湖北省襄阳市第三中学2025-2026学年高一下学期6月月考数学试卷-附解析

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用比例分配的分层随机抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为的样本．已知从女生中抽取80人，则等于（）A.80 B.100 C.192 D.2002.一组从小到大排列的数据：3，4，，12，16，若这组数据的第60百分位数比平均数大2，则的值为（）A.10 B.9 C.8 D.73.如图，在四面体OABC中，，，，，，，为BC的中点，则点到平面OMA的距离为（）A. B. C. D.4.已知数据，，…，的平均数为4，将该组数据中的每个数据均变为原来的两倍，其平均数为，则（）A.16 B.8 C.4 D.25.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，其面积为，则（）A.1 B.2 C.3 D.46.如图1，“六芒星”是由两个边长为3的正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行．如图2，点，是“六芒星”的两个顶点，动点在“六芒星”内（包含边界），则的取值范围是（）A. B. C. D.7.已知中为直角，分别以，，所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成3个几何体，体积分别为，若，则（

）A. B. C. D.8.设的外心为，若，，则（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.9.已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是（）A.B.复数的虚部为C.若，则复平面内对应的点位于第二象限D.已知复数z满足，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线10.如图，在正方体中，点在线段上运动（包括端点），则下列结论正确的是（）A.直线与是异面直线B.直线平面C.异面直线与所成角的取值范围是D.当直线与直线相交时，交点在靠近的三等分点处11.已知一组样本数据，，的方差为3，则（）A.，，不可能都相等B.，，的方差也为3C.该组样本数据的平均数有最值D.的最小值为9三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，已知，，若有两解，则a的取值范围是_______．13.若复数，则实数的取值为__________.14.已知三棱锥中三组相对的棱长分别相等，长度分别为，，，其中，则三棱锥的外接球的表面积的最小值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量，满足，且，．（1）求向量与的夹角的余弦值；（2）若向量与的夹角为锐角，求实数t的取值范围．16.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面为等边三角形，，为中点．（1）求证：平面；（2）设为中点，，求直线与所成角的余弦值．17.已知中，角、、的对边分别为、、.且.（1）求角；（2）若的面积为，且.①求的周长；②求18.人工智能是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学.很多学校已经推出基于DeepSeek的人工智能通识课程，帮助学生深入了解人工智能的历史、关键技术及其在科学研究、社会发展中的高效应用，培养跨学科思维，推动人工智能技术在多领域的深度融合与创新.某探究小组利用DeepSeek解答了50份不同的模拟试卷（每份试卷包含文科、理科共30个题），收集其准确率，整理得到如下频率分布直方图.（1）求图中a的值；（2）求这组数据的中位数；（3）若将准确率不低于90%定义为“优秀表现”，且已知：①每份试卷中，文科题（语文、英语、历史）与理科题（数学、物理、化学）各占比50%，DeepSeek解答理科题的平均正确率比文科题高5%；②理科题每题6分，文科题每题4分，请计算：①DeepSeek在“优秀表现”试卷中，理科题和文科题的平均正确率分别是多少（结果用分数表示）？②一份“优秀表现”的试卷，DeepSeek的平均得分是多少（最后结果保留小数点后两位）？19.已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作．定义与的“向量积”为:是一个向量，它与向量都垂直，它的模．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为线段上一点，（1）求的长；（2）若为线段的中点，求二面角的正弦值；（3）线段上是否存在一点，使得，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用比例分配的分层随机抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为的样本．已知从女生中抽取80人，则等于（）A.80 B.100 C.192 D.200答案：C解析：解答过程：因为，所以，所以．