湖南省长沙市浏阳市2025-2026学年高二下学期期末质量监测数学试卷-附解析

数学本试卷分试题和答题卡两部分，试卷共6页.满分150分，时量120分钟.第Ⅰ卷选择题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.复数（其中i为虚数单位）的虚部为（）A. B. C.1 D.i2.已知全集，集合，若，则（）A.6 B.8 C.9 D.103.已知命题：，，则为（）A.，， B.，，C.，， D.，，4.在的展开式中，的系数为（）A. B.49 C. D.5.将A、B、C、D、E、F六名志愿者分配到两个不同的地点开展工作，要求A、B必须在同一组，且每组至少两人，则不同的分配方案有（）A.18种 B.20种 C.22种 D.24种6.若幂函数，与在第一象限内的图象如图所示，则（）A. B.C. D.7.若，则的最小值为（）A. B. C. D.8.一个不透明的袋子中装有9个除颜色外均相同的小球，其中4个红球，3个绿球，2个蓝球．现进行如下操作：从袋中随机摸出一个小球，观察颜色后放回，并再向袋中加入一个相同颜色的小球．如此重复操作，则在第一次和第三次摸到红球的条件下第二次摸到绿球的概率为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.已知，，则（）A. B.若，则C.若，则 D.若，则10.已知函数，其在上的零点从小到大依次为下列说法正确的是（）A.是最小正周期为偶函数 B.的值域为C. D.11.如图，已知正八边形的边长为2，点是正八边形边上的动点，则下列说法正确的是（）A.若，则B.存在点，使得C.的最大值为D.若函数，则函数的最小值为第Ⅱ卷非选择题三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，且，则_____．13.如图，一个四面体，棱的长为6，其余的棱长均为，则该四面体的体积为______．14.小明参加答题比赛，比赛共有道题，答题结果互不影响，且每道题小明的正确率为，设答对题的概率为，小明夺冠的概率，若小明夺冠概率不小于，则的最小值为__________.（参考数据：）四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.为探究学生完成数学作业情况与成绩之间的联系，某学校从高一，高二，高三三个年级采用按比例分层抽样的方式得到400名学生的测验成绩，得到如下列联表：

成绩优秀成绩不优秀总计不认真完成作业认真完成作业总计（1）求；（2）记不认真完成作业的学生中，成绩不优秀的概率为，给出的估计值；（3）能否有的把握认真完成作业对成绩优秀有效？附：．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82816.已知分别为三个内角的对边，且（1）求；（2）若，且△ABC的面积为，求.17.DeepSeek是专注通用人工智能的中国公司，致力于大模型研发应用．其开源推理模型DeepSeek-R1性能出色，在多任务上比肩OpenAI-O1正式版，且可免费商用．在测试DeepSeek-R1时，如果输入的问题没有语法错误，则DeepSeek-R1的回答被采纳的概率为，当出现语法错误时，DeepSeek-R1的回答被采纳的概率为．（1）在某次测试中输入了6个问题，DeepSeek-R1的回答有4个被采纳．现从这6个问题中抽取3个，以表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求的数学期望；（2）已知输入的问题出现语法错误的概率为，求DeepSeek-R1的回答被采纳的概率．18.如图，已知三棱锥，，，，，，（1）求证：平面；（2）求三棱锥外接球的表面积；（3）若点为三棱锥外接球的球心，求平面与平面所成角的余弦值．19.已知函数，，．（1）若，判断曲线是否是中心对称图形，若是，求出它的对称中心；若不是，请说明理由；（2）若函数，（i）判断的单调性；（ii）若是的两个零点，且，证明：．

