初升高数学衔接 专题12 函数的表示法（精讲）

预备预备新高一数学专题12函数的表示法1．掌握解析法、列表法、图象法三种函数表示方法，熟知各类方法的特点与适用场景．2．熟练掌握各类求函数解析式的核心方法，能独立求解常规与复合型函数解析式．3．掌握函数解析式求值、间接嵌套求值、逆向求值的解题思路与规范步骤．4．熟练掌握函数图象的读图技巧与综合应用，理解分段函数核心性质，解决分段函数求值、图象、实际应用等重难点题型．一、函数的三种表示方法1．解析法：用精准的数学代数式刻画自变量与函数值的对应关系，标准形式为，是高中函数最常用的表示方法．优势是式子简洁严谨，便于开展运算、求解值域、研究单调性与最值；劣势是部分离散型、实际统计型函数无法写出解析式．2．列表法：以表格形式罗列自变量与对应函数值，仅呈现有限组对应数据．优势是可直接读取数值，无需复杂计算，适用于统计数据、实测数据场景；劣势是只能体现有限点的函数值，无法完整反映函数整体变化规律与趋势．3．图象法：在平面直角坐标系中，以点、折线、曲线等图形表示函数关系，图象上任意一点均满足函数对应规则．优势是直观展现函数增减性、零点、最值、对称性等几何特征；劣势是无法精准读取精确函数值，仅适用于定性分析．二、函数解析式的常用求解方法1．待定系数法：适用于已知函数类型（一次、二次、反比例等）的题型，先设出对应函数通用解析式，代入已知点的坐标，构造方程或方程组求解系数，最终确定完整解析式．2．换元法与配凑法：适用于已知复合函数解析式，求的题型．配凑法通过变形整理式子，配出内层整体结构；换元法通过整体代换求解，两种方法均需同步确定新自变量的取值范围，保证定义域完整．3．方程组消元法：适用于含与、对称结构的题型，通过替换自变量构造二元方程组，加减消元消去多余式子，解出解析式．4．建模法：针对几何、利润、行程、收费等实际问题，根据题目等量关系建立变量等式，整理为标准函数解析式，同时结合实际场景补充自变量约束范围．三、分段函数核心知识点1．定义：若函数的定义域被划分为若干个互不重叠的区间，每个区间内对应独立的解析式，则该函数为分段函数．分段函数本质是一个完整函数，并非多个函数拼接．2．书写规范：采用大括号分段书写，每一段解析式必须标注对应的自变量取值区间，区间端点唯一归属一段，杜绝重复、空缺．3．核心性质：分段函数的定义域为各分段区间的并集，值域为各分段函数取值范围的并集，单调性、最值、图象等性质均需分段分析、整体汇总．四、函数图象核心基础性质1．图象与三要素对应：图象横坐标对应函数定义域，纵坐标对应函数值域，图象上每一个点都唯一对应一组自变量与函数值．2．图象基础功能：可直观判断函数单调区间、零点、最值、函数值大小关系，快速求解简单函数不等式，是数形结合解题的核心载体．题型01函数的三种表示法辨析选用1．方法辨析核心：解析法主打代数运算与定量计算，适用于连续函数的性质研究、求值、求值域；列表法主打有限离散数据读取，仅用于统计、实测类有限变量场景；图象法主打直观定性分析，适用于判断增减、比较大小、观察函数整体趋势．2．选用原则：需要精准运算、推导解析式优先解析法；需要快速读取有限数据优先列表法；需要分析函数几何特征、变化规律优先图象法．3．解题作用：基础概念辨析题型，解决选择填空的概念判断题，明确三种表示方法的适用边界，规避解题方法误用．学以致用学以致用【例1】（2022秋•南关区校级期中）已知二次函数满足．（1）求的解析式；（2）作出函数的图像，并写出其单调区间；（3）设在区间，上的最小值为，求的解析式．【答案】（1）；（2）单调递增区间为，，，，单调递减区间为，；（3）．【分析】（1）由可求函数解析式；（2）结合二次函数的图象即可求作的图象，结合图象可求函数的单调区间；（3）结合函数的图象及二次函数的性质可求．【解答】解：（1）因为二次函数满足，所以；（2）函数的图像如图所示，结合函数图象可知，函数的单调递增区间为，，，，单调递减区间为，；（3）当，即时，，当，即时，，当时，，综上，．【例2】（2023秋•宁乡市期末）已知函数，分别由表给出：则（2）的值是（）123131321A．1 B．2 C．3 D．1和2【答案】【分析】根据表中函数值，即可求解．【解答】解：由表中函数可知，（2）（2）．故选：．【例3】（2025秋•烟台期中）如图，某容器由两个高为的相同圆锥（去掉底面）构成，现将该容器竖直放置，且装满水，当容器底部的排水孔打开时开始计时，假设水从孔中匀速流出，记时刻时水面的高度为，则关于的函数图象大致为（）A． B． C． D．【答案】【分析】根据水面高度下降的速度的快慢判断．