2025-2026年天津市北师大版高中数学函数与导数同步练习题

2025-2026年天津市北师大版高中数学函数与导数同步练习题一、单选题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=ln(x+1)-x在区间(-1,0)上的单调性为（）A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增解析：f′(x)=1/(x+1)-1=-(x/(x+1))，在(-1,0)上f′(x)>0，故函数单调递增，选A。2.若函数g(x)=x³-3ax+1在x=2处取得极值，则实数a的值为（）A.3B.-3C.5D.-5解析：g′(x)=3x²-3a，由题意g′(2)=12-3a=0，解得a=4，但选项无4，重新检查题意发现应为g′(2)=12-3a=0，解得a=4，选项有误，正确答案应为4，但题目要求选择，故无法作答。3.函数h(x)=e^x-ax在x→+∞时存在水平渐近线，则实数a的取值范围是（）A.a>1B.a=1C.0<a<1D.a≤1解析：当x→+∞时，若h(x)存在水平渐近线，则e^x/a→L（有限值），需a>0，又e^x/a→0当且仅当a>1，故选A。4.已知函数f(x)=√(x²+2x+3)，则f(x)在x=1处的切线方程为（）A.y=x+1B.y=-x+3C.y=2x+1D.y=-2x+3解析：f′(x)=x/(√(x²+2x+3))，f′(1)=1/√6，f(1)=√6，切线方程为y-√6=(1/√6)(x-1)，化简得y=(1/√6)x+(5/√6)，选项无对应方程，故无法作答。5.若函数m(x)=x³-3x²+2在区间[-1,3]上的最大值与最小值分别为M和m，则M+m的值为（）A.1B.2C.3D.4解析：m′(x)=3x²-6x，令m′(x)=0得x=0或x=2，m(-1)=-4，m(0)=2，m(2)=-2，m(3)=1，M=2，m=-4，M+m=-2，选项无对应值，故无法作答。6.函数n(x)=sin(x)+cos(2x)在区间[0,π/2]上的最小值为（）A.-1B.-√2/2C.0D.-1/2解析：n′(x)=cos(x)-2sin(2x)=cos(x)-4sin(x)cos(x)=cos(x)(1-4sin(x))，令n′(x)=0得x=π/2或sin(x)=1/4，n(0)=1，n(π/2)=0，n(π/6)=√3/2+1/2>0，n(π/4)=√2/2-√2/2=0，n(π/3)=1/2-3√3/4<0，最小值为-1，选A。7.若函数p(x)=x²+2ax+3在x=1处的切线与直线y=4x-1平行，则实数a的值为（）A.-1B.1C.2D.-2解析：p′(x)=2x+2a，切线斜率为2a+2=4，解得a=1，选B。8.函数q(x)=ln(x²+1)-x在区间(-1,1)上的最大值为（）A.1B.0C.-1D.-√2/2解析：q′(x)=2x/(x²+1)-1=(x²-1)/(x²+1)，令q′(x)=0得x=±1，q(0)=0，q(1)=ln2-1<0，q(-1)=ln2-1<0，最大值为0，选B。9.若函数r(x)=e^x-ax在x=0处取得极值，则实数a的取值范围是（）A.a>1B.a=1C.0<a<1D.a≤1解析：r′(x)=e^x-a，由题意r′(0)=1-a=0，解得a=1，选B。10.函数s(x)=x³-3x²+2在区间[-1,3]上的最大值与最小值分别为M和m，则M-m的值为（）A.3B.4C.5D.6解析：s′(x)=3x²-6x，令s′(x)=0得x=0或x=2，s(-1)=-4，s(0)=2，s(2)=-2，s(3)=1，M=2，m=-4，M-m=6，选D。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数t(x)=x³-3x+1在区间[-2,2]上的最大值与最小值分别为________和________。参考答案：2和-4解析：t′(x)=3x²-3，令t′(x)=0得x=±1，t(-2)=-1，t(-1)=3，t(0)=1，t(1)=-1，t(2)=2，最大值2，最小值-4。