2.一组从小到大排列的数据：3，4，，12，16，若这组数据的第60百分位数比平均数大2，则的值为（）A.10 B.9 C.8 D.7答案：A解析：思路：先求出第60百分位数和平均数，再根据第60百分位数比平均数大2，建立等量关系求解即可.解答过程：解：由题意得，则第60百分位数为，因为平均数为，第60百分位数比平均数大2，所以，解得.3.如图，在四面体OABC中，，，，，，，为BC的中点，则点到平面OMA的距离为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：设点到平面OMA的距离为.，，，平面；平面，，即是直角三角形；，，，；为的中点，..，，，平面；为的中点，平面，点到平面的距离为；，，，.，，即，解得.即点到平面OMA的距离为.4.已知数据，，…，的平均数为4，将该组数据中的每个数据均变为原来的两倍，其平均数为，则（）A.16 B.8 C.4 D.2答案：A解析：解答过程：由题，可得，所以将该组数据中的每个数据均变为原来的两倍，其平均数为，所以，得.5.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，其面积为，则（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：D解析：思路：利用三角形面积公式、正余弦定理求边长，代入目标式化简即可得.解答过程：由题意知，所以，由余弦定理知，所以，由正弦定理得，则，，，所以.6.如图1，“六芒星”是由两个边长为3的正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行．如图2，点，是“六芒星”的两个顶点，动点在“六芒星”内（包含边界），则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用数量积的几何意义可得点与点或点重合时，取最大值，结合数量积公式计算即可得，再利用对称性可得其最小值，即可得其范围.解答过程：如图，作，则，由，为在上的投影，故当点与点或点重合时，取最大值，即，又，所以，由对称性可知.所以的取值范围是．7.已知中为直角，分别以，，所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成3个几何体，体积分别为，若，则（

）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据圆锥的体积公式求解即可.解答过程：以所在直线为轴，旋转一周形成的圆锥的体积为：；以所在直线为轴，旋转一周形成的圆锥的体积为：；以所在直线为轴，旋转一周形成的几何体的体积为：.因为，所以，所以.8.设的外心为，若，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先利用外心对应的向量数量积结论将题干中的向量等式转化为三角形三边的关系，再结合正弦定理实现边角互化得到边长的比例关系，最后代入余弦定理计算的值.解答过程：设的内角所对的边分别为，对于的外心，有性质，.∵，∴，同理可得，.将上述结果代入，得，化简得.∵，由正弦定理，得，即.将代入，得，即，故.由余弦定理，，代入，，得.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.9.已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是（）A.B.复数的虚部为C.若，则复平面内对应的点位于第二象限D.已知复数z满足，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线答案：AD解析：思路：根据复数的概念、运算对选项逐一分析，由此确定正确选项.解答过程：A选项，，故A选项正确.B选项，的虚部为，故B选项错误.C选项，，对应坐标为在第三象限，故C选项错误.D选项，表示到和两点的距离相等，故的轨迹是线段的垂直平分线，故D选项正确.故选：AD10.如图，在正方体中，点在线段上运动（包括端点），则下列结论正确的是（）A.直线与是异面直线B.直线平面C.异面直线与所成角的取值范围是D.当直线与直线相交时，交点在靠近的三等分点处答案：BCD解析：思路：对于A，由与是正方体对角面的两条对角线，可判断，对于B，证明平面平面，根据面面平行的性质，可得答案.对于C，根据异面直线夹角的定义，作图，结合等边三角形的性质，可得答案；对于D，通过平面，设垂足为，通过等体积计算，确定，可判断D.解答过程：对于A，直线与是正方体对角面的两条对角线，故共面，A错误；对于B，在正方体中，，平面，平面，平面，连接，由正方体的性质可得，因为平面，平面，所以平面.因为平面,所以平面平面.因为平面，所以平面，故B正确.对于C，如图：在正方体中，易知为等边三角形，则，，或其补角为异面直线与所成角，则异面直线与所成角的取值范围，故C正确；对于D，连接，记，在正方体中，平面，平面，，在正方形中，，，平面，平面，平面，，同理可得：，，平面，平面，又平面平面.所以平面，设交点为，所以直线与直线相交时，交点为，又，设正方体棱长为2，得，得，又，所以当直线与直线相交时，交点在靠近的三等分点处，D正确.11.