湖北省宜昌市某重点高中2025-2026学年高二下学期升级考试数学试卷-附解析

数学考试时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.数据35，54，46，36，73，85，60，89的第75百分位数为（）A.79 B.54 C.50 D.412.直线，平行的一个充分条件是（）A.，都垂直于同一个平面 B.，与同一个平面所成的角相等C.，都平行于同一个平面 D.，都垂直于同一条直线3.抛物线的焦点坐标为A. B. C. D.4.设为正项等差数列的前项和．若，则的最小值为（

）A. B. C. D.5.已知事件,,，，则（）A. B. C. D.6.为了强化学校的体育教育教学工作，提高学生身体素质，加强学生之间的沟通，凝聚班级集体的力量，激发学生热爱体育的热情．某中学举办田径运动会，某班从甲、乙等6名学生中选4名学生代表班级参加学校米接力赛，其中甲只能跑第1棒或第2棒，乙只能跑第2棒或第4棒，那么甲、乙都参加的不同棒次安排方案总数为（）A.48 B.36 C.24 D.127.设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则的取值范围是（）A. B. C. D.8.已知函数的导函数满足：，且.若函数有且只有一个零点，则实数a的值为（）A. B. C. D.二、选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.)9.下列说法正确的是（）A.若成对样本数据都落在一条直线上，则变量和变量的样本相关系数满足B.若，则事件相互独立与A，B互斥不能同时成立C.用独立性检验推断两个分类变量之间的关联性，如果把2×2的列联表中所有的数据都扩大为原来的10倍，在相同的检验标准下，结论不受任何影响D.数据的平均数和方差分别为和，数据的平均数和方差分别为和，且所有数据混合后总的平均数和方差分别为和，若，则必有10.已知，则下列正确的是（）A.直线为的切线B.若，则C.若在上单调递增，则D.设为曲线在处的两条切线，若，则11.如图，正方体的棱长为2，点E为棱的中点，点F在正方体表面及其内部运动，则（）A.存在点，使得平面B.当时，直线与直线所成角的余弦值为C.当时，三棱锥的体积最小值为D.当点F与点D重合时，三棱锥的外接球表面积为三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.)12.的展开式中的常数项为_____13.在科技下乡的大趋势下，某果园使用一种智能水果分选机筛选某种水果，将该种水果分为大果和小果两类，该分选机把大果错误筛选为小果以及把小果错误筛选为大果的概率均为0.1，经过分选机筛选分类之后大果所占比例为0.58，则可推测该果园中这种水果里的大果所占的真实比例为________14.已知椭圆，点分别为椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆上位于第一象限内的两点，满足，则椭圆C离心率的取值范围是______．四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15.已知数列满足．（1）证明：数列为等差数列；（2）求数列的前项和．16.已知函数．（1）若为单调函数，求a的取值范围；（2）若函数仅有一个零点，求a的取值范围．17.“阳马”是我国古代数学名著《九章算术》中《商功》章节研究的一种几何体，其底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在四棱锥中，四边形是边长为3的正方形，.（1）证明：四棱锥是一个“阳马”；（2）已知点E在线段上，且，若平面与平面夹角的余弦值为，求直线与底面所成角的正切值.18.为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽查了男女生各100名，得到如下数据：性别锻炼不经常经常女生4060男生2080（1）依据的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；（2）为了提高学生体育锻炼的积极性，该中学设置了“学习女排精神，塑造健康体魄”的主题活动.在该活动的某次排球训练课上，甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，甲传给乙和丙的概率分别为和，乙传给甲和丙的概率分别为和，丙传给甲和乙的概率分别为和.求第次传球后球在乙手中的概率；（3）记第次传球时，乙接到球的次数为，则服从两点分布，且，设前次传球后，乙接到球的总次数为，且总成立，求实数的最小值.附：0.0100.0050.0016.6357.87910.82819.已知直线过原点且倾斜角分别为和，平面内动点到距离之积为．（1）求点的轨迹的方程；（2）若曲线与轴的交点分别为（在左侧），过点的直线交曲线于两点（点位于第一象限，位于第二象限），直线与相交于点．（i）求证：点在定直线上；（ii）求证：射线平分．