2.函数u(x)=ln(x+1)-x在区间(0,1)上的值域为________。参考答案：(0,1/2)解析：u′(x)=1/(x+1)-1=-(x/(x+1))，在(0,1)上u′(x)<0，函数单调递减，u(0)=0，u(1)=ln2-1<0，值域为(0,ln2-1)。3.函数v(x)=x³-3x²+2在x=2处的切线方程为________。参考答案：y=-2x+6解析：v′(x)=3x²-6x，v′(2)=0，v(2)=-2，切线方程为y=-2(x-2)，即y=-2x+6。4.函数w(x)=e^x-ax在x→+∞时存在水平渐近线，则实数a的取值范围是________。参考答案：a>1解析：e^x/a→L（有限值），需a>0，又e^x/a→0当且仅当a>1。5.函数x(x)=sin(x)+cos(2x)在区间[0,π/2]上的最小值为________。参考答案：-1解析：x′(x)=cos(x)-2sin(2x)=cos(x)-4sin(x)cos(x)=cos(x)(1-4sin(x))，令x′(x)=0得x=π/2或sin(x)=1/4，x(0)=1，x(π/2)=0，x(π/6)=√3/2+1/2>0，x(π/4)=√2/2-√2/2=0，x(π/3)=1/2-3√3/4<0，最小值为-1。6.函数y(x)=ln(x²+1)-x在区间(-1,1)上的最大值为________。参考答案：0解析：y′(x)=2x/(x²+1)-1=(x²-1)/(x²+1)，令y′(x)=0得x=±1，y(0)=0，y(1)=ln2-1<0，y(-1)=ln2-1<0，最大值为0。7.函数z(x)=x³-3x²+2在x=1处的二阶导数为________。参考答案：0解析：z′(x)=3x²-6x，z′′(x)=6x-6，z′′(1)=0。8.函数a(x)=e^x-ax在x=0处取得极值，则实数a的值为________。参考答案：1解析：a′(x)=e^x-a，由题意a′(0)=1-a=0，解得a=1。9.函数b(x)=sin(x)+cos(2x)在区间[0,π/2]上的最大值为________。参考答案：1解析：b′(x)=cos(x)-2sin(2x)=cos(x)-4sin(x)cos(x)=cos(x)(1-4sin(x))，令b′(x)=0得x=π/2或sin(x)=1/4，b(0)=1，b(π/2)=0，b(π/6)=√3/2+1/2>0，b(π/4)=√2/2-√2/2=0，b(π/3)=1/2-3√3/4<0，最大值为1。10.函数c(x)=ln(x²+1)-x在区间(-1,1)上的最小值为________。参考答案：ln2-1解析：c′(x)=2x/(x²+1)-1=(x²-1)/(x²+1)，令c′(x)=0得x=±1，c(0)=0，c(1)=ln2-1，c(-1)=ln2-1，最小值为ln2-1。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数d(x)=x³-3x+1在区间[-2,2]上的最大值为4。（×）解析：d′(x)=3x²-3，令d′(x)=0得x=±1，d(-2)=-1，d(-1)=3，d(0)=1，d(1)=-1，d(2)=2，最大值2。2.函数e(x)=ln(x+1)-x在区间(0,1)上的值域为(0,1/2)。（×）解析：e′(x)=1/(x+1)-1=-(x/(x+1))，在(0,1)上e′(x)<0，函数单调递减，e(0)=0，e(1)=ln2-1<0，值域为(0,ln2-1)。3.函数f(x)=x³-3x²+2在x=2处的切线方程为y=2x-6。（×）解析：f′(x)=3x²-6x，f′(2)=0，f(2)=-2，切线方程为y=-2(x-2)，即y=-2x+6。4.函数g(x)=e^x-ax在x→+∞时存在水平渐近线，则实数a的取值范围是a≥1。（×）解析：e^x/a→L（有限值），需a>0，又e^x/a→0当且仅当a>1。5.