15.1.2 线段的垂直平分线（第1课时）

9/12第十五章轴对称15.1图形的轴对称15.1.2线段的垂直平分线第1课时一、教学目标【知识与技能】1.理解线段垂直平分线的性质和判定．2.能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理及进行应用.3.了解互逆命题、互逆定理的概念.【过程与方法】经历探索、猜测、证明的过程,进一步发展学生的推理证明意识和能力.【情感、态度与价值观】在数学活动中体会获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立学习的自信心.二、课型新授课三、课时第1课时，共2课时。四、教学重难点【教学重点】 线段的垂直平分线性质定理和判定定理证明及其应用；了解互逆命题、互逆定理的概念.【教学难点】 线段的垂直平分线判定定理的证明；会写一个命题的逆命题并判断是否成立.五、课前准备 教师：课件、三角尺、直尺等。学生：三角尺、直尺。六、教学过程（一）导入新课1.甲乙两位同学在玩一个游戏,甲在点A处,乙在点B处,把宝物放在什么地方对两人是公平的,除线段AB的中点外还有别的地方吗?（出示课件2）2.在某路段的同侧，有两个工厂A，B，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂到医院的距离相等，问医院的院址应选在何处？（出示课件3）（二）探索新知1.探究线段垂直平分线的性质定理教师问1：如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3……是l上的点，请猜想点P1，P2，P3……到点A与点B的距离之间的数量关系.（出示课件5）先让学生量一下并猜想P1A与P1B的数量关系，再量一下并猜想P2A与P2B及P3A与P3B的数量关系后回答：P1A=P1A，P2A=P2B，P3A=P3B.教师问2：猜想线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离有何数量关系？学生回答：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.教师问3：我们如何证明猜想是否正确呢？师生共同讨论如下：（出示课件6）已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC＝CB，点P在l上.求证：PA＝PB.师生共同解答如下：（出示课件7）证明：当点P与点C不重合时，∵l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB．又AC=CB，PC=PC，∴△PCA≌△PCB（SAS）．∴PA=PB．证明完成后，老师用多媒体展示线段垂直平分线的性质应用时的符号语言(即解题时的书写步骤)：∵CA=CB，l⊥AB，∴PA=PB，并强调学生注意.教师总结如下：（出示课件8）线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．出示课件9，教师引导学生，利用线段垂直平分线的性质解题.出示课件10，由学生讨论，并解答，教师给出答案。探究线段垂直平分线的判定定理教师问4：把线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还成立吗？即如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？（出示课件11）学生讨论后回答：成立.点P在线段AB的垂直平分线上.教师问5：如何证明我们的猜想是否正确呢？师生共同讨论后总结如下：已知：如图，PA＝PB.求证：P点在线段AB的垂直平分线上.师生共同解答如下：（出示课件12）证明：过点P作线段AB的垂线PC，垂足为C．则∠PCA=∠PCB=90°．在Rt△PCA和Rt△PCB中，∵PA=PB，PC=PC，∴Rt△PCA≌Rt△PCB（HL）．∴AC=BC．又PC⊥AB，∴点P在线段AB的垂直平分线上．教师总结点拨：（出示课件13）用数学符号表示为：∵PA=PB，∴点P在AB的垂直平分线上．文字语言：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．教师问6：你能再找一些到线段AB两端点的距离相等的点吗？能找到多少个到线段AB两端点距离相等的点？（出示课件14）学生讨论后回答：到线段AB两端点的距离相等的点有无数个.教师问7：这些点能组成什么几何图形？学生回答：这些点组成一条直线.教师总结点拨：在线段AB的垂直平分线l上的点与A，B的距离都相等；反过来，与A，B的距离相等的点都在直线l上，所以直线l可以看成与两点A，B的距离相等的所有点的集合．例：如图，已知：在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点，且OB＝OC，求证：AO⊥BC.(出示课件15）师生共同解答如下：证明：∵OB＝OC，∴点O在BC的垂直平分线上.又AB＝AC，∴点A在BC的垂直平分线上，即A，O均在BC的垂直平分线上，∴AO⊥BC.出示课件16-17，由学生讨论，并解答，教师给出答案。3.探究互逆命题与互逆定理的概念教师问8：分析上面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系？（出示课件18）学生回答.教师总结：这两个命题的题设、结论正好相反，我们把具有这种关系的两种命题叫作互逆命题.如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题.教师问9：你还学习过其他具有类似关系的命题吗？请举例.师生活动：给学生一定的思考交流时间，鼓励学生会议以前学习的知识，列举复核类似关系的命题，并进行广泛交流，进一步体会互逆命题的特点.教师讲解：（出示课件19）如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理.