18.4 整数指数幂（第1课时）

1/11第十八章分式18.4整数指数幂第1课时一、教学目标【知识与技能】1.经历探索负整数指数幂和0指数幂的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展代数推理能力和有条理的表达能力.2.理解负整数指数幂的意义,熟练运用整数指数幂运算性质进行运算.【过程与方法】1.知道负整数指数幂a－n＝eq\f(1,an)(a≠0，n是正整数)，了解幂运算的法则可以推广到整数指数幂，掌握整数指数幂的运算性质，会进行简单的整数范围内的幂运算.2.通过观察、推理、总结得出负整数指数幂的意义,体验利用负整数指数幂进行乘除法的转化.【情感、态度与价值观】1.通过独立思考、同伴交流、自主发现问题解决问题,提高学生的学习兴趣和学习主动性.2.在数学公式中渗透公式的简洁美、和谐美，随着学习的知识范围的扩展，产生对新知识的渴望与追求的积极情感，形成辩证统一的哲学观和世界观.二、课型新授课三、课时第1课时，共2课时。四、教学重难点【教学重点】 掌握整数指数幂的运算性质，尤其是负整数指数幂的概念.【教学难点】 认识负整数指数幂的产生过程及幂运算法则的扩展过程.五、课前准备 教师：课件、直尺、幂结构图等。学生：直尺、练习本、铅笔、圆珠笔或钢笔。六、教学过程（一）导入新课随着我们认识的数的范围不断扩大，数的运算也在不断推广.例如，加法运算从非负整数范围推广到非负有理数范围，再到有理数范围.同样地，对于幂的运算，是否也可以从正整数指数幂推广到更大的范围呢？（出示课件2）（二）探索新知1.创设情境，探究整数指数幂教师：下面，我们先来看一下幂的符号的演变历史.（出示课件4）幂的符号的演变经历了漫长的时间，a2，a3，a4的一些表示如图所示.an这种幂的符号不仅简明、利于运算，而且有助于幂的运算的推广.1676年，牛顿提出了一个设想：“因为数学家将aa，aaa，aaaa，...写成a2，a3，a4，…，所以我将写成a-1，a-2，a-3，….”教师问1：你认为牛顿的这个设想合理吗？也就是说，如果am中的m可以是负整数，那么负整数指数幂am表示什么？（出示课件5）

学生讨论后回答：|m|个1a教师问2：那么我们看下面的问题：根据分式的约分，当a≠0时，如何计算a3÷a5=？学生回答：a3÷a5=a3a3∙教师问3：如果把正整数指数幂的运算性质(a≠0，m，n是正整数，m>n)中的条件m>n去掉，即假设这个性质对于像a3÷a5的情形也能使用，如何计算？学生回答：a3÷a5=a3-5=a-2(2)教师问4：有上边的问题的计算结果，我们可以得到什么？学生回答：a-2=1a2教师问5：在a-2=1a2中，有什么限制条件吗？为什么呢？学生讨论后回答：a≠0，因为分母不能为0.总结点拨：（出示课件6）由(1)(2)想到，若规定a-2=1a2(a≠0)，就能使am÷an=am-n这条性质也适用于像a3÷a5的情形，因此：数学中规定：当n是正整数时，