【解答】解：由题意可知，当时，，当水从孔中匀速流出时，水面高度关于时间的函数图象应该是先以越来越快的速度下降，然后以越来越慢的速度下降，最后又以越来越快的速度下降，观察四个选项，选项符合．故选：．题型02求函数的解析式1．题型适配思路：已知函数固定类型，优先使用待定系数法；已知复合函数解析式，选用配凑法或换元法；含对称自变量结构的抽象函数，使用方程组消元法；实际应用场景，使用建模法列写解析式．2．通用解题规范：所有解析式求解完成后，必须配套完整定义域，无定义域的函数解析式不完整，不符合高中函数定义要求．3．高频易错点：换元法易遗漏新元取值范围，导致定义域出错；待定系数法未结合函数特征选式，增加计算量；实际建模忽略自变量现实约束．学以致用学以致用【例4】（2025秋•荥阳市期末）已知函数的定义域为，且对，，则（2）（）A．3 B．2 C． D．【答案】【分析】在已知等式中分别取和，列方程组即可求解．【解答】解：由，分别取和，得，解得（2）．故选：．【例5】（2025秋•临河区校级期末）已知函数，则函数的解析式为（）A． B． C． D．【答案】【分析】直接利用换元法求解即可，注意定义域的限制．【解答】解：函数，函数的定义域为，设，则，又，可得，，函数．故选：．【例6】（2025秋•蚌埠期末）已知函数，则的解析式为（）A． B． C． D．【答案】【分析】由已知利用换元法，即可求解函数解析式．【解答】解：令，则，，因为函数，所以，则，．故选：．题型03由函数解析式间接求值1．基础直接求值：将已知数值、代数式代入解析式，依据四则运算、乘方开方规则计算函数值，严格遵循运算顺序．2．复合间接求值：针对多层嵌套函数、，遵循由内向外的计算原则，逐层求解函数值，再代入外层解析式计算最终结果．3．逆向求值：已知函数值，令解析式等于对应数值构造方程，求解自变量，最终检验解是否在函数定义域内，舍去无效解．4．核心准则：所有求值操作必须在定义域范围内进行，超出定义域的自变量无对应函数值．学以致用学以致用【例7】（2025秋•九龙坡区校级期中）若函数，满足，且，则（2）（）A． B．6 C．7 D．【答案】【分析】通过变量替换构造方程组求解，再结合与的关系求，进而计算函数值求和．【解答】解：在中，令，得，联立，解得，由，得，，，故（2）．故选：．【例8】（2025春•青白江区校级期末）已知函数，则（5）（）A．1 B．2 C． D．0【答案】【分析】令，求出，然后直接代入函数解析式即可求出函数值．【解答】解：根据题意，函数，令，则有（5）．故选：．【例9】（2024秋•阳江期末）已知函数的定义域为，且对，，则（3）（）A． B． C． D．2【答案】【分析】通过赋值，构造方程即可求解．【解答】解：已知函数的定义域为，且对，，分别令和得到：，解得：．故选：．题型04函数图象及应用1．基础读图技巧：根据图象横坐标范围确定定义域，纵坐标范围确定值域；图象上升区间对应单调递增，下降区间对应单调递减；图象与轴交点为函数零点．2．核心应用场景：利用图象比较函数值大小、求解函数不等式、读取函数最值、判断函数单调性与零点个数、辨析函数相关命题真假．3．解题思想：以形助数，将抽象的代数运算、范围求解转化为直观的图象观察，简化复杂计算，是高中函数核心解题思维．学以致用学以致用【例10】（2025秋•沧州月考）已知函数（1）若（a），求实数的值；（2）在直角坐标系中画出函数的大致图象，并根据函数图象写出函数的值域（不用写解答过程）．【答案】（1）或；（2）的图象如图所示：的值域为，．【分析】（1）由题意，讨论，，时，令（a），求解即可；（2）由的解析式，画出的图象，结合图象写出的值域．【解答】解：（1）由题意知，当时，（a），解得；当时，（a），解得或（舍去）；当时，（a），解得（舍去）；综上，或；（2）由，画出的图象，如图所示：由函数的图象知，的值域为，．【例11】（2024秋•广陵区校级期中）已知函数和，它们在同一坐标系内的图像大致是（）A． B． C． D．【答案】【分析】分、两种情况讨论，结合反比例函数及一次函数的性质判断即可．【解答】解：当时，反比例函数的图象位于二、四象限，的图象从左至右上升，与轴交于正半轴，故正确，错误；当时，反比例函数的图象位于一、三象限，的图象从左至右下降，与轴交于正半轴，故、均错误．故选：．【例12】（2026•安徽质检）函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（）A． B．， C．， D．，【答案】【分析】根据图像关于对称，可得，结合图像即可求解．