吉林省吉林市省实验中学2025-2026学年高一下学期学程性考试（三）数学试卷-附解析

数学满分150分，考试时间120分钟．一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1.一组数据3，5，6，7，7，9的第30百分位数是（）A.3 B.4 C.5 D.62.如图，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是三角形，若，，则原三角形的面积为（）A.1 B.2 C.4 D.83.已知表示一条直线，，表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则4.先将函数的图象向右平移，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（）A. B.C. D.5.某学校从高三某次联考中随机抽取了甲班50名、乙班40名学生的成绩.已知甲班50名学生成绩的平均数为112分，方差为8，乙班40名学生成绩的平均数为94分，方差为8，则这90名学生成绩的方差为（）A.8 B.36 C.64 D.886.设为单位向量，在上的投影向量为，则（）A. B. C.5 D.87.某家用方形分装漏斗的主体结构可抽象成一个上大下小的正四棱台，若，，且侧面与上底面的夹角为，若不考虑材料厚度、接缝及裁剪损耗，制作该漏斗的侧面所需材料的面积为（）A. B. C. D.8.如图，在平面四边形中，，是边长为3的正三角形．将该四边形沿对角线折成一个大小为的二面角，则四面体的外接球的体积为（）A. B. C. D.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.已知事件和事件的概率，，下列结论中正确的是（）A.若事件和事件独立，则B.若事件和事件独立，则C.若事件和事件互斥，则D.若事件和事件互斥，则10.在中，内角的对边分别为，且，则（）A. B.C. D.11.如图，在棱长为的正方体中，点为中点，动点在正方形内（含边界），则（）A.若，则点的轨迹长度为B.若点为中点，过点、、的平面截该正方体，所得截面周长为C.若点为中点，则三棱锥的外接球表面积为D.若与的夹角为，为线段上的动点，则的最小值为三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12.已知复数是纯虚数，则实数______.13.已知某运动员每次投篮命中的概率为0.5，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：用计算机产生0~999之间的随机整数，以每个随机整数（不足三位的整数，其百位或十位用0补齐）为一组，代表三次投篮的结果，指定数字0，1，2，3，4表示命中，数字5，6，7，8，9表示未命中.如图，在R软件的控制平台，输入“sample（0：999，20，replace=F）”，按回车键，得到0~999范围内的20个不重复的整数随机数，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为______.14.已知满足，且其外接圆半径为2，则面积的最大值为___________．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.中国AI大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段．为了了解中国AI大模型用户的年龄分布，A公司调查了500名中国AI大模型用户，统计他们的年龄(都在内)，按照，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求这500名中国AI大模型用户的年龄在内的人数；（2）估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）．16.为普及普洱本土特色产业与科创知识，普洱市科技馆开展“绿色科创体验周”科普活动，设置了两个活动方案，参观者可任选一个方案进行挑战，若挑战成功将获得一份纪念品．方案一：准备4张“绿色食品知识卡”（涵盖普洱茶､咖啡､热带水果､特色农产品）和2张“生物医药知识卡”（涵盖中药材种植､生物制造产业），参观者从6张卡片中一次性随机抽取2张，如果两张卡片类型不同（即一张绿色食品知识卡､一张生物医药知识卡），则挑战成功．方案二：回答3道关于普洱特色产业的问题，若至少答对1道题，则挑战成功．（1）求参观者在方案一中挑战成功的概率；（2）如果小明选择方案二，已知他每道题答对的概率均为，且每道题的回答相互独立．你觉得他的选择是否合理？请通过计算说明你的理由．17.如图，在中，．设点D是边上一点，满足．（1）记，用表示；（2）若，求．18.如图，四棱锥中，平面，，，E为的中点，点F在棱上，直线和直线相交．（1）求证：（2）若，，．（i）证明：平面；（ⅱ）求直线与平面所成的角．19.如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面为正方形，且平面平面，，分别为，的中点.（1）求证：；（2）在线段上是否存在一点使得平面，存在指出位置，不存在请说明理由.（3）求二面角的正弦值．