这就是说，a-n(a≠0)是an的倒数．教师问6：想一想：在引入负整数指数和0指数后，am·an＝am＋n(m，n是正整数)这条性质能否扩大到m，n是整数的情形？（出示课件8）学生猜想回答：应该可以.教师问7：请完成下面的题目：填一填：(1)a3·a－5＝a3·eq\f(1,（）)＝eq\f(1,（）)＝a()＝a()＋()，即a3·a－5＝a()＋()；(2)a－3·a－5＝eq\f(1,（）)·eq\f(1,（）)＝eq\f(1,（）)＝()＝a()＋()，即a－3·a－5＝a()＋()；(3)a0·a－5＝()·eq\f(1,（）)＝1()=()＝a()＋()，即a0·a－5＝a()＋().学生回答：（1）a5;a2;-2;3+(-5);3+(-5)（2）a3;a5;a8;a-8;(-3)+(-5);(-3)+(-5)（3）1;a5;a5;a-5;0+(-5);0+(-5)完成填空后，思考下列问题：教师问8：从以上填空中你想到了什么？学生回答：am·an＝am＋n这条性质对m，n是任意整数的情形都适用.教师问9：再换其他整数指数验证这个规律.类似地，你可以用负整数指数幂或0指数幂对于其他正整数指数幂的运算性质进行试验，看看这些性质在整数范围内是否还适用？（出示课件9）例如：例如：(a-2)-5=a(-2)×(-5)=a10，(ab)-7=a-7b-7，a-2÷a-5=a-2-(-5)=a3，(ab)-2=教师讲解：形成定论：am·an＝am＋n这条性质对m，n是任意整数的情形都适用.总结点拨：（出示课件10）(1)(m，n是整数)；

(2)(m，n是整数)；

(3)(n是整数)；

(4)(m，n是整数)；

(5)(n是整数)．

教师问10：试说说当m分别是正整数、0、负整数时，am各表示什么意义？（出示课件11）

师生共同解答如下：当m是正整数时，am表示m个a相乘.当m是0时，a0表示一个数的n次方除以这个数的n次方，所以特别规定，任何除0以外的实数的0次方都是1.当m是负整数时，am表示|m|个相乘.

例：计算：（出示课件12-13）师生共同解答如下：解：2.创设情境，探究整数指数幂的性质教师问11：能否将整数指数幂的5条性质进行适当合并？（出示课件15）师生共同解答如下：根据整数指数幂的运算性质，当m，n为整数时，，，因此，，即同底数幂的除法可以转化为同底数幂的乘法特别地，

所以，即商的乘方可以转化为积的乘方总结点拨：（出示课件16）这样，整数指数幂的运算性质可以归结为：(1)(m，n是整数)；

(2)(m，n是整数)；

(3)(n是整数)．

例：下列等式是否正确？为什么？（出示课件17）

(1)am÷an=am·a-n；(2)师生共同解答如下：解：(1)∵am÷an=am-n=am+(-n)=am·a-n，

∴am÷an=am·a-n.故等式正确.

(2)故等式正确.（三）课堂练习（出示课件20-23）1.下列计算正确的是()A.30=0B.-|-3|=-3C.3-1=-3D.9

2.下列计算不正确的是()

A.B.C.D.3.若0<x<1，则x-1，x，x2的大小关系是()A.x-1<x<x2B.x<x2<x-1C.x2<x<x-1D.x2<x-1<x4.计算:

5.若，试求的值.

参考答案：1.B2.B3.C4.5.解：∵a+a-1=3（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:1.幂的两个规定：a0＝1(a≠0);数学中规定：当n是正整数时，