数学本试卷分试题和答题卡两部分，试卷共6页.满分150分，时量120分钟.第Ⅰ卷选择题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.复数（其中i为虚数单位）的虚部为（）A. B. C.1 D.i答案：C解析：思路：根据复数的代数形式，虚部是实数，直接判断即可.解答过程：复数所以它的虚部为.2.已知全集，集合，若，则（）A.6 B.8 C.9 D.10答案：B解析：思路：根据补集的定义，先确定集合，再比较集合中的元素求出.解答过程：因为，且，所以从全集中去掉元素后，得到又，因此解得3.已知命题：，，则为（）A.，， B.，，C.，， D.，，答案：D解析：解答过程：命题：，则为：，．4.在的展开式中，的系数为（）A. B.49 C. D.答案：B解析：解答过程：在的展开式中，含的项为，所以所求系数为49.5.将A、B、C、D、E、F六名志愿者分配到两个不同的地点开展工作，要求A、B必须在同一组，且每组至少两人，则不同的分配方案有（）A.18种 B.20种 C.22种 D.24种答案：C解析：思路：先确定A、B所在的地点，再从其余4人中选出分配到另一个地点的人.由于两个地点不同，需要区分A、B被分到哪个地点.解答过程：先确定A、B所在的地点，共有种选择.固定A、B在其中一个地点后，该地点已经有2人.为了使另一个地点至少有2人，需要从C、D、E、F中选出至少2人到另一个地点（剩下未选的人和A，B一组）.因此，在A、B所在地点确定的情况下，分配方案数为所以不同的分配方案共有种.6.若幂函数，与在第一象限内的图象如图所示，则（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：由所给图象结合幂函数单调性判断即可得.解答过程：当时，在上单调递增，且时，当增大时，图象越来越平缓，所以；当时，在上单调递减，不妨令，根据题图可得，所以；综上可得.7.若，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：先表示出，再化简，利用基本不等式可求最小值．解答过程：，，，，，，当且仅当即时等号成立，的最小值为．8.一个不透明的袋子中装有9个除颜色外均相同的小球，其中4个红球，3个绿球，2个蓝球．现进行如下操作：从袋中随机摸出一个小球，观察颜色后放回，并再向袋中加入一个相同颜色的小球．如此重复操作，则在第一次和第三次摸到红球的条件下第二次摸到绿球的概率为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：设事件为第一次和第三次摸到红球，事件为第二次摸到绿球，分别求解，再结合条件概率公式计算.解答过程：设事件：第一次和第三次摸到红球，事件：第二次摸到绿球，可得：第一次摸红球：初始9球，4红，概率，摸后加1红，总球变为10，红球5个；第二次摸绿球：10球中3绿，概率，摸后加1绿，总球变为11，红球仍为5个；第三次摸红球：11球中5红，概率；所以.因为连续三次摸到红球的概率：；三次摸球顺序为红，绿，红的概率：；三次摸球顺序为红，蓝，红的概率：，所以，故.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.已知，，则（）A. B.若，则C.若，则 D.若，则答案：AC解析：解答过程：选项A：，则，故A正确；选项B：已知，则，解得，故B错误；选项C：若，则，，故C正确；选项D：已知，则，解得，故D错误．10.已知函数，其在上的零点从小到大依次为下列说法正确的是（）A.是最小正周期为偶函数 B.的值域为C. D.答案：BC解析：思路：由奇偶性与周期性的定义计算可判断A；利用二倍角的余弦与换元法求得的值域判断B；由题意得，结合余弦函数的牟称性可判断C；结合C选项求得判断D.解答过程：选项A：，所以是偶函数；又，因此最小正周期是不是，故A错误；选项B：，令，则.当时，当时，为.故B正确；选项C：令，即，解得（另一根，舍去）.在内，（其中）的两个根，满足（余弦函数的对称性），故C正确，选项D，由方程，根据C选项可知，但只有符合，所以，故D错误.11.如图，已知正八边形的边长为2，点是正八边形边上的动点，则下列说法正确的是（）A.若，则B.存在点，使得C.的最大值为D.若函数，则函数的最小值为答案：ACD解析：思路：先建立直角坐标系，对于A，需要将用、表示出来，进而求出的值；对于B，可取中点，通过极化恒等式判断；对于C，根据向量数量积的坐标运算求的最大值；对于D，利用坐标进行化简，再根据模的坐标计算公式求出其最小值.解答过程：我们先建立平面直角坐标系，根据正八边形边长为2的性质，得到各顶点坐标：，，，，，，.选项A：由得，解得，故A正确；选项B：取的中点，，故B错误；选项C：，当点在上时，，故C正确；选项D：则，当横坐标为0时其模取得最小值，等于纵坐标的绝对值，故D正确.第Ⅱ卷非选择题三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，且，则_____．答案：解析：思路：利用二项展开式的通项公式求出项的系数，结合已知列方程求解参数.解答过程：由二项展开式的通项公式可知，，令，解得，所以，解得.13.如图，一个四面体，棱的长为6，其余的棱长均为，则该四面体的体积为______．答案：解析：思路：取的中点，连接，通过计算证明平面，从而将作为高，利用锥体体积公式求解.解答过程：取的中点，连接．