数学考试时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.数据35，54，46，36，73，85，60，89的第75百分位数为（）A.79 B.54 C.50 D.41答案：A解析：思路：由百分位数的计算公式直接求解即可.解答过程：第一步，将数据从小到大排列为：35，36，46，54，60，73，85，89第二步，，第三步，由于为整数，故第75百分位数为排序后第6个数与第7个数的平均数，即，即第75百分位数为79.2.直线，平行的一个充分条件是（）A.，都垂直于同一个平面 B.，与同一个平面所成的角相等C.，都平行于同一个平面 D.，都垂直于同一条直线答案：A解析：思路：根据空间中的点、线、面的位置关系逐项判断即可.解答过程：对于A，若，都垂直于同一个平面，则直线，平行，符合充分条件，故A正确；对于B，若，与同一个平面所成的角相等，则直线，可能相交，比如圆锥的母线和底面所成角都相等，但圆锥的母线都相交，故B错误；对于C，若，都平行于同一个平面，则直线，可能相交，故C错误；对于D，若，都垂直于同一条直线，则直线，可能相交，比如正方体同一个顶点的三条棱，两两垂直，故D错误.故选：A3.抛物线的焦点坐标为A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：抛物线可化为，∴抛物线的焦点在轴上，∵，∴，∴抛物线的焦点坐标为，故选D．4.设为正项等差数列的前项和．若，则的最小值为（

）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：，，解得；.为正项等差数列，，当且仅当，即，时等号成立.的最小值为.5.已知事件,,，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由条件概率的公式以及对立事件之间的关系列出方程组，解方程组即可得.解答过程：由条件概率公式可知,即①,,即②,而，所以③，又已知④,①②③④联立可得.故选：C6.为了强化学校的体育教育教学工作，提高学生身体素质，加强学生之间的沟通，凝聚班级集体的力量，激发学生热爱体育的热情．某中学举办田径运动会，某班从甲、乙等6名学生中选4名学生代表班级参加学校米接力赛，其中甲只能跑第1棒或第2棒，乙只能跑第2棒或第4棒，那么甲、乙都参加的不同棒次安排方案总数为（）A.48 B.36 C.24 D.12答案：B解析：思路：特殊位置优先排，分类求解可得.解答过程：当甲排第1棒时，乙可排第2棒或第4棒，共有种；当甲排第2棒时，乙只能排第4棒，共有.故甲、乙都参加的不同棒次安排方案总数为种.故选：B7.设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据直线关于直线的对称性求出直线AB关于对称的直线方程，结合直线与圆的位置关系计算即可求解.解答过程：由题意知，直线AB的斜率为，所以直线AB关于对称的直线的斜率为，故对称直线的方程为，即，由知，圆心为，半径为1，因为对称直线与圆有公共点，所以，整理，得，解得，即实数a的取值范围为.故选：A.8.已知函数的导函数满足：，且.若函数有且只有一个零点，则实数a的值为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由函数的性质设，得到.由零点的定义得到，利用基本不等式和正弦函数的有界性求出a的值.解答过程：由函数的导函数满足：，且，不妨设满足条件.此时.令，即，有且仅有一个零点.因为，当且仅当即时取“＝”，当时，，又，所以，此时要么没零点，要么不仅一个零点，所以是的唯一零点，此时，解得，所以.故选：B.二、选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.)9.下列说法正确的是（）A.若成对样本数据都落在一条直线上，则变量和变量的样本相关系数满足B.若，则事件相互独立与A，B互斥不能同时成立C.用独立性检验推断两个分类变量之间的关联性，如果把2×2的列联表中所有的数据都扩大为原来的10倍，在相同的检验标准下，结论不受任何影响D.数据的平均数和方差分别为和，数据的平均数和方差分别为和，且所有数据混合后总的平均数和方差分别为和，若，则必有答案：ABD解析：思路：由相关系数的概念可判断A，根据独立得到，由事件互斥，可判断B，由卡方计算公式可判断C，根据分层抽样的方差公式即可判断D．解答过程：由相关系数的概念可知A正确，对于B选项，若事件相互独立，则，若事件互斥，则，矛盾，故事件相互独立与互斥不能同时成立，故B正确，对于C，因为，当扩大到原来的10倍，则的值也扩大10倍，则得到的结论会受到影响，C错误.对于D，由总平均数，则，故D正确．10.已知，则下列正确的是（）A.直线为的切线B.若，则C.若在上单调递增，则D.设为曲线在处的两条切线，若，则答案：ACD解析：思路：根据导数的几何意义可求得