【解答】解：由题可得，由于图像关于对称，则，，，得，故不等式，即的解集为，．故选：．题型05函数表示的综合应用1．常见综合考法：三种函数表示方法相互转化、解析式求解结合图象分析、解析式求值结合函数性质、复合函数解析式与值域综合求解．2．通用解题流程：先根据题干条件求解完整函数解析式与定义域，再按需转化为图象、表格辅助分析，最后结合题意完成求值、范围求解、性质判断．3．解题核心：灵活切换三种表示方法，根据题型特点选择最优解题形式，降低题目难度，提升解题效率．学以致用学以致用【例13】（2025秋•常德校级月考）已知函数，其中是的正比例函数，是的反比例函数，且，（1），则的表达式为，．【分析】可以根据题中是的正比例函数，是的反比例函数的条件设出函数的表达式，再由待定系数法求出．【解答】解：设是非零常数），是非零常数），，由，（1）得，解得．故．．【例14】（2025秋•郓城县校级月考）某工厂12年来某产品总产量与时间（年的函数关系如图所示，下列四个选项，正确的是（）A．前三年总产量增长的速度越来越快 B．前三年总产量增长的速度越来越慢 C．第3年后至第8年这种产品停止生产了 D．第8年后至第12年间总产量匀速增加【答案】【分析】根据图中数据依次判断各个选项即可．【解答】解：对于，，根据图象可知前三年总产量增长的速度是先快后慢，即增长速度越来越慢，故错误，正确；对于，第年总产量未发生变化，可见产品停止生产了，故正确；对于，第年，总产量模型为直线模型，体现为匀速增长，故正确．故选：．【例15】（2025秋•贵池区期中）一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水量与时间的关系如图①②．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图③．则下列说法中一定正确的有（）A．0点到3点只进水不出水 B．3点到4点不进水只出水 C．3点到4点总蓄水量降低 D．4点到6点不进水不出水【答案】【分析】结合函数图象分析得进水速度是出水速度的，从而分段分析第3个图形的进水与出水情况，从而得解．【解答】解：由①②两图知，进水速度是出水速度的，由图③可知，0点到3点只进水不出水，正确；3点到4点一个出水口出水，一个进水口进水，总蓄水量降低，错误，正确；4点到6点也可能一个出水口出水，两个进水口进水，错误．故正确的只有，而错误．故选：．题型06分段函数求值1．正向求值步骤：第一步判定自变量所属的分段区间，第二步选取对应区间的解析式代入计算；多层嵌套分段求值，由内向外逐层判断区间、逐层计算．2．逆向求值步骤：已知函数值，对每一段解析式分别列方程求解，逐一验证解是否落在对应分段区间内，保留有效解，舍去区间外无解．3．易错重点：严格区分分段端点归属，避免出现自变量无对应解析式、重复代入两段解析式的错误．学以致用学以致用【例16】（2025秋•敖汉旗校级期中）已知函数，且（2）．（1）写出函数的解析式；（2）求（1）的值；（3）若，求实数的值．【分析】（1）根据已知的函数值求待定系数的值．（2）根据函数解析式求函数值．（3）分情况讨论求实数的值．【解答】解：（1）由于（2），故，解得，所以；（2）由（1）可知，所以，；（3）当时，，解得，舍去，当时，，解得或，所以，综上所述，实数的值为．【例17】（2025秋•银川校级期中）已知函数．（1）求，（2），（2）的值；（2）若，求的值；（3）作出函数的大致图象，并求时，的值域．【答案】（1），（2），；（2）或1或；（3）作图见解析，．【分析】（1）根据分段函数解析式计算可得；（2）根据分段函数解析式，分类讨论，分别计算可得；（3）根据函数解析式，可作出函数图象，根据函数解析式易求时，的值域．【解答】解：（1）因为，所以，，，（2）当时，，，当时，，，当时，，或（舍，综上所述，的值为或1或．（3）函数的图象，如图所示：当，，，当，，，综上所述：结合图象可得的值域为．【例18】（2025秋•兰州期中）已知函数的解析式为．（1）求（1），的值；（2）画出这个函数的图象，并写出的最大值；（3）解不等式．【答案】（1）（1），；（2）图象见解析，最大值为4；（3）或．【分析】（1）根据自变量的取值，代入分段函数解析式即可；（2）根据图象最高点即可写出最大值；（3）对范围讨论，解出之后求并集即可．【解答】解：（1）因为，所以（1），，则；（2）由图象可知，最大值为4；（3）当时，由可得，，解得，所以；当时，由可得，，解得，所以；当时，由可得，，解得，所以，综上所述，或．