2025-2026年考研数学一高等数学多元函数微分法与偏导数习题

2025-2026年考研数学一高等数学多元函数微分法与偏导数习题一、单选题（总共10题，每题2分，共20分）1.设函数f(x,y)在点(1,2)处可微，且f(1,2)=3，∇f(1,2)=（2，-1），则当(Δx,Δy)→(0,0)时，下列极限中正确的是（）A.lim_{(x,y)→(1,2)}\frac{f(x,y)-f(1,2)-2Δx+Δy}{\sqrt{(Δx)^2+(Δy)^2}}=1B.lim_{(x,y)→(1,2)}\frac{f(x,y)-f(1,2)+2Δx-Δy}{\sqrt{(Δx)^2+(Δy)^2}}=0C.lim_{(x,y)→(1,2)}\frac{f(x,y)-f(1,2)-2Δx+Δy}{(Δx)^2+(Δy)^2}=1D.lim_{(x,y)→(1,2)}\frac{f(x,y)-f(1,2)+2Δx-Δy}{(Δx)^2+(Δy)^2}=02.函数f(x,y)=x^2+y^2ln(1+\frac{y}{x})在点(1,0)处的全微分Δf=（）A.2dxB.2dyC.2dx+2yln(1+\frac{y}{x})dyD.2dx+2yln(1+\frac{y}{x})dx3.设z=f(x,y)在点(1,1)处具有连续的偏导数，且f(1,1)=1，f_x(1,1)=2，f_y(1,1)=-1，则当(Δx,Δy)→(0,0)时，Δz-f_x(1,1)Δx-f_y(1,1)Δy的极限为（）A.0B.1C.-1D.无法确定4.函数f(x,y)=e^{x^2+y^2}在点(0,0)处的泰勒展开式的前三项为（）A.1+x^2+y^2B.1+\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}C.1+x^2+xyD.1+\frac{x^2}{2}+xy5.设z=f(x,y)在点(0,0)处可微，且f(0,0)=0，若f_x(0,0)=1，f_y(0,0)=2，则lim_{(x,y)→(0,0)}\frac{f(x,y)}{x+2y}=()A.1B.2C.\frac{1}{2}D.06.函数f(x,y)=x^3+y^3-3axy在点(1,1)处的极值类型为（）A.极大值B.极小值C.非极值点D.无法判断7.设z=f(x,y)在区域D上具有二阶连续偏导数，且f_{xx}(x,y)=f_{yy}(x,y)，若在D内f_{xx}(x,y)≠0，则f(x,y)在D内（）A.必有驻点B.必有极值点C.必有条件极值点D.必有拐点8.函数f(x,y)=x^2+y^2在约束条件x+y=1下的最小值为（）A.1B.\frac{1}{2}C.2D.09.设z=f(x,y)在点(1,1)处具有连续的偏导数，且f(1,1)=1，f_x(1,1)=2，f_y(1,1)=-1，则函数z=f(x,y)在点(1,1)处的方向导数在方向向量(1,1)上的值为（）A.1B.\sqrt{2}C.2-\sqrt{2}D.\sqrt{2}-110.设z=f(x,y)在区域D上具有二阶连续偏导数，且f_{xy}(x,y)=0，则函数f(x,y)在D上（）A.必有驻点B.必有极值点C.必有条件极值点D.必有拐点二、填空题（总共10题，每题2分，共20分）1.若函数f(x,y)=x^2+y^2+2axy在点(1,1)处取得极值，则a的值为________。2.函数f(x,y)=ln(x+y)在点(1,1)处的全微分Δf=________。3.设z=f(x,y)在点(1,1)处具有连续的偏导数，且f(1,1)=1，f_x(1,1)=2，f_y(1,1)=-1，则当(Δx,Δy)→(0,0)时，Δz-f_x(1,1)Δx-f_y(1,1)Δy的极限为________。4.函数f(x,y)=e^{x^2+y^2}在点(0,0)处的泰勒展开式的前三项为________。5.设z=f(x,y)在点(0,0)处可微，且f(0,0)=0，若f_x(0,0)=1，f_y(0,0)=2，则lim_{(x,y)→(0,0)}\frac{f(x,y)}{x+2y}=(________)。6.函数f(x,y)=x^3+y^3-3axy在点(1,1)处的极值为________。7.设z=f(x,y)在区域D上具有二阶连续偏导数，且f_{xx}(x,y)=f_{yy}(x,y)，若在D内f_{xx}(x,y)≠0，则f(x,y)在D内________。8.函数f(x,y)=x^2+y^2在约束条件x+y=1下的最小值为________。9.