处切线为得到A正确；通过举反例证明B错误；根据导数的代数意义结合分离参数求范围即可求出C正确；根据导数的几何意义求出切线方程，结合两切线平行，找到相应等式即可求得D正确.解答过程：已知，求导得选项A：当

时，，且，因此处切线斜率为0，切线方程为，故直线一定是的切线，故A正确；选项B：当时，，故B错误；选项C：若在单调递增，则在恒成立，当时，，因此需要对所有恒成立，即，解得，即，故C正确；选项D：求导得：，切线等价于

，整理得：，因为，两边除以得，即，故D正确.11.如图，正方体的棱长为2，点E为棱的中点，点F在正方体表面及其内部运动，则（）A.存在点，使得平面B.当时，直线与直线所成角的余弦值为C.当时，三棱锥的体积最小值为D.当点F与点D重合时，三棱锥的外接球表面积为答案：BCD解析：思路：对于A，在上取一个点，使得，通过线面平行性质定理得到，再通过必相交，推出矛盾，即可判断，对于B，取的中点，通过，得到即为直线与直线所成角，结合余弦定理即可判断，对于C，由，结合是在以为球心，半径为的球面上，即可判断，对于D，将三棱锥外接球转换成直三棱柱的外接球，即可判断.解答过程：在上取一个点，使得，再取的中点，连接，则平面平面，若平面，因为平面，由线面平行的性质定理可得，而，可得，且，故必相交，矛盾，故A错误，由，可得为的三等分点，且，取的中点，，又为中点，故在正方形中，又，则为平行四边形，故，所以，则即为直线与直线所成角，又，由余弦定理可得，故B正确，当时，易知在以为球心，半径为的球面上，（正方体内部），由，四面体为正四面体，由正弦定理得：底面外接圆半径为，所以点到平面的距离为，所以，故C正确，当重合时，三棱锥即为，其外接球就是直三棱柱的外接球，由，由余弦定理可得：，所以，所以的外接圆半径为，所以外接球的半径，所以球的表面积为，故D正确.三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.)12.的展开式中的常数项为_____答案：解析：思路：先出展开式的通项，令指数等于，求得的值，即可求解.解答过程：的展开式的通项为，令可得，所以常数项为，故答案为：.13.在科技下乡的大趋势下，某果园使用一种智能水果分选机筛选某种水果，将该种水果分为大果和小果两类，该分选机把大果错误筛选为小果以及把小果错误筛选为大果的概率均为0.1，经过分选机筛选分类之后大果所占比例为0.58，则可推测该果园中这种水果里的大果所占的真实比例为________答案：##解析：思路：先假设出大果真实比例，根据题目条件列出方程式，解出方程即可.解答过程：设大果的真实比例为，则小果的真实比例为，根据题意得，解得.14.已知椭圆，点分别为椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆上位于第一象限内的两点，满足，则椭圆C离心率的取值范围是______．答案：解析：思路：设，，利用得到两点坐标之间的关系，再结合点在椭圆上，代入方程，进而得，根据题意，构建的齐次式，解不等式即得结果.解答过程：设，，则由，可得，所以①．又因为点，都在椭圆上，满足椭圆方程，所以②，由方程组①②可得，化简得，解得，因为，所以，即，解得．所以该椭圆的离心率的取值范围是．四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15.已知数列满足．（1）证明：数列为等差数列；（2）求数列的前项和．答案：（1）证明：由，得，即，得，所以数列为等差数列．（2）解析：思路：（1）将变形化简后结合等差数列定义即可得；（2）利用裂项相消法计算即可得.（1）略（2）设数列的公差为，则，得，故，故，则，故.16.已知函数．（1）若为单调函数，求a的取值范围；（2）若函数仅有一个零点，求a的取值范围．答案：（1）（2）或解析：思路：（1）对求导得，因为为单调函数，故或恒成立，利用导数研究或哪个能成立即可；