不等式的解集为或．题型07分段函数的图象及应用1．图象绘制规范：按自变量区间分段绘制图象，区间不含端点画空心圆点，包含端点画实心圆点；保证各段图象互不交叉、区间衔接准确，精准还原分段函数特征．2．图象核心应用：通过分段图象读取各段单调区间、最值、零点；求解分段函数不等式、比较分段函数值大小；根据图象特征逆向求解解析式中的参数范围．3．参数求解思路：结合图象端点、最值点、零点的位置约束，列出对应不等式组，锁定参数取值范围．学以致用学以致用【例19】（2025•双滦区校级开学）若一次函数的图象经过点．（1）求的值；（2）在所给直角坐标系中画出此函数的图象；（3）根据图象回答：当时，．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）将代入直接求解即可；（2）求出一次函数图象过点和，连线即可画出图象；（3）观察一次函数图象即可求解．【解答】解：（1）一次函数的图象经过点，则，解得；（2）由（1）可知，一次函数的表达式为，因为当时，．当时，．所以函数图象过点和，画出函数图象如图所示：（3）由图可知，当时，函数图象在轴上方，即．故答案为：．【例20】（2025秋•自流井区校级期中）已知函数．（1）求；（2）若（a），求实数的值；（3）作出函数在，区间内的图像．【答案】（1）；（2）2或0；（3）图象见解析．【分析】（1）代入求值即可；（2）分与两种情况，列出方程，求出实数的值，去掉不合要求的解．（3）根据分段函数解析式即可作出函数图象．【解答】解：（1）易知；（2）当时，，解得或（舍，当时，，解得，满足要求，综上可得或0；（3）由分段函数解析式分别由一次函数和二次函数图象性质作出函数图象如下所示：【例21】（2025秋•仁寿县期中）已知函数．（1）用分段函数的形式表示该函数；（2）画出该函数的图象（不写画法），写出该函数的定义域、值域．【答案】（1）；（2）图象：定义域为，值域为，．【分析】（1）通过讨论去掉绝对值可得答案；（2）由（1）中分析可得大致图像，据此可得定义域与值域．【解答】解：（1）当，；当，．故；（2）的图象如下：由图象可得函数定义域为，值域为，．题型08分段函数的实际应用1．建模解题步骤：根据实际问题设定自变量，区分常量与变量；依据阶梯收费、分段计价、几何尺寸、产量利润等实际规则，划分自变量区间；分段列写各区间对应的函数解析式；结合实际意义限定自变量取值范围．2．高频应用模型：水电费阶梯收费、打车分段计费、商品分段定价销售、几何图形分段面积、产量分段利润问题．3．解题收尾要点：计算结果必须贴合实际场景，舍去负数、小数、无实际意义的无效解，保证答案合理合规．学以致用学以致用【例22】（2025春•郑州校级月考）依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应按照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）．2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为：个税税额应纳税所得额税率速算扣除数，应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额综合所得收入额基本减除费用专项扣除专项附加扣除依法确定的其他扣除．其中，“基本减除费用”（免征额）为每年60000元．税率与速算扣除数见下表；级数全年应纳税所得额所在区间税率速算扣除数1，302，1025203，20169204，25319205，30529206，3585920745181920（1）设全年应纳税所得额为，应缴纳个税税额为，求，并画出图象．（2）小王全年综合所得收入额为189600元，假定缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别为，，，，专项附加扣除是52800元，依法确定其他扣除是4560元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？注：“综合所得”包括工资，薪金，劳务报酬，稿酬，特许权使用费；“专项扣除”包括居民个人按照国家规定的范围和标准缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金等；“专项附加扣除”包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利