湖北省武汉市武昌区2025-2026学年高二下学期期末供题数学试卷-附解析

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数，则（）A. B. C. D.2.已知集合，则（）A. B. C. D.3.记等比数列的前项和为，若，则的值为（）A. B. C. D.4.已知为正实数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.6.已知一个圆锥的顶点是，底面半径为为底面圆心，为圆锥的母线，，若的面积为，则该圆锥的体积为（）A. B. C. D.7.已知函数，若对任意的都有，则的单调递减区间是（）A. B.C. D.8.已知函数有两个极值点，若，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.为了解学生体质情况，某校随机抽取名高二学生作为样本，其中女生人，男生人，将其身高划分为五个层次．（）层次学生占比A.样本中层次的学生人数为B.总体中男生与女生的比例一定为C.若男生样本平均数为，女生样本平均数为，则样本总体平均数为D.用频率估计概率，从该校高二学生中任取人，恰有人身高属于层次的概率为10.已知双曲线分别为双曲线的左右焦点，是双曲线上位于第一象限的动点，分别是的内心、重心，为坐标原点，则下列说法正确的是（）A.点的横坐标为2 B.点的纵坐标可以表示为C.的最大值为 D.若轴，则为钝角11.已知函数在上单调递增，且对任意，，则（）A. B.C.是奇函数 D.函数是奇函数三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若曲线存在斜率为3的切线，则实数的取值范围是___________．13.在平面直角坐标系中，已知，动点满足，且到一定点的距离为定值，则该定值为___________．14.设，函数，令，若存在正整数，使得成公比为的等比数列，则称为的一个“可取公比”，的所有可取公比的乘积为___________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，，其中角的对边分别为．（1）求角的大小；（2）若为锐角三角形，求的取值范围．16.某无人机对光伏电站电池板进行智能巡检，每次巡检会给出“异常”或“正常”两种结果．记事件表示“第次巡检结果为正常”，事件表示“该电池板良好”，已知，每次巡检结果相互独立．（1）求；（2）检修部门规定：若低于，就会触发人工检修，求触发人工检修时的最小值．17.如图，在三棱柱中，平面，点到平面的距离为1．（1）求证：；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．18.已知函数，其中（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，，（i）求实数的取值范围；（ii）设为函数的图象上两点，经过两点的直线与轴交于点，证明：对任意，点在直线的下方．19.已知点，圆，一动圆过点，且与圆内切，记动圆圆心的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）已知为曲线上一点（异于），设曲线在点处的切线分别为，在点处的切线为与分别交于两点．（i）若切线的斜率为，求；（ii）当点在曲线上运动时，求四边形的面积的取值范围，并求面积取得最小值时直线的方程．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：．2.已知集合，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：由，得，解得，所以.，又，所以，所以.3.记等比数列的前项和为，若，则的值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据等比数列片段和的性质即可求解.解答过程：已知等比数列的前项和为，设公比为，根据等比数列片段和的性质，，，是以公比为的等比数列，即，由于，变形得，则，故D正确.4.已知为正实数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：C解析：解答过程：判断充分性（由能否推出），因为，，所以，，因为，所以，因为，所以，所以，即，因此，由可以推出，充分性成立.判断必要性（由能否推出），因为，所以，因为，所以，即，即，则，即由“”可以推出“”，必要性成立.故“”是“”的充要条件.5.若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据对数函数及复合函数的单调性求解即可.解答过程：令，因为函数在定义域内是单调递增函数，由复合函数的单调性可知在区间上单调递减，且恒大于0，所以，解得，所以实数的取值范围是.6.已知一个圆锥的顶点是，底面半径为为底面圆心，为圆锥的母线，，若的面积为，则该圆锥的体积为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：在中，，，取中点，连接，有，如图，由的面积为得，解得，所以，所以圆锥的体积为.7.已知函数，若对任意的都有，则的单调递减区间是（）A. B.C. D.答案：C解析：解答过程：因为对任意的都有，所以是函数的最大值点，所以，所以，不妨取，则，所以，令，解得，所以的单调递减区间是.8.已知函数有两个极值点，若，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由题意可得有两个不等正根，即，设，则，求出的范围，求出，构造函数，利用导数法得到的最大值，从而得到的范围，构造函数，利用导数法求出单调性从而得到，求出，由的最大值得到，通过求交集得到取值范围.解答过程：因为有两个极值点，且，所以有两个不等正根，

