湖南省衡阳市第二十六中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷-附解析

数学满分150分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知，，则（）A. B. C. D.2.已知在复平面内对应的点为，则（）A. B. C. D.23.已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.函数在处的切线方程为（）A. B. C. D.5.某学校高一年级科技节数学活动中，某班有件打印作品，其中有件花瓶作品，现需要从中选出件做展示，则选出的作品中恰有1件花瓶作品的选法有（）A.种 B.种 C.种 D.种6.藻井通常位于室内的上方，呈伞盖形，由细密的斗拱承托，象征天宇的崇高，藻井上一般都绘有彩画、浮雕．据《风俗通》记载：“今殿作天井．井者，东井之像也．菱，水中之物．皆所以厌火也．”藻井的形式有四方八方，圆形等，构造复杂．如图1为北京法海寺藻井的局部图，从图中可以看到最中间为正八边形，则图2中∠OED的余弦值为（）A. B. C. D.7.在长方体中，，，点是的中点，点为线段的中点，则直线与平面所成角的正弦值是（）A. B. C. D.8.设数列{an}的前n项和构成数列{Sn}，{Sn}的前n项的平均数构成数列{Cn}，已知数列{an}满足a1=1，an+an+1=3，则C2026=（）A.3079520 B.1520 C.1521 D.3079521二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知的二项展开式共有7项，则下列说法正确的有（）A.n=6 B.第3项的二项式系数为20C.含x3项的系数为160 D.常数项为110.已知函数在处取得极大值，的导函数为，则（）A. B.有两个极值点C. D.当时，11.若满足，满足，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.第Ⅱ卷三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.双曲线的离心率为___________．13.在中，角所对的边分别为，已知点在边上，，，，，则___________14.一个不透明的盒子中有三张纸牌，分别标有数字1，2，3，每一次从盒子中摸出一张牌，记录数字后放回，直到连续两次摸到3号牌结束游戏，记游戏终止时摸牌次数为X，则E（X）=___________四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文宇说明、证明过程成演算步骤）15.已知．（1）求函数的单调增区间；（2）设，求函数在区间上的值域.16.匹克球是一种集网球、乒乓球、羽毛球技术特点于一体的隔网对抗性拍球运动，因其上手快、趣味性强且老少皆宜而广受欢迎．某校随机调查了100名男生和100名女生对匹克球的爱好程度，现统计得出样本中爱好匹克球的人数占样本总数的50%，其中爱好匹克球的女生有45人．爱好匹克球不爱好匹克球合计男生女生45合计200（1）请根据已知条件将上述列联表补充完整，依据小概率值的独立性检验，分析爱好匹克球是否与性别有关；（2）现从这100名男生中采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取20人，然后从这20人中随机抽取3人参加有奖问答，记3人中爱好匹克球的人数为，求的分布列和数学期望．附：0.1000.0500.0102.7063.8416.63517.如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长均为2，M，N，P分别为线段BB1，AB，A1C的中点．（1）证明：NP//平面；（2）作出过M，N，P三点的截面与正三棱柱表面的交线（请保留作图痕迹，并用文字语言叙述作图过程），并求出交线的长度之和．18.若有导函数，二阶导数是对一阶导数再求导的结果，通常记．若函数在区间内有二阶导数，，使，且存在，在上的符号与在上的符号相反，则为的拐点．已知（1）求函数的拐点；（2）已知直线与的图象有两个交点，求实数的取值范围；（3）已知函数在和处的切线斜率相等，证明：．19.已知中所对的三边分别为，且，（其中），（1）证明：为常数列；（2）若在中，，点的轨迹为曲线，E，F为曲线上的两个动点，O为坐标原点，直线OE，OF的斜率分别为，当时，的面积是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，说明理由．（3）若，的面积为，判断数列的单调性并说明理由．