出示课件20，由学生讨论，并解答，教师给出答案并总结。（三）课堂练习（出示课件23-28）1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于点D，若△DBC的周长为35cm，则BC的长为()A．5cmB．10cmC．15cmD．17.5cm2.如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定3．下列命题:①若a>b+1，则a>b;②若ab=0，则a=0或b=0;③若a=b，则|a|=|b|;④若a>b,则a2>b2.其逆命题是真命题的有()A.1个B.2个C.3个D.4个4.如图，CD是AB的垂直平分线，若AC＝1.6cm，BD＝2.3cm，则四边形ACBD的周长为cm.5.如图，在△ABC中，D为BC上一点，且BC＝BD＋AD，则点D在线段__________的垂直平分线上．6.如图，点A，B，C表示某公司三个车间的位置，现要建一个仓库，要求它到三个车间的距离相等，则仓库应建在什么位置？7.如图，已知E为∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C，D.求证：OE垂直平分CD.8.如图，已知AB比AC长2cm，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，△ACD的周长是14cm，求AB和AC的长．参考答案：1.C2.C3.A4.7.85.AC解析：∵BC=BD+AD，又∵BC=BD+DC，∴AD=DC.∴点D在线段AC的垂直平分线上.6.答：△ABC三边垂直平分线的交点上.7.证明：∵点E在∠AOB的平分线上，ED⊥OB于点D，EC⊥OA于点C，∴ED＝EC.在Rt△EDO和Rt△ECO中，ED＝EC，OE＝OE，∴Rt△EDO≌Rt△ECO.（HL）∴OD＝OC.∴O，E都在CD的垂直平分线上.∴OE垂直平分CD.8.解：∵DE垂直平分BC，∴DB＝DC.∵AC＋AD＋DC＝14cm，∴AC＋AD＋BD＝14cm.即AC＋AB＝14cm.设AB＝xcm，AC＝ycm.根据题意，得解得∴AB长为8cm，AC长为6cm.（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:1.线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.用符号语言表示为：∵PC垂直平分AB(CA＝CB，l⊥AB)，∴PA＝PB.2.线段垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.用符号语言表示为：∵PA＝PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上.3.互逆命题的概念：题设、结论相反的两个命题叫作互逆命题.（五）课前预习预习下节课（15.1.2）教材67页到68页的相关内容。了解垂直平分线的作法，知道如何作出轴对称图形的对称轴和轴对称的对称轴.七、课后作业1、教材69-71页习题15.1第4，5，6，8，13题.2、如图,兔子的三个洞口A,B,C构成△ABC,猎狗想捕捉兔子,必须到三个洞口的距离都相等,则猎狗应蹲守在()A.三条边的垂直平分线的交点B.三个角的角平分线的交点C.三角形三条高的交点D.三角形三条中线的交点八、板书设计：九、教学反思：这节课在设计过程中有几个特色：1.每个探究活动都能至少针对一个教学目标，各探究衔接自然，前后呼应.2.活动中用多媒体展示解答过程，既有利于提高学生解题的严密性，又能充分利用多媒体资源.3.本节是线段的垂直平分线的教学,在教学中要善于引导学生从问题出发,根据观察、实验的结果,先得出猜想的性质以及判定,然后再进行证明,要求学生掌握证明的基本要求和方法,注意数学思想方法的强化和渗透,从集合的观点理解线段的垂直平分线.综合训练一、选择题1.下列说法正确的是()A.如果两个三角形全等,那么它们必是关于某条直线成轴对称B.如果两个三角形关于某条直线成轴对称,那么它们是全等三角形C.等腰三角形是关于腰上的中线成轴对称的图形D.一条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形2.下列“慢行通过,注意危险,禁止行人通行,禁止非机动车通行”四个交通标志图(黑白阴影图片)为轴对称图形的是()3.如图,把等腰直角三角形ABC沿BD折叠,使点A落在边BC上的点E处.下面结论错误的是()A.AB=BE B.AD=DCC.AD=DE D.AD=EC4.如图,△AOD与△BOC关于直线l成轴对称,则下列说法不正确的是()A.∠1=∠2B.∠3=∠4C.l垂直平分AB,CDD.AC,BD互相平分5.在平面直角坐标系中,若点P关于x轴的对称点在第二象限,且到x轴的距离为2,到y轴的距离为3,则点P的坐标为()A.(-3,-2) B.(-2,-3) C.(2,3) D.(3,2)6.如图,△ABC是等边三角形,AD是角平分线,△ADE是等边三角形,AB与ED相交于点F,有下列结论:①AD⊥BC;②EF=FD;③BE=BD.其中正确的有()A.0个 B.1个 C.2个 D.3个7.在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,∠B=30°,AD=2cm,则AB的长是()A.2cm B.4cm C.8cm D.16cm8.如图,在平面直角坐标系中,△ABC位于第二象限,点A的坐标是(-2,3),先把△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1,再作△A1B1C1关于x轴对称的△A2B2C2,则点A的对应点A2的坐标是()A.(-3,2) B.(2,-3) C.(1,-2) D.(-1,2)二、填空题9.若等腰三角形有一个角是50°,则另两个角分别是.

