，是的中点，连接并延长到点，使，是的中点，连接并延长交延长线于点．（1）求证：是的切线；（2）若交于点，连接，且，求的长．22．如图所示，抛物线的解析式为．（1）若抛物线经过点，求抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，抛物线与x轴相交于两点（点A在点B的左侧），若将直线绕点A按顺时针方向旋转后与抛物线相交于点P，求点P的坐标；（3）如图1所示，若直线与抛物线相交于两点（M在N的左侧）O为坐标系原点，直接写出的最小值．

答案1．【答案】A【解析】【解答】解：∵（-2）×（-）=1，∴-2的倒数是-．故选A．【分析]：乘积是1的两个数互为倒数,0除外;根据倒数的概念即可选出答案.2．【答案】D【解析】【解答】解：A、，故选项不符合题意；B、，故选项不符合题意；C、，故选项不符合题意；D、，计算正确，故选项符合题意．【分析】根据整式运算里的幂的运算法则以及完全平方公式，对每个选项逐一计算，就能得到正确答案.3．【答案】B【解析】【解答】解：．故答案为：B.【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为所有整数位的个数减1，据此解答即可．4．【答案】B【解析】【解答】解：、对神舟十五号飞船部件的检查适合采用全面调查，故本选项不符合题意；、甲、乙两人各进行了次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，，则乙的射击成绩较稳定，正确，符合题意；C、一组数据，，，，，的众数是，中位数是，故本选项不符合题意、某种彩票中奖的概率是，则购买张这种彩票不一定会中奖，故本选项不符合题意．故选：．【分析】先根据概率计算公式、调查方式的选择原则、算术平均数与方差的定义，以及众数和中位数的相关定义，再逐一分析每个选项，就能得到正确结论.5．【答案】B【解析】【解答】解：如图，∵，，∴，∵，∴．故选：B．【分析】先根据角的和差关系计算出的度数，再结合平行线的性质，得到=，进而完成求解.6．【答案】A【解析】【解答】解：设买了甜果x个，苦果y个，由题意，得：；故答案为：A．

【分析】设买甜果x个，苦果y个，根据题意列二元一次方程组即可．7．【答案】D【解析】【解答】解：如图，在中，，，，∴，∴；又四边形是矩形，∴．【分析】通过构造直角三角形，结合三角函数计算出相关线段的长度，再利用矩形对角线的性质得到最终结果.8．【答案】C【解析】【解答】

解：如图，作交于点，作于点，设，∵，∴，∴四边形是矩形，∴，∵点到水面的距离为，∴，则，∵圆形轮盘分布了个水斗，水斗和中间还有个水斗，∴，∴，又∵，即，∴，在和中，，∴，∴，在中，，根据勾股定理得，，即，整理得：，解得：，∴或，∵，∴点是的中点，即，∴或，则水面宽度为或．【分析】通过圆心O作于点D，过点A作于点E，过O作于点F，设，首先可推得四边形是矩形，因此得到，再证明，可得到对应边相等，即，之后结合勾股定理列出关于x的方程，即可解出与的长度，最后结合垂径定理计算，即可得到题目所求的结果．9．【答案】D【解析】【解答】

解：，，，，，，，故①正确；，，，，，，，，，，故②正确；由①②可得、分别是以和为周期的数列，当为奇数时，，此时，，等式成立；当为偶数时，，此时，，等式成立，故③正确．综上所述，结论正确的有3个．【分析】

根据题目给出的条件逐步分析，再对各个选项逐一判断正误.10．【答案】A【解析】【解答】

解：∵抛物线的图像经过点，∴当时，，故①正确；∵抛物线的图像交x轴于点、，∴抛物线对称轴为直线，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴∴，故②错误；∵对称轴为直线，∴，∵、，∴，，，对于抛物线，当时，可得，∴，∴，当时，由勾股定理得，即，解得或（舍去），当时，由勾股定理得，即，解得或（舍去），综上所述，当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，或，故③错误；当时，可得，则，如图所示，取点，连接，则，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∴当点P在线段上时，的值最小，即此时的值最小，最小值为线段的长，由勾股定理得，故④错误，∴正确的有1个．【分析】根据题意可知，抛物线经过点，把点B坐标代入抛物线解析式，就可以判断结论①；先求出抛物线的对称轴，整理可得，进一步计算可以得到，结合已知条件，可以推出，据此即可判断结论②；已知抛物线对称轴为直线，可以推出，又点C坐标为，可得，接下来分和两种不同情况，分别计算得到的值，就可以判断结论③；我们取点，连接，可以证明，根据相似三角形对应边成比例，可得，变形后得到，因此，根据两点之间线段最短可知，当P点落在线段上时，，也就是可以取得最小值，最小值就是线段的长度，之后利用勾股定理计算出的长度，就可以判断结论④．11．【答案】【解析】【解答】解：，故答案为：.【分析】先提取公因式，再结合平方差公式完成分解.12．【答案】且【解析】【解答】解：关于的一元二次方程有实数根