这就是说，a-n(a≠0)是an的倒数．2.幂的三类运算性质：这样，整数指数幂的运算性质可以归结为：(1)(m，n是整数)；

(2)(m，n是整数)；

(3)(n是整数)．

（五）课前预习预习下节课（18.4第2课时）161页的相关内容。了解较小数的科学记数法的表示方法.七、课后作业1、教材161页练习1,22、计算：(1)＋×3.140－(－3)3×0.3－1＋(－0.1)－2；(2)(3m－1n2)－2(m2n－3)－3.八、板书设计：九、教学反思：1.本节内容从追溯幂的符号的演变开始，通过牛顿的设想展开探索,从约分和同底数幂的除法两个角度“殊途同归”说明了定义负整数指数幂的合理性,引出负指数,进而探究幂的运算五条法则同样适用于负指数,使指数得到扩充.2.本设计通过将幂指数扩展到全体整数的探索，培养学生抽象的数学思维能力；合理运用公式进行有关计算，培养学生的计算能力以及综合分析问题的能力.其特点主要体现在：(1)以探索为主线；(2)立足已有知识与经验.综合训练一、选择题1.在-3x2,4x-y,x+yA.1个 B.2个C.3个 D.4个2.若分式2aba+b中的a,A.是原来的20倍 B.是原来的10倍C.是原来的110 D.3.计算-22+(-2)2--12-1A.2 B.-2 C.6 D.104.能使分式x2-xx2A.x=0 B.x=1C.x=0或x=1 D.x=0或x=±15.化简:xx-yA.1 B.xC.x-yx+y D6.如果a-b=23,那么式子a2+bA.3 B.23 C.33 D.437.若关于x的分式方程2x-mx+1=A.m>3 B.m<3C.m>-3 D.m<-38.某公司为员工购买甲、乙两种型号的水杯,用700元购买甲种水杯的数量和用500元购买乙种水杯的数量相同,已知甲种水杯的单价比乙种水杯的单价多10元.设甲种水杯的单价为x元,则列出方程正确的是()A.700x=500xC.700x-10=500x二、填空题9.人体中红细胞的直径约为0.0000077m,将数0.0000077用科学记数法表示为.

10.如果实数x满足x2+2x-3=0,那么x2x+1+211.若关于x的方程x-1x-5=12.甲、乙工程队分别承接了160m,200m的管道铺设任务,已知乙工程队比甲工程队每天多铺设5m,甲、乙工程队完成铺设任务的时间相同,问甲工程队每天铺设多少米?设甲工程队每天铺设xm,根据题意可列出方程.

三、解答题13.化简:(1)x2-y2(2)1x14.先化简xx-5-x515.解分式方程:(1)2x(2)xx-216.某五金商店准备从某机械厂购进甲、乙两种零件进行销售.若每个甲种零件的进价比每个乙种零件的进价少2元,且用80元购进甲种零件的数量与用100元购进乙种零件的数量相同.(1)求每个甲种零件、每个乙种零件的进价分别为多少元?(2)若该五金商店本次购进甲种零件的数量比购进乙种零件的数量的3倍还少5个,购进两种零件的总数量不超过95个,该五金商店每个甲种零件的销售价格为12元,每个乙种零件的销售价格为15元,则将本次购进的甲、乙两种零件全部售出后,可使销售两种零件的总利润(利润=售价-进价)超过371元,通过计算求出该五金商店本次从该机械厂购进甲、乙两种零件有几种方案?请你设计出来.综合训练一、选择题1.B-3x2,x+y,x2+1π,2.B原分式中的a,b的值同时扩大到原来的10倍,得2×3.A4.A5.B原式=x2+xy-6.A原式=a2当a-b=23时,a-7.D已知分式方程去分母,得2x-m=3x+3,解得x=-m-3.因为已知方程的解为正数,所以-m-3>0,且-m-3≠-1,解得m<-3.8.B甲种水杯的单价为x元,则乙种水杯的单价为(x-10)元,由题意可得700x=500x二、填空题9.7.7×10-6小数点向右移动6位得到7.7,故0.0000077=7.7×10-6.10.5x2x+1+2÷1x+1=x2x+1+2(x+由x2+2x-3=0,得x2+2x=3.∴原式=3+2=5.11.-8去分母,得2(x-1)=-m.将x=5代入2(x-1)=-m,解得m=-8.12.160x=200x+5甲工程队每天铺设xm,则乙工程队每天铺设(三、解答题13.解(1)原式=(x+y)(x-y)x+y-(2)原式=1x(x-2)-1(14.解原式=2xx-解不等式组,得-5≤x<6.选取的数字不为5,-5,0即可(答案不唯一).如选x=1,则原式=6.15.解(1)去分母,得4x=x-3,解得x=-1.经检验,x=-1是原分式方程的解.(2)去分母,得x(x+2)+6(x-2)=(x-2)(x+2),解得x=1.检验:当x=1时