数学满分150分，考试时间120分钟．一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1.一组数据3，5，6，7，7，9的第30百分位数是（）A.3 B.4 C.5 D.6答案：C解析：解答过程：这组数据按从小到大排序为3，5，6，7，7，9，由可知第30百分位数是第2个数据，即为.2.如图，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是三角形，若，，则原三角形的面积为（）A.1 B.2 C.4 D.8答案：B解析：思路：根据直观图可得原图为直角三角形，求出原图的直角边长后可得三角形的面积.解答过程：因为斜二测画法中，横不变，纵减半，所以三角形为直角三角形,且为直角,,,故其面积为.3.已知表示一条直线，，表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则答案：B解析：思路：结合空间线面、面面平行与垂直的判定及性质，逐一分析各选项的正误。解答过程：对选项A：若，，则直线的位置关系为或，并非一定满足，故A错误；对选项B：由面面平行的性质可知，若两个平行平面中的一个与一条直线垂直，则另一个平面也与该直线垂直，因此当，时，，故B正确；对选项C：若，，则与的位置关系可能为平行、相交或，并非一定垂直，故C错误；对选项D：若，，则直线的位置关系为或，并非一定满足，故D错误。4.先将函数的图象向右平移，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：遵循三角函数图象变换的“左加右减”平移规则和横坐标伸缩变换规则得到的解析式.解答过程：将函数的图象向右平移，可得到函数的图象，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，故.5.某学校从高三某次联考中随机抽取了甲班50名、乙班40名学生的成绩.已知甲班50名学生成绩的平均数为112分，方差为8，乙班40名学生成绩的平均数为94分，方差为8，则这90名学生成绩的方差为（）A.8 B.36 C.64 D.88答案：D解析：思路：根据两组数据的均值和方差，利用方差合并公式计算可得.解答过程：设甲班50名学生成绩的平均数和方差分别为，，乙班40名学生成绩的平均数和方差分别为，，则，，，，所以这90名学生成绩的平均数为，则这90名学生成绩的方差为.故选：D.6.设为单位向量，在上的投影向量为，则（）A. B. C.5 D.8答案：B解析：思路：根据投影向量的公式，即可求得，进而平方再开方求解模长.解答过程：由题意可得，且，则，所以.7.某家用方形分装漏斗的主体结构可抽象成一个上大下小的正四棱台，若，，且侧面与上底面的夹角为，若不考虑材料厚度、接缝及裁剪损耗，制作该漏斗的侧面所需材料的面积为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：分别取、、、的中点、、、，连接、、、，根据正棱台的性质求出，即可求出.解答过程：如图，分别取、、、的中点、、、，连接、、、，因为是正四棱台，所以、，又侧面与上底面的夹角为，所以，又，，所以、，所以，所以，所以制作该漏斗的侧面所需材料的面积为.8.如图，在平面四边形中，，是边长为3的正三角形．将该四边形沿对角线折成一个大小为的二面角，则四面体的外接球的体积为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：作出图形，取的中点，找到的外心，然后平面，根据二面角的平面角为找到球心，然后计算长度求出，最后根据球的体积公式计算即可.解答过程：如图，取的中点，连接，设为正的外心，则点在上，且．设为四面体的外接球球心，则平面．，则为的外心，平面．二面角的大小为，则直线与平面成角，．是边长为3的正三角形，则，．在中，．在中，，则，四面体的外接球半径，.故选：B．二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.已知事件和事件的概率，，下列结论中正确的是（）A.若事件和事件独立，则B.若事件和事件独立，则C.若事件和事件互斥，则D.若事件和事件互斥，则答案：ABD解析：思路：根据事件相互独立的定义和互斥事件的加法公式逐项判断.解答过程：对于A：因为事件和事件独立，所以，A正确；对于B：由A，，所以，B正确；对于C：若事件和事件互斥，则，所以，C错误；对于D：若事件和事件互斥，则，D正确.10.在中，内角的对边分别为，且，则（）A. B.C. D.答案：AD解析：思路：由变形可得的值，再由结合二倍角公式和平方关系变形可得，进而得到，再结合余弦定理可得两边的关系，由B可得，结合正弦定理可求得的值，进而比较大小，对利用完全平方公式进行放缩可得到的大小.解答过程：对于A选项，由，所以，得，A选项正确；对于B选项，由，则，得，由正弦定理，即，代入，得，解得或，B选项错误；对于C，，由,，，C选项错误；对D选项，，，D选项正确.故选:AD11.如图，在棱长为的正方体中，点为中点，动点在正方形内（含边界），则（）A.若，则点的轨迹长度为B.若点为中点，过点、、的平面截该正方体，所得截面周长为C.若点为中点，则三棱锥的外接球表面积为D.若与的夹角为，为线段上的动点，则的最小值为答案：ABD解析：思路：选项A，结合勾股定理求出点的轨迹，利用圆的周长计算即可；选项B，作出截面，并求出截面周长，即可作出判断；选项C，取中点，连接，分析可得等腰的外接圆圆心在上，且外接圆半径为，再过点作底面的垂线，设为三棱锥的外接球的球心，结合底面，可得，进而求出外接球半径，再根据球的表面积公式求解判断即可；选项D，由题意知点在以为圆心，为半径的圆弧上，再利用对称性结合平面几何知识即可判断D.解答过程：对于A选项，因为平面，平面，所以，因为，则，则在以为圆心，半径为的四分之一圆周上，如图，所以点的轨迹长度为，故A正确；对于B选项，如下图所示：延长分别交直线、于点、，连接交于点，连接交于点，连接、，所以五边形为所求截面，因为为的中点，所以，因为，所以，又因为，故，所以，因为，所以，所以，由勾股定理可得，，，同理可得，，，故截面周长为，故B正确；对于C选项，如图所示，，取中点，连接，则等腰的外接圆圆心在上，所以外接圆半径，依题意易知，，根据正弦定理可知，，则，过点作底面的垂线，由于底面，设为三棱锥的外接球的球心，则，而，则，又，则三棱锥的外接球的半径为，所以三棱锥的外接球表面积为，故C错误；对于D选项，因为平面，所以与的夹角为，故，则，所以点在以为圆心，为半径的圆弧上，连接，由对称性可知，当点位于上时，最小，过作于，在中，，则，故，如图在平面中，过点作于点，则，当且仅当、、三点共线时取等号，故D正确．三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12.已知复数是纯虚数，则实数______.答案：2解析：解答过程：由复数是纯虚数，可得，解得.13.已知某运动员每次投篮命中的概率为0.5，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：用计算机产生0~999之间的随机整数，以每个随机整数（不足三位的整数，其百位或十位用0补齐）为一组，代表三次投篮的结果，指定数字0，1，2，3，4表示命中，数字5，6，7，8，9表示未命中.如图，在R软件的控制平台，输入“sample（0：999，20，replace=F）”，按回车键，得到0~999范围内的20个不重复的整数随机数，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为______.答案：解析：思路：求出基本事件的个数以及符合条件的事件的个数，进而结合古典概型概率公式即可求出结果.解答过程：在20个不重复的数中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的有633，309，16，543，247，62共6个，所以据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为，故答案为：.14.已知满足，且其外接圆半径为2，则面积的最大值为___________．答案：2解析：思路：先利用三角恒等变换和正弦定理，由推出角的关系，再结合外接圆半径，用正弦定理和三角形面积公式将面积表示为，最后根据角的范围即可求出面积的最大值.解答过程：因为，由积化和差：，又，所以，所以，因为，所以，又因为，所以，所以，即，所以.由正弦定理：，所以，所以，由，得，即，所以，所以当，即时，取到最大值为1，此时.四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.中国AI大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段．为了了解中国AI大模型用户的年龄分布，A公司调查了500名中国AI大模型用户，统计他们的年龄(都在内)，按照，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求这500名中国AI大模型用户的年龄在内的人数；（2）估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）．答案：（1）200人（2）37.5解析：思路：（1）由年龄在内的频率计算求解；（2）由频率分布直方图的平均数计算公式计算求解.（1）由题可知组距为10，则，解得；这500名中国AI大模型用户的年龄在内的频率为：，所以这500名中国AI大模型用户的年龄在内的人数为：人；（2）估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数如下，为．16.为普及普洱本土特色产业与科创知识，普洱市科技馆开展“绿色科创体验周”科普活动，设置了两个活动方案，参观者可任选一个方案进行挑战，若挑战成功将获得一份纪念品．方案一：准备4张“绿色食品知识卡”（涵盖普洱茶､咖啡､热带水果､特色农产品）和2张“生物医药知识卡”（涵盖中药材种植､生物制造产业），参观者从6张卡片中一次性随机抽取2张，如果两张卡片类型不同（即一张绿色食品知识卡､一张生物医药知识卡），则挑战成功．方案二：回答3道关于普洱特色产业的问题，若至少答对1道题，则挑战成功．（1）求参观者在方案一中挑战成功的概率；（2）如果小明选择方案二，已知他每道题答对的概率均为，且每道题的回答相互独立．你觉得他的选择是否合理？请通过计算说明你的理由．答案：（1）（2）小明的选择合理解析：思路：（1）