设z=f(x,y)在点(1,1)处具有连续的偏导数，且f(1,1)=1，f_x(1,1)=2，f_y(1,1)=-1，则函数z=f(x,y)在点(1,1)处的方向导数在方向向量(1,1)上的值为________。10.设z=f(x,y)在区域D上具有二阶连续偏导数，且f_{xy}(x,y)=0，则函数f(x,y)在D上________。三、判断题（总共10题，每题2分，共20分）1.若函数f(x,y)在点(0,0)处可微，则f(x,y)在点(0,0)处必连续。2.函数f(x,y)=x^2+y^2在点(0,0)处的方向导数在任意方向上均为0。3.若函数f(x,y)在点(1,1)处取得极值，则f_x(1,1)=0，f_y(1,1)=0。4.函数f(x,y)=e^{x^2+y^2}在点(0,0)处的泰勒展开式的前三项为1+x^2+y^2。5.设z=f(x,y)在点(0,0)处可微，且f(0,0)=0，若f_x(0,0)=1，f_y(0,0)=2，则lim_{(x,y)→(0,0)}\frac{f(x,y)}{x+2y}=1。6.函数f(x,y)=x^3+y^3-3axy在点(1,1)处取得极小值。7.设z=f(x,y)在区域D上具有二阶连续偏导数，且f_{xx}(x,y)=f_{yy}(x,y)，若在D内f_{xx}(x,y)≠0，则f(x,y)在D内必有极值点。8.函数f(x,y)=x^2+y^2在约束条件x+y=1下的最小值为1。9.设z=f(x,y)在点(1,1)处具有连续的偏导数，且f(1,1)=1，f_x(1,1)=2，f_y(1,1)=-1，则函数z=f(x,y)在点(1,1)处的方向导数在方向向量(1,1)上的值为\sqrt{2}。10.设z=f(x,y)在区域D上具有二阶连续偏导数，且f_{xy}(x,y)=0，则函数f(x,y)在D上必有拐点。四、简答题（总共4题，每题4分，共16分）1.证明函数f(x,y)=x^2+y^2在点(0,0)处可微。2.求函数f(x,y)=x^3+y^3-3axy的驻点，并判断其极值类型。3.设z=f(x,y)在区域D上具有二阶连续偏导数，且f_{xx}(x,y)=f_{yy}(x,y)，若在D内f_{xx}(x,y)≠0，证明f(x,y)在D内必有极值点。4.解释方向导数的概念，并说明如何计算函数在某一点沿某一方向的方向导数。五、应用题（总共4题，每题6分，共24分）1.求函数f(x,y)=x^2+y^2在约束条件x+y=1下的最小值。2.求函数f(x,y)=x^3+y^3-3axy在点(1,1)处的泰勒展开式的前三项。3.设z=f(x,y)在区域D上具有二阶连续偏导数，且f_{xx}(x,y)=f_{yy}(x,y)，若在D内f_{xx}(x,y)≠0，证明f(x,y)在D内必有极值点。4.求函数f(x,y)=x^2+y^2在点(0,0)处沿方向向量(1,1)的方向导数。【标准答案及解析】一、单选题1.B解析：由可微的定义，f(x,y)=f(1,2)+f_x(1,2)(x-1)+f_y(1,2)(y-2)+o(\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2})，代入f(1,2)=3，f_x(1,2)=2，f_y(1,2)=-1，得f(x,y)=3+2(x-1)-(y-2)+o(\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2})，即f(x,y)-f(1,2)+2Δx-Δy=2Δx-Δy+o(\sqrt{(Δx)^2+(Δy)^2})，故lim_{(x,y)→(1,2)}\frac{f(x,y)-f(1,2)+2Δx-Δy}{\sqrt{(Δx)^2+(Δy)^2}}=0。2.D解析：f_x(x,y)=2x+\frac{y^2}{x+1}，f_y(x,y)=2yln(1+\frac{y}{x})+\frac{y}{x+1}，代入(1,0)得f_x(1,0)=2，f_y(1,0)=0，故Δf=2dx。3.A解析：Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(1,1)，由可微的定义，Δz=f_x(1,1)Δx+f_y(1,1)Δy+o(Δx)+o(Δy)，即Δz-2Δx+Δy=0，故极限为0。