即，则，即，设，则，因为，所以，则转化为，解得，因为，所以，因为，所以，则，令，

，设，

，当时，，在单调递减，

则，则，在单调递减，当时（临界），取最大值为，当，由洛必达法则可知，综上可得，令，，当时，，在单调递增，

因为，所以

因为，所以，因为在处取得最大值，

方程有两个正根的充要条件是，因为，

所以.则取值范围为，故选项B正确.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.为了解学生体质情况，某校随机抽取名高二学生作为样本，其中女生人，男生人，将其身高划分为五个层次．（）层次学生占比A.样本中层次的学生人数为B.总体中男生与女生的比例一定为C.若男生样本平均数为，女生样本平均数为，则样本总体平均数为D.用频率估计概率，从该校高二学生中任取人，恰有人身高属于层次的概率为答案：ACD解析：思路：根据各层次占比总和为即可判断A；根据样本与总体的关系即可判断B；根据总体平均的计算公式即可判断C；根据题意可知属于层次的概率，结合古典概型的性质即可求解.解答过程：对于A，根据各层次占比总和为，可知，则样本中层次的学生人数为，故A正确；对于B，样本中男生与女生的比例是，但样本是随机抽取的，不能推断出总体中男生与女生的比例是，故B错误；对于C，根据题意，样本中总体平均是，故C正确；对于D，根据题意，层次的学生占比是，即概率，从该校高二学生中任取人，恰有人身高属于层次的概率为，故D正确.10.已知双曲线分别为双曲线的左右焦点，是双曲线上位于第一象限的动点，分别是的内心、重心，为坐标原点，则下列说法正确的是（）A.点的横坐标为2 B.点的纵坐标可以表示为C.的最大值为 D.若轴，则为钝角答案：ABD解析：思路：由内切圆的性质可判断A；设的周长为，内切圆半径为，由计算可判断B；设，结合题意可得，再利用两点间距离公式计算可判断C；由题意可得，根据可判断D.解答过程：由题意可知双曲线，得，所以，对于A，设的内切圆与切点为，由切线长相等可得，设，则，解得，内心在轴上的投影点即为切点，所以点的横坐标为2，故A正确；对于B，设，则有，设的周长为，内切圆半径为，则，因为，所以，故B正确；对于C，因为是双曲线上位于第一象限的动点，所以，即，当时，且，所以，设，则，故C错误；对于D，重心的坐标为，若轴，则，解得，代入可得，即，则，因为，所以为钝角，故D正确.11.已知函数在上单调递增，且对任意，，则（）A. B.C.是奇函数 D.函数是奇函数答案：AD解析：思路：先赋值求出排除常函数，构造转化为指数型函数，得到，再分别代入验证ABC个选项，对于D，利用变形即可证明函数是奇函数．解答过程：对于A，令，得：整理得，解得，或，若，令，得，即，解得，这与在上单调递增矛盾，所以，A正确；对于B，由，得，令，则，且，由在上单调递增，得在上单调递增，由指数函数性质，单调递增且满足的函数为，，B错误；对于C，由，得，不恒等于，所以不是奇函数，C错误；对于D，令，得，所以，即，所以函数是奇函数，D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若曲线存在斜率为3的切线，则实数的取值范围是___________．答案：解析：思路：将问题转换成，时有解，进而可求解.解答过程：函数的定义域为，求导得，曲线存在斜率为的切线，等价于方程在上有解，整理得，因为，所以，因此，即，故实数的取值范围是.13.在平面直角坐标系中，已知，动点满足，且到一定点的距离为定值，则该定值为___________．答案：解析：解答过程：设，则，，由题意可知，则，化简可得，即，所以动点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，到一定点的距离为定值，则该定值为.14.设，函数，令，若存在正整数，使得成公比为的等比数列，则称为的一个“可取公比”，的所有可取公比的乘积为___________．答案：解析：思路：根据题意，求得，，，由，令，求得，得到，又由，得到，结合公比为，即可求解.解答过程：由函数，且，可得，则，因为成等比数列，所以，可得，令，可得即，整理得，即，因为，所以，当时，可得；当时，可得；又因为，所以，又由，，所以等比数列的公比为，其中，所以的所有可取公比的乘积为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，，其中角的对边分别为．