根据古典概型的概率公式计算挑战成功概率；（2）利用对立事件的概率关系求解方案二的成功概率，通过两方案概率比较判断选择的合理性.（1）记4张“绿色食品知识卡”分别为，记2张“生物医药知识卡”分别为.则从6张卡片中一次性抽取2张，样本空间为Ω.记参观者在方案一中挑战成功为事件，则，所以.即方案一挑战成功的概率为

.（2）设小明选择方案二挑战成功为事件，其对立事件为3道题全部答错.由已知得，每道题答错的概率为，且各题回答结果相互独立，所以

.所以.

又，，即，所以方案二挑战成功概率更高，因此小明的选择合理.17.如图，在中，．设点D是边上一点，满足．（1）记，用表示；（2）若，求．答案：（1）（2）1解析：思路：（1）利用正弦定理可求；（2）利用正弦定理结合题设条件可得，再由（1）中的结论可求的长.（1）由题．在中，，根据正弦定理可得．（2）在中，根据正弦定理可得，所以，所以，可得．又由（1）知，所以．.18.如图，四棱锥中，平面，，，E为的中点，点F在棱上，直线和直线相交．（1）求证：（2）若，，．（i）证明：平面；（ⅱ）求直线与平面所成的角．答案：（1）证明：直线和直线相交，故A，B，F，E四点共面，四棱锥中，，平面，平面，故平面，因为平面平面，平面，故．（2）（i）证明：，，故，故，所以，故，因为平面，平面，故，且，，平面，故平面．（ⅱ）解析：思路：（1）证明线线平行可转化为线面平行，根据线面平行的性质进行证明，过一个平面的平行线的平面与这个平面的交线与这条直线平行，由此进行证明即可；（2）（i）根据题干中所给的线面垂直和线段长度，可利用线面垂直的性质以及勾股定理找到两条相交直线与垂直，根据线面垂直的判定定理证明即可；（ⅱ）先证明平面，可得是直线与平面所成的角，进而可得结论.（1）略（2）（i）略（ⅱ）因为，E为的中点，故F为的中点，且，故