函数h(x)=sin(x)+cos(2x)在区间[0,π/2]上的最小值为-√2/2。（×）解析：h′(x)=cos(x)-2sin(2x)=cos(x)-4sin(x)cos(x)=cos(x)(1-4sin(x))，令h′(x)=0得x=π/2或sin(x)=1/4，h(0)=1，h(π/2)=0，h(π/6)=√3/2+1/2>0，h(π/4)=√2/2-√2/2=0，h(π/3)=1/2-3√3/4<0，最小值为-1。6.函数i(x)=ln(x²+1)-x在区间(-1,1)上的最大值为1。（×）解析：i′(x)=2x/(x²+1)-1=(x²-1)/(x²+1)，令i′(x)=0得x=±1，i(0)=0，i(1)=ln2-1<0，i(-1)=ln2-1<0，最大值为0。7.函数j(x)=x³-3x²+2在x=1处的二阶导数为6。（×）解析：j′(x)=3x²-6x，j′′(x)=6x-6，j′′(1)=0。8.函数k(x)=e^x-ax在x=0处取得极值，则实数a的取值范围是a≠1。（×）解析：k′(x)=e^x-a，由题意k′(0)=1-a=0，解得a=1。9.函数l(x)=sin(x)+cos(2x)在区间[0,π/2]上的最大值为√3/2+1/2。（×）解析：l′(x)=cos(x)-2sin(2x)=cos(x)-4sin(x)cos(x)=cos(x)(1-4sin(x))，令l′(x)=0得x=π/2或sin(x)=1/4，l(0)=1，l(π/2)=0，l(π/6)=√3/2+1/2>0，l(π/4)=√2/2-√2/2=0，l(π/3)=1/2-3√3/4<0，最大值为1。10.函数m(x)=ln(x²+1)-x在区间(-1,1)上的最小值为-1。（×）解析：m′(x)=2x/(x²+1)-1=(x²-1)/(x²+1)，令m′(x)=0得x=±1，m(0)=0，m(1)=ln2-1，m(-1)=ln2-1，最小值为ln2-1。四、简答题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.求函数n(x)=x³-3x²+2在区间[-2,2]上的最大值与最小值。解：n′(x)=3x²-6x，令n′(x)=0得x=0或x=2，n(-2)=-1，n(-1)=3，n(0)=1，n(2)=-2，n(2)=2，最大值2，最小值-4。2.求函数p(x)=ln(x+1)-x在区间(0,1)上的值域。解：p′(x)=1/(x+1)-1=-(x/(x+1))，在(0,1)上p′(x)<0，函数单调递减，p(0)=0，p(1)=ln2-1<0，值域为(0,ln2-1)。3.求函数q(x)=x³-3x²+2在x=1处的切线方程。解：q′(x)=3x²-6x，q′(1)=0，q(1)=-1，切线方程为y=-1。4.求函数r(x)=e^x-ax在x→+∞时存在水平渐近线的条件。解：e^x/a→L（有限值），需a>0，又e^x/a→0当且仅当a>1。五、应用题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）1.已知函数s(x)=x³-3x²+2，求函数在区间[-2,2]上的最大值与最小值。解：s′(x)=3x²-6x，令s′(x)=0得x=0或x=2，s(-2)=-1，s(-1)=3，s(0)=1，s(2)=-2，s(2)=2，最大值2，最小值-4。2.已知函数t(x)=ln(x+1)-x，求函数在区间(0,1)上的值域。解：t′(x)=1/(x+1)-1=-(x/(x+1))，在(0,1)上t′(x)<0，函数单调递减，t(0)=0，t(1)=ln2-1<0，值域为(0,ln2-1)。3.已知函数u(x)=x³-3x²+2，求函数在x=1处的切线方程。解：u′(x)=3x²-6x，u′(1)=0，u(1)=-1，切线方程为y=-1。4.已知函数v(x)=e^x-ax，求函数在x→+∞时存在水平渐近线的条件。解：e^x/a→L（有限值），需a>0，又e^x/a→0当且仅当a>1。【标准答案及解析】一、单选题1.A2.B3.A4.