4.A解析：f_x(x,y)=2xe^{x^2+y^2}，f_y(x,y)=2ye^{x^2+y^2}，f_{xx}(x,y)=4x^2e^{x^2+y^2}+2e^{x^2+y^2}，f_{yy}(x,y)=4y^2e^{x^2+y^2}+2e^{x^2+y^2}，f_{xy}(x,y)=4xye^{x^2+y^2}，在(0,0)处，f(0,0)=1，f_x(0,0)=0，f_y(0,0)=0，f_{xx}(0,0)=2，f_{yy}(0,0)=2，f_{xy}(0,0)=0，故泰勒展开式的前三项为1+x^2+y^2。5.A解析：由可微的定义，f(x,y)=f(0,0)+f_x(0,0)x+f_y(0,0)y+o(\sqrt{x^2+y^2})，代入f(0,0)=0，f_x(0,0)=1，f_y(0,0)=2，得f(x,y)=x+2y+o(\sqrt{x^2+y^2})，故lim_{(x,y)→(0,0)}\frac{f(x,y)}{x+2y}=1。6.B解析：f_x(x,y)=3x^2-3ay，f_y(x,y)=3y^2-3ax，令f_x(x,y)=0，f_y(x,y)=0，得x=0或y=0，代入f(x,y)得f(1,1)=-1，f(0,1)=1，f(1,0)=1，故(1,1)为极小值点。7.A解析：由二阶偏导数连续的条件，f(x,y)在D内必可微，由极值点的必要条件，f_x(x,y)=0，f_y(x,y)=0，故必有驻点。8.B解析：用拉格朗日乘数法，令L(x,y,λ)=x^2+y^2+λ(x+y-1)，则L_x=2x+λ=0，L_y=2y+λ=0，L_λ=x+y-1=0，解得x=y=\frac{1}{2}，故最小值为\frac{1}{2}。9.C解析：方向导数为\frac{∂f}{∂l}=\frac{∂f}{∂x}cosθ+\frac{∂f}{∂y}sinθ，代入f_x(1,1)=2，f_y(1,1)=-1，θ=45°，得\frac{∂f}{∂l}=2×\frac{\sqrt{2}}{2}-1×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}，故方向导数为2-\sqrt{2}。10.A解析：由f_{xy}(x,y)=0，得f_x(x,y)为x的函数，设f_x(x,y)=g(x)，则f_y(x,y)=g(x)的偏导数，即f_{yy}(x,y)=g'(x)，由f_{xx}(x,y)=g''(x)，若g''(x)≠0，则f(x,y)在D内必有驻点。二、填空题1.-1解析：f_x(x,y)=2x+2ay，f_y(x,y)=2y+2ax，令f_x(1,1)=0，f_y(1,1)=0，得2+2a=0，2+2a=0，故a=-1。2.dx+dy解析：f_x(x,y)=\frac{1}{x+y}，f_y(x,y)=\frac{1}{x+y}，故Δf=\frac{1}{x+y}dx+\frac{1}{x+y}dy。3.0解析：同单选题3的解析。4.1+x^2+y^2解析：同单选题4的解析。5.1解析：同单选题5的解析。6.-1解析：同单选题6的解析。7.必有驻点解析：同单选题7的解析。8.\frac{1}{2}解析：同单选题8的解析。9.2-\sqrt{2}解析：同单选题9的解析。10.必有驻点解析：同单选题10的解析。三、判断题1.√解析：由可微的定义，f(x,y)在点(0,0)处必连续。2.×解析：在点(0,0)处，f_x(0,0)=0，f_y(0,0)=0，但沿其他方向的方向导数不为0。3.×解析：驻点不一定是极值点，如f(x,y)=x^3+y^3在(0,0)处取得极值，但f_x(0,0)=0，f_y(0,0)=0。4.×解析：泰勒展开式的前三项为1+x^2+y^2。5.√解析：同单选题5的解析。6.√解析：同单选题6的解析。7.√解析：同单选题7的解析。8.×解析：最小值为\frac{1}{2}。9.×解析：方向导数为2-\sqrt{2}。10.×解析：f_{xy}(x,y)=0，但f(x,y)不一定有拐点。四、简答题1.证明：由可微的定义，f(x,y)=f(0,0)+f_x(0,0)x+f_y(0,0)y+o(\sqrt{x^2+y^2})，代入f(0,0)=0，f_x(0,0)=0，f_y(0,0)=0，得f(x,y)=o(\sqrt{x^2+y^2})，故f(x,y)在点(0,0)处可微。2.解：f_x(x,y)=3x^2-3ay，f_y(x,y)=3y^2-3ax，令f_x(x,y)=0，f_y(x,y)=0，得x=0或y=0，代入f(x,y)得f(1,1)=-1，f(0,1)=1，f(1,0)=1，故驻点为(0,0)，(1,1)，(1,1)为极小值点。3.证明：由f_{xx}(x,y)=f_{yy}(x,y)，得f_{xy}(x,y)=0，设f_x(x,y)=g(x)，则f_y