因为，所以为等边三角形，所以，且．同理，因为，所以为等边三角形，所以，且．在中，，因为，所以，即．又因为，，平面，所以平面，即为四面体的高．底面的面积．所以四面体的体积．14.小明参加答题比赛，比赛共有道题，答题结果互不影响，且每道题小明的正确率为，设答对题的概率为，小明夺冠的概率，若小明夺冠概率不小于，则的最小值为__________.（参考数据：）答案：9解析：思路：先根据每道题答题结果互不影响且正确率相同，判断答对题数服从二项分布，并写出的表达式.再把代入夺冠概率的求和式，利用二项式定理化简求和，得到.最后由列不等式，取常用对数并代入参考数据，求出的最小正整数.解答过程：由题意可知，小明答对题数服从二项分布，即，所以，其中.小明最终夺冠的概率为.将代入，得.因为，所以.由二项式定理可得.因此.由题意，小明夺冠概率不小于，所以，即.两边取常用对数，得，即.由参考数据得，，所以.因为为正整数，所以的最小值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.为探究学生完成数学作业情况与成绩之间的联系，某学校从高一，高二，高三三个年级采用按比例分层抽样的方式得到400名学生的测验成绩，得到如下列联表：

成绩优秀成绩不优秀总计不认真完成作业认真完成作业总计（1）求；（2）记不认真完成作业的学生中，成绩不优秀的概率为，给出的估计值；（3）能否有的把握认真完成作业对成绩优秀有效？附：．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828答案：（1），（2）（3）有的把握认为认真完成作业对成绩优秀有效解析：（1）由列联表知，（2）由列联表知，不认真完成作业的有人，不认真完成作业且成绩不优秀的有人，所以在不认真完成作业的学生中，成绩不优秀的频率为，所以不认真完成作业且成绩不优秀的概率的估计值为．（3）零假设：假设认真完成作业与成绩优秀无关；由列联表得到，所以有的把握认为认真完成作业对成绩优秀有效.16.已知分别为三个内角的对边，且（1）求；（2）若，且△ABC的面积为，求.答案：（1）（2）解析：思路：（1）采用边化角结合内角和恒等变换，利用余弦型三角式求解内角；（2）联立面积公式与余弦定理构造方程组，直接求解边长.（1）由，结合正弦定理可得，展开右侧三角式得，消去同类项后化简为，整理得，由，得，解得.（2）由三角形面积公式，代入，得，由余弦定理，代入、，得，联立，解得.17.DeepSeek是专注通用人工智能的中国公司，致力于大模型研发应用．其开源推理模型DeepSeek-R1性能出色，在多任务上比肩OpenAI-O1正式版，且可免费商用．在测试DeepSeek-R1时，如果输入的问题没有语法错误，则DeepSeek-R1的回答被采纳的概率为，当出现语法错误时，DeepSeek-R1的回答被采纳的概率为．（1）在某次测试中输入了6个问题，DeepSeek-R1的回答有4个被采纳．现从这6个问题中抽取3个，以表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求的数学期望；（2）已知输入的问题出现语法错误的概率为，求DeepSeek-R1的回答被采纳的概率．答案：（1）123（2）解析：思路：（1）由题可知，所有可能取值为1，2，3，由超几何分布公式分别求出各个变量对应的概率，写出分布列，再根据期望公式求出期望即可；（2）利用全概率公式求解即可.（1）由题可知，所有可能取值为1，2，3，则，，，所以的分布列为：123所以．（2）记“输入的问题出现语法错误”为事件，则，，记“DeepSeek-R1的回答被采纳”为事件，则，，所以．18.如图，已知三棱锥，，，，，，（1）求证：平面；（2）求三棱锥外接球的表面积；（3）若点为三棱锥外接球的球心，求平面与平面所成角的余弦值．答案：（1）由，则是的中点，又，则，又，，则，且，所以在中，有，，所以在中，有，又，则在中，有，所以，又，且，平面，所以平面．（2）（3）解析：思路：（1）根据等腰三角形的性质，三角函数的定义，及勾股定理推出，且，进而结合线面垂直的判定即可证明；（2）结合（1），先根据三角形外接圆的定义，及正弦定理求出该外接圆的半径，再根据外接球的定义，及勾股定理求出外接球的半径，进而即可求出该外接球的表面积；（3）法一：根据面积射影定理公式即可求解；法二：先作出平面与平面的交线，再找出平面与平面的平面角，进而求出该平面角的余弦值即可．（1）略（2）设外接圆的半径为，为该外接圆圆心，则在直线上，由正弦定理可得，则，结合（1）有，则，设三棱锥外接球的半径为，为该外接球的球心，则在过圆的圆心且垂直于平面的直线上，结合（1）有平面，则在平面内，所以平面，设，过作，且在上，则，，，在中，有，在