则且，解得：且，故答案为：且．

【分析】根据一元二次方程定义以及根与判别式的关系可得，且，然后求解即可．13．【答案】​​​​​​​【解析】【解答】解：延长FA交⊙A于G，如图所示：∵六边形ABCDEF是正六边形，AB=6，∴∠GAB=360°÷6=60°，∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°，∴S扇形FAB=，故答案为：12π．【分析】延长FA，交⊙A于点G，如图所示：已知ABCDEF是正六边形，且AB=6，由正多边形外角和为360°，可得∠GAB=360°÷6=60°；正六边形的内角∠FAB和∠GAB互补，因此∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°，最后代入扇形面积公式计算即可得到对应面积.14．【答案】5.2【解析】【解答】解：米，米，米，如图所示，过点作交的延长线于点，交于点，则，米，米，（米）．，，∴即，解得米，米，又（米），（米）．故答案为：5.2．

【分析】通过添加辅助线构造出相似三角形，再借助相似三角形对应边成比例的性质，计算桔槔支架的高度.15．【答案】【解析】【解答】

如图：以为原点建立坐标系，则，，，，设直线的解析式为，，解得，所以直线的解析式为，则可设为的中点，，即，，则当时，取得最小值，最小值为．故答案为：．【分析】

根据题目条件，我们以为原点建立平面直角坐标系，之后通过待定系数法推导出直线的解析式，进而可设出点F坐标为，再利用中点坐标公式得到G点坐标为，最后结合两点间距离公式，将所求距离转化为二次函数，利用二次函数的性质求解最值即可.16．【答案】（1）解：；​​​​​​​（2）解：，当时，原式．【解析】【分析】（1）按照有理数乘方的计算规则、绝对值的性质，结合特殊角的三角函数值对各项分别化简，再进行加减运算就能得到结果；（2）先对原式括号内的两项进行通分，再按照同分母分式的减法法则计算出括号内的结果；之后利用分式除法法则，将除法运算转化为乘法运算，再通过约分把原式化为最简分式，最后把给定的x值代入最简式中计算，就可以得到最终结果.（1）解：；（2）解：，当时，原式．17．【答案】（1）400，补全条形统计图如图所示：（2）解：（名）答：竞赛成绩为B等级的学生人数为600名（3）解：树状图如下：共有12种等可能的结果，其中甲乙两人同时被选中的结果有2种，∴P（甲乙两人同时被选中）．​​​​​​​【解析】【解答】（1）解：抽取总人数为（名），等级D的人数为（名），【分析】（1）用C等级的人数除以C等级对应的百分比，计算出本次抽取的总人数；再用总人数减去A、B、C三个等级的人数，得到D等级的人数，据此就可以补全条形统计图。（2）估计全校合格以上等级的人数时，用学校的总人数乘以样本中B等级人数所占的百分比即可得到结果；

（3）通过画树状图可以列出所有等可能出现的结果，再从中找出满足题目要求的结果数量，最后结合概率公式计算出对应事件的概率即可.（1）解：抽取总人数为（名），等级D的人数为（名），补全条形统计图如图所示：（2）解：（名）答：竞赛成绩为B等级的学生人数为600名；（3）解：树状图如下：共有12种等可能的结果，其中甲乙两人同时被选中的结果有2种，∴P（甲乙两人同时被选中）．18．【答案】（1）解：如图1，作于M，，，，，D恰好是线段的三等分点，，当时，，，，，，，，；（2）解：由知，直线l：，由题意得，解得：，∴点D坐标为，将直线l向下平移n个单位后的解析式为，令，则，，作于点H，当点E在点H左侧时，与x轴所形成的锐角为，∴，，，解得：，当点E在点H右侧时，与x轴所形成的锐角为，∴，，，解得：，综上所述，或．【解析】【分析】

（1）过点C作，垂足为M，可证得，根据相似三角形的性质可得比例关系，再结合C、D是线段的三等分点，计算得到点C的坐标，代入反比例函数与双曲线的解析式即可求出a和k的值；