（2）因为，所以是的一个零点，由（1）可知，当时，为上的增函数，所以仅有一个零点，满足题意，当时，得，分，，讨论验证即可．解答过程：解析：（1）由（），得，因为为单调函数，所以当时，或恒成立，由于，于是只需或对于恒成立，令，则，当时，，所以为增函数，则．又当时，，则不可能恒成立，即不可能为单调减函数．当，即时，恒成立，此时函数为单调递增函数．（2）因为，所以是的一个零点．由（1）知，当时，为的增函数，此时关于x的方程仅一解，即函数仅一个零点，满足条件．当时，由得，（ⅰ）当时，，则，令，易知为的增函数，且，所以当时，，即，为减函数，当时，，即，为增函数，所以，在上恒成立，且仅当，于是函数仅一个零点．所以满足条件．（ⅱ）当时，由于在为增函数，则，当时，．则存在，使得，即使得，当时，，当时，，所以，且当时，．于是当时存在的另一解，不符合题意，舍去．（ⅲ）当时，则在为增函数，又，，所以存在，使得，也就使得，当时，，当时，，所以，且当时，．于是在时存在的另一解，不符合题意，舍去．综上，a的取值范围为或．方法提示：本题考查了函数图象和性质，函数零点，导数在研究函数中的应用，是一道难度较大的题目．17.“阳马”是我国古代数学名著《九章算术》中《商功》章节研究的一种几何体，其底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在四棱锥中，四边形是边长为3的正方形，.（1）证明：四棱锥是一个“阳马”；（2）已知点E在线段上，且，若平面与平面夹角的余弦值为，求直线与底面所成角的正切值.答案：（1）证明：因为四边形是正方形，所以，又因，，平面，所以平面，且平面，所以，因为四边形是正方形，所以，因为平面，所以平面，且平面，因此.因为，平面，所以平面，因此四棱锥是一个“阳马”.（2）解析：思路：（1）根据线面垂直判定定理结合“阳马”定义即可证明；（2）先建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，根据面面角的余弦值求出参数，即可求出点E的坐标，再找到直线与平面的角最后进行求解.（1）略（2）由(1)得⊥平面，故，，以点D为原点，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可得，，，，设，，，，，，，设平面的法向量是，则，，令，则，，设平面的法向量是，则，，令，则，，∴|cos或.或，，又因平面，则即为所求角，所以直线与底面所成角的正切值为.18.为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽查了男女生各100名，得到如下数据：性别锻炼不经常经常女生4060男生2080（1）依据的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；（2）为了提高学生体育锻炼的积极性，该中学设置了“学习女排精神，塑造健康体魄”的主题活动.在该活动的某次排球训练课上，甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，甲传给乙和丙的概率分别为和，乙传给甲和丙的概率分别为和，丙传给甲和乙的概率分别为和.求第次传球后球在乙手中的概率；（3）记第次传球时，乙接到球的次数为，则服从两点分布，且，设前次传球后，乙接到球的总次数为，且总成立，求实数的最小值.附：0.0100.0050.0016.6357.87910.828答案：（1）认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系（2）（3）解析：思路：（1）写出零假设，相关数据代入公式