（1）求角的大小；（2）若为锐角三角形，求的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用正弦定理以及三角恒等变换可得，进而利用正弦定理可得，进而利用余弦定理可求得角的大小；（2）根据三角形内角和以及为锐角三角形，从而可得出的取值范围，再将转化为关于的函数即可求解．（1）由正弦定理，设．原式可化为．因为，所以．所以由正弦定理可得，由余弦定理可得，又因为，所以．（2）由，得．又为锐角三角形，所以．由，可得．由正弦定理，．当时，，故．16.某无人机对光伏电站电池板进行智能巡检，每次巡检会给出“异常”或“正常”两种结果．记事件表示“第次巡检结果为正常”，事件表示“该电池板良好”，已知，每次巡检结果相互独立．（1）求；（2）检修部门规定：若低于，就会触发人工检修，求触发人工检修时的最小值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）设，由全概率公式，列出方程，即可求解；（2）先由全概率公式得，根据题意，得到不等式，进而确定的值.（1）解：设，因为，由全概率公式，．可得，解得，所以．（2）解：由全概率公式得，因为低于，可得．当时，；当时，，所以触发人工检修的最小次数为.17.如图，在三棱柱中，平面，点到平面的距离为1．（1）求证：；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．答案：（1）证明：因为，所以．又因为平面，且平面，所以,,因为，且平面，所以平面．过作，垂足为，则平面，所以．又，且平面，所以平面．则，即到的距离为1，所以到的距离也为1，在中，由勾股定理可得①，由面积公式可得,即②，由①②解得，所以；（2）解析：思路：（1）由线面垂直的判定定理可得平面，过作，垂足为，从而得平面，且有，即可得证；（2）结合（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.（1）略；（2）由（1）得又因为平面，且平面，所以．在直角三角形中，，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则由于，所以,所以，即,设平面的一个法向量为，则，解得，则．设直线与平面所成角为，则．又，因此．18.已知函数，其中（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，，（i）求实数的取值范围；（ii）设为函数的图象上两点，经过两点的直线与轴交于点，证明：对任意，点在直线的下方．答案：（1）当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，故的单调递增区间为，无递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）（i）；（ii）由（i）得，．设直线与轴交于点，由两点式可得①．又，代入①，整理得．而．则．由于，有．又，所以．令，则．又，所以当时，，即．故．因此，即点在直线的下方．解析：思路：（1）求导，分，和三种情况，得到函数单调区间；（2）（i）在（1）基础上，分，，和四种情况，结合函数单调性判断出答案；（ii）由（i）得．计算出．换元得到，求导，得到，即点在直线的下方．（1）因为，所以．解得，令．当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，，故在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，其中．故当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，故的单调递增区间为，无递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）（i）若对任意，恒有，则应为区间上的最大点．当时，，对任意，有在上单调递增，符合要求．令，由（1）得．当时，有，对任意，有在上单调递增，符合要求．当时，有，对任意，有在上单调递增，符合要求．当时，则，对任意，有在上单调递减，所以