（2）先根据三等分点的性质求出点D的坐标，再结合点D的纵坐标得到点E的坐标，根据DE与x轴夹角为锐角整理得到关于n的方程，解方程即可得到n的值.（1）解：如图1，作于M，，，，，D恰好是线段的三等分点，，当时，，，，，，，，；（2）解：由知，直线l：，由题意得，解得：，∴点D坐标为，将直线l向下平移n个单位后的解析式为，令，则，，作于点H，当点E在点H左侧时，与x轴所形成的锐角为，∴，，，解得：，当点E在点H右侧时，与x轴所形成的锐角为，∴，，，解得：，综上所述，或．19．【答案】解：（1）如图，过点E作于点F，∴，，∴；（2）如图，过点D作于点G，连接，∵，∴四边形是矩形．∴．∵，，∴，∴．∴．∵四边形是矩形，∴，，，设，则，∴．∴．∴．∴，∴，∴；（3）如图，连接，，过点A作于点M，作于点N，由（1）知，∴，即，∵，∴，∴点A在的平分线上，即平分．【解析】【分析】（1）如图，过点作，垂足为，结合平行四边形和三角形的面积公式；据此即可推导出对应结论；（2）过点作，垂足为点，再连接。先证明四边形是矩形，由此得到边的关系，计算得到。设，那么，最后结合勾股定理即可计算求出对应结论；

（3）先连接，再过点作，垂足为，作，垂足为，只需证明，即可证得需要的结论．20．【答案】（1）解：设服装乙每件进价为元，则服装甲每件进价为元，根据题意，可列方程：，解得，经检验，是原方程的解，此时，答：服装甲每件进价为元，服装乙每件进价为元；（2）解：设服装甲每件的售价为元，获得利润为元，根据题意得：，，，，∵，∴当时，有最大值，最大值为，答：当服装甲以每件元出售时，每天的销售利润最大，最大利润为元．【解析】【分析】（1）设每件服装乙的进价为元，那么每件服装甲的进价就是元，结合题目给出的数量关系列出分式方程，求解后检验即可得到最终结果；（2）设每件服装甲的售价为元，总利润为元，根据题意可以得到利润表达式，整理配方后可得，这个二次函数的抛物线开口向下，所以最大值出现在抛物线的顶点位置，顶点对应的就是最大利润.（1）解：设服装乙每件进价为元，则服装甲每件进价为元，根据题意，可列方程：，解得，经检验，是原方程的解，此时，答：服装甲每件进价为元，服装乙每件进价为元；（2）解：设服装甲每件的售价为元，获得利润为元，根据题意得：，，，，∵，∴当时，有最大值，最大值为，答：当服装甲以每件元出售时，每天的销售利润最大，最大利润为元．21．【答案】（1）解：连接，如图所示：∵是的直径，点是的中点，∴，，根据垂径定理得，在中，，，∴是的中位线，∴，∵，∴，即，又∵是的半径，∴是的切线；（2）解：∵，∴，，∵是⊙的切线，，∴，∵点是的中点，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴是直角三角形，由勾股定理得，∵是的直径，∴，即，由三角形面积公式得，∴．​​​​​​​【解析】【分析】（1）首先根据C是弧AB的中点，结合垂径定理的推论可以得到，再借助三角形中位线定理证明，由此可以推导出，最后结合切线的判定定理即可完成证明；（2）先结合给出的⊙O半径的长度，计算得到的长，再通过全等三角形得到的长度，之后利用勾股定理算出的长度，最后根据“直径所对的圆周角为直角”的性质，结合三角形的等面积法即可求出的长度．（1）解：连接，如图所示：∵是的直径，点是的中点，∴，，根据垂径定理得，在中，，，∴是的中位线，∴，∵，∴，即，又∵是的半径，∴是的切线；（2）解：∵，∴，，∵是⊙的切线，，∴，∵点是的中点，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴是直角三角形，由勾股定理得，∵是的直径，∴，即，由三角形面积公式得，∴．22．【答案】（1）该抛物线的解析式为（2）解：设直线与y轴的交点为D，过点D作于点E，如图所示：

由（1）可知：抛物线的解析式为，点，

∴令时，则有，解得：，

∴，

∴，

∴，

由旋转的性质可知：，

∴是等腰直角三角形，

∴，

∵，

∴，

∴，即，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

设直线的解析式为，则有：

，解得：，

∴直线的解析式为，

联立