数学满分150分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：依题意，，所以．2.已知在复平面内对应的点为，则（）A. B. C. D.2答案：C解析：解答过程：由在复平面内对应的点为，得．3.已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案：C解析：思路：根据线面垂直的判定与性质以及法向量和方向向量的关系判断即可.解答过程：由直线方向向量和平面法向量的定义可知：由“”可以推出“”，反之，由“”也可以推出“”，所以“”是“”的充分必要条件，故C正确.4.函数在处的切线方程为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：由已知，，因此切线方程为，即.5.某学校高一年级科技节数学活动中，某班有件打印作品，其中有件花瓶作品，现需要从中选出件做展示，则选出的作品中恰有1件花瓶作品的选法有（）A.种 B.种 C.种 D.种答案：B解析：思路：由题意可得需从件花瓶作品中选件，从件非花瓶作品中选件，根据组合公式求解即可.解答过程：件作品恰有件花瓶作品，则从件花瓶作品中选件，从件非花瓶作品中选件，一共有种选法．6.藻井通常位于室内的上方，呈伞盖形，由细密的斗拱承托，象征天宇的崇高，藻井上一般都绘有彩画、浮雕．据《风俗通》记载：“今殿作天井．井者，东井之像也．菱，水中之物．皆所以厌火也．”藻井的形式有四方八方，圆形等，构造复杂．如图1为北京法海寺藻井的局部图，从图中可以看到最中间为正八边形，则图2中∠OED的余弦值为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：正八边形每条边所对的圆心角为，则，则．（或）7.在长方体中，，，点是的中点，点为线段的中点，则直线与平面所成角的正弦值是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：连接交于点，连接，得到直线与平面所成角，构造直角三角形计算即可.解答过程：连接交于点，连接，因为长方体中，平面，所以，由，所以平面，所以平面平面，所以点在平面上的投影落在直线上，所以直线与平面所成角为与所成角，取的中点，连接，则，所以，，又，所以，则直线与平面所成角的正弦值为，故C正确.8.设数列{an}的前n项和构成数列{Sn}，{Sn}的前n项的平均数构成数列{Cn}，已知数列{an}满足a1=1，an+an+1=3，则C2026=（）A.3079520 B.1520 C.1521 D.3079521答案：B解析：思路：通过对赋值，判断数列为周期数列，得出数列的通项公式，从而求出，进而求.解答过程：因为数列满足，则，因此数列是周期为2的周期数列，且奇数项，偶数项.所以，当，时，，当，时，.所以所以．二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知的二项展开式共有7项，则下列说法正确的有（）A.n=6 B.第3项的二项式系数为20C.含x3项的系数为160 D.常数项为1答案：ACD解析：解答过程：A.因为的二项展开式共有项，所以，即，A正确；B.的通项为，所以当时，第3项的二项式系数为，B错误；C.当时，含x3项的系数为，C正确；D.当时，常数项为，D正确．10.已知函数在处取得极大值，的导函数为，则（）A. B.有两个极值点C. D.当时，答案：ABC解析：思路：求定义域，求导，根据极值点得到方程，求出，求出函数单调性和极值情况，进而判断各个选项解答过程：由，得，则函数的定义域为，则，则，因为函数在处取得极大值，所以，即，所以，则，令，得或；令，得．所以函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增，则函数在处取得极大值，在处取得极小值，符合题意，即，故A正确；由上述过程知有两个极值点，故B正确；由，则，所以，故C正确；由上述可知函数在区间上单调递减，当时，，则，故D错误．11.若满足，满足，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.答案：ACD解析：思路：利用函数的单调性结合函数零点存在性的判定方法，可判断A的真假；利用函数图象的对称性，数形结合，先确定的值，结合基本不等式，可判断BC的真假；设，利用该函数的单调性，可判断D的真假.解答过程：令,在上单调递增．，的零点，故A正确；由得，即函数与函数的图象交于点，由得，即函数与函数的图象交于点，函数与函数的图象关于直线对称，的图象也关于直线对称，点与点关于直线对称．记直线与交于点,，解得.故点的坐标为，，，故B错误；，故C正确；由及知，，令．在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减，，，故D正确．第Ⅱ卷三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.双曲线的离心率为___________．答案：解析：解答过程：因为，所以该双曲线是等轴双曲线，等轴双曲线的离心率为．13.