10.如图,由镜子中的号码得出实际号码是.

11.如图,在△ABC中,DE垂直平分AC交AB于点E,∠A=30°,∠ACB=80°,则∠BCE的度数是.

12.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的高,点E,F是AD的三等分点.若△ABC的面积为12cm2,则图中阴影部分的面积是cm2.

三、解答题13.由边长为1的小正方形组成的方格图如图所示,AB=5.(1)请在方格图中建立平面直角坐标系,使点A的坐标为(3,3),点B的坐标为(-1,0);(2)在x轴上画点C,使△ABC是以AB为腰的等腰三角形,并写出所有满足条件的点C的坐标.(不写作法,保留作图痕迹)14.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D是BC延长线上的一点,E是AB上的一点,且在BD的垂直平分线EG上,DE交AC于点F,求证:点E在AF的垂直平分线上.15.如图,△ABC和△BDE均为等边三角形,点E在线段AD上,求证:BD+CD=AD.16.如图,在四边形纸片ABCD中,AD∥BC,AD=2,BC=6,∠B=60°,将纸片沿AE折叠,点B恰好与点D重合,求CE的长.综合训练一、选择题1.B全等的三角形不一定成轴对称,而成轴对称的两个三角形一定是全等的.2.B3.B4.D因为成轴对称的两个图形全等,对应点的连线被对称轴垂直平分,所以选项A,B,C是正确的.5.A因为点P关于x轴的对称点在第二象限,所以点P在第三象限,由点P到x轴的距离为2,到y轴的距离为3,得P(-3,-2).6.D7.C8.B如图,点A的对应点A2的坐标是(2,-3).故选B.二、填空题9.50°,80°或65°,65°①当50°的角为顶角时,底角为(180°-50°)÷2=65°;②当50°的角为底角时,另一个底角是50°,顶角为180°-2×50°=80°.10.326511.50°12.6三、解答题13.解(1)所作图形如图所示.(2)以AB为腰的等腰三角形有△ABC1,△ABC2,△ABC3,其中点C的坐标分别为C1(-6,0),C2(4,0),C3(7,0).14.证明如图,∵点E在BD的垂直平分线EG上,∴EB=ED,∴∠1=∠B.又∠ACB=90°,∴∠1+∠3=90°,∠B+∠2=90°,∴∠3=∠2.又∠3=∠4,∴∠2=∠4,∴E