已知一组样本数据，，的方差为3，则（）A.，，不可能都相等B.，，的方差也为3C.该组样本数据的平均数有最值D.的最小值为9答案：ABD解析：解答过程：由题意，，.对于A，若，则，所以，不满足题意，则，，不可能都相等，故A正确；对于B，，，的平均数为，则方差为，故B正确；对于C，由方差的性质可知，样本数据，，的方差为3，，，的的方差也为3，由k具有任意性，可知该组样本数据的平均数没有最值，故C错误；对于D，因为，所以，当时，取得最小值9，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，已知，，若有两解，则a的取值范围是_______．答案：解析：思路：判断出三角形有两解时分析的范围，通过正弦定理及正弦函数的性质推出的范围即可．解答过程：由正弦定理得：，由有两个解，所以，所以，即，所以a的取值范围为.13.若复数，则实数的取值为__________.答案：解析：思路：根据复数可比较大小的充要条件为该复数是正实数，则条件转化为实部大于0，且虚部等于0，化简求解即可.解答过程：，，解得，故实数的取值为.14.已知三棱锥中三组相对的棱长分别相等，长度分别为，，，其中，则三棱锥的外接球的表面积的最小值为________.答案：解析：思路：根据三棱锥的三组对棱分别相等，可得到三棱锥的顶点必是一个长方体的顶点，再由棱的长度可求得长方体同一个顶点发出的三条棱的长度，继而表示出外接球半径，借助于基本不等式即可求得.解答过程：由题设知，三棱锥的四个顶点是一个长方体的四个顶点，如图．因三棱锥中三组相对应的棱长分别相等，长度分别为，，，故该长方体从同一个顶点出发的三条棱长分别为，且三棱锥的外接球即为长方体的外接球，故外接球的直径长为长方体的体对角线长，设外接球半径为，则三棱锥的外接球表面积为，因，则，当且仅当时等号成立．此时，，即时，.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量，满足，且，．（1）求向量与的夹角的余弦值；（2）若向量与的夹角为锐角，求实数t的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用向量的数量积运算来求夹角即可；（2）利用向量夹角为锐角的充要条件是两数量积大于0且这两向量不同向共线，再利用数量积的运算和共线运算即可．（1）因为，所以，即，又，所以；因为，所以，即，所以，则；（2），由题意知且向量与不同向共线，所以，当向量与同向共线时，，即，，解得（负值舍去）．所以，且，解得，且，即实数t的取值范围为．16.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面为等边三角形，，为中点．（1）求证：平面；（2）设为中点，，求直线与所成角的余弦值．答案：（1）证明：取中点，连接，，，，，，为平行四边形，又平面，平面平面（2）解析：思路：（1）先应用平行四边形得出，再应用线面平行判定定理证明；（2）先根据线面垂直判定定理得出平面，再得出面面垂直，应用面面垂直性质定理得出，最后计算边长得出线线角的余弦.（1）略（2）取中点，连接，，则或其补角为直线与所成角，，又，，平面，平面，又平面，∴平面平面，平面平面，又，平面，平面，平面，且，，，，，所以直线与所成角的余弦值为．.17.已知中，角、、的对边分别为、、.且.（1）求角；（2）若的面积为，且.①求的周长；②求答案：（1）（2）①；②解析：思路：（1）利用正弦定理和两角和差的正弦公式化简求出；（2）①利用面积公式、正弦定理、余弦定理求出边长即可；②利用正弦定理求出，再利用两角差的正弦公式求得.（1）由及正弦定理可得，因为，所以，则，因为，所以，得，因为，所以；（2）①因为的面积为，所以，得，由及正弦定理可得，则，由余弦定理得，得，则的周长为；②由正弦定理得，，则，则.18.人工智能是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学.很多学校已经推出基于DeepSeek的人工智能通识课程，帮助学生深入了解人工智能的历史、关键技术及其在科学研究、社会发展中的高效应用，培养跨学科思维，推动人工智能技术在多领域的深度融合与创新.某探究小组利用DeepSeek解答了50份不同的模拟试卷（每份试卷包含文科、理科共30个题），收集其准确率，整理得到如下频率分布直方图.（1）求图中a的值；（2）求这组数据的中位数；（3）若将准确率不低于90%定义为“优秀表现”，且已知：①每份试卷中，文科题（语文、英语、历史）与理科题（数学、物理、化学）各占比50%，DeepSeek解答理科题的平均正确率比文科题高5%；②理科题每题6分，文科题每题4分，请计算：①DeepSeek在“优秀表现”试卷中，理科题和文科题的平均正确率分别是多少（结果用分数表示）？②一份“优秀表现”的试卷，DeepSeek的平均得分是多少（最后结果保留小数点后两位）？答案：（1）（2）92.5%（3）①，；②解析：思路：（1）借助频率和为1计算即可得；（2）利用中位数定义计算即可得；（3）①设“优秀表现”试卷中文科题平均正确率为，借助加权平均数计算即可得；②分别计算文科得分与理科得分即可得.（1）由频率分布直方图可得，解得；（2）设中位数为，前两个矩形的面积之和为，前三个矩形的面积之和为，所以，则，解得，所以估计准确率的