在中，角所对的边分别为，已知点在边上，，，，，则___________答案：##解析：思路：先根据已知条件求出，利用正弦定理求出，进而求出，然后利用余弦定理求解.解答过程：依题意，点在边上，且，，则时钝角，故，因，则，在中，由正弦定理得，即，因为为钝角，则，，再由余弦定理得，，即，解得(负根舍去)，所以．14.一个不透明的盒子中有三张纸牌，分别标有数字1，2，3，每一次从盒子中摸出一张牌，记录数字后放回，直到连续两次摸到3号牌结束游戏，记游戏终止时摸牌次数为X，则E（X）=___________答案：12解析：思路：设已经连续摸出次3号牌的情况下，还需摸次牌才结束游戏，列出，的分布列，表示出，的均值，解方程组求得.解答过程：设已经连续摸出次3号牌的情况下，还需摸次牌才结束游戏，每一次摸到3号牌的概率为，摸到的不是3号牌的概率为，显然的分布列如下所示：1故．①的分布列如下所示：故．②由①②解得，即．四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文宇说明、证明过程成演算步骤）15.已知．（1）求函数的单调增区间；（2）设，求函数在区间上的值域.答案：（1）．（2）．解析：思路：（1）由三角恒等变换可得，结合正弦函数的性质求解即可；（2）先求得函数在上的值域，再利用换元法结合二次函数的性质求解即可.（1）因为．令，解得．所以的单调增区间为．（2）当时，，因此．令，则，该函数图象开口向上，对称轴为直线．最小值：．令，则，令，则．则在区间上的值域为．16.匹克球是一种集网球、乒乓球、羽毛球技术特点于一体的隔网对抗性拍球运动，因其上手快、趣味性强且老少皆宜而广受欢迎．某校随机调查了100名男生和100名女生对匹克球的爱好程度，现统计得出样本中爱好匹克球的人数占样本总数的50%，其中爱好匹克球的女生有45人．爱好匹克球不爱好匹克球合计男生女生45合计200（1）请根据已知条件将上述列联表补充完整，依据小概率值的独立性检验，分析爱好匹克球是否与性别有关；（2）现从这100名男生中采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取20人，然后从这20人中随机抽取3人参加有奖问答，记3人中爱好匹克球的人数为，求的分布列和数学期望．附：0.1000.0500.0102.7063.8416.635答案：（1）爱好匹克球不爱好匹克球合计男生5545100女生4555100合计100100200在犯错误的概率不超过的前提下，不能认为爱好匹克球与性别有关（2）的分布列为的数学期望为解析：思路：（1）首先完善列联表，计算的值，然后进行判断；（2）确定随机变量的取值及概率，列出分布列，计算数学期望.（1）依题意可得列联表如下：爱好匹克球不爱好匹克球合计男生5545100女生4555100合计100100200，所以在犯错误的概率不超过的前提下，不能认为爱好匹克球与性别有关．（2）依题意，从爱好匹克球的男生中抽取人，从不爱好匹克球的男生中抽取人，则的可能取值为，则，，则的分布列为所以的数学期望为．17.如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长均为2，M，N，P分别为线段BB1，AB，A1C的中点．（1）证明：NP//平面；（2）作出过M，N，P三点的截面与正三棱柱表面的交线（请保留作图痕迹，并用文字语言叙述作图过程），并求出交线的长度之和．答案：（1）证明：如图，取的中点，连接，因为N，P分别为线段AB，A1C的中点，所以，，又因为正三棱柱ABC-A1B1C1，,所以.因为平面，平面，所以平面.同理可证平面，又因为，且平面，平面，所以平面平面．因为平面，所以NP//平面.（2）解析：思路：(1)利用面面平行的判定证明平面平面，进而得到NP//平面.(2)根据点、线、面的位置关系作出图形，再利用三角形相似等知识点求出相关线段长度.（1）略；（2）如图，过的直线交的延长线于点，连接，并延长交于点，交于点，连接，直线与的延长线交于点，连接，与交于点，连接，则五边形即为所求.因为正三棱柱的棱长均为2，所以由图可知，，因此，，由余弦定理得，在平面内，，过作交于点，则，则，，即为中点，所以，所以五边形的周长为．18.若有导函数，二阶导数是对一阶导数再求导的结果，通常记．若函数在区间内有二阶导数，，使，且存在，在上的符号与在上的符号相反，则为的拐点．已知（1）求函数的拐点；（2）已知直线与的图象有两个交点，求实数的取值范围；（3）已知函数在和处的切线斜率相等，证明：．答案：（1）2（2）（3）令，因为函数在和处的切线斜率相等，所以，由（2）可知，在上递减，在上递增，且时，的图象如下图所示：故，要证明，即证，即证，即证．不妨设，则，因为，所以，，所以，所以，故在上递减，因此，，即，即．解析：思路：（1）先求一阶导和二阶导，令二阶导为零得

，再验证二阶导在

左右两侧符号相反（由负变正），确定拐点为；（2）利用二阶导符号判断的单调性，找到其最小值点

，并分析在两侧的极限和零点；结合函数图象与水平直线有两个交点，得出参数

的取值范围；（3）构造函数，由

推出

，要证

，等价于证

，令

，通过求导判断其单调性，利用端点值

完成证明．（1），令，得，因为在上为负，上为正，所以