第1课时　几何图形问题

5.3实际问题与一元二次方程第1课时几何图形问题教师备课素材示例●情景导入提起代数，人们自然就和方程联系起来，事实上，过去代数的中心问题就是对方程的研究．我国古代对代数的研究，特别是对方程解法的研究，取得了重要成果．我国古代数学家研究过二次方程的解法，当时的解法虽然与现代的解法不同，但已与现代的解法相似.下面是我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积(矩形面积)八百六十四步(平方步)．只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少一十二步)，问阔及长各几步”．答：“阔二十四步，长三十六步”．用已学过的知识解决这个问题．解：设阔(宽)为x步，则长为(x＋12)步．根据题意，得x(x＋12)＝864.解得x1＝24，x2＝－36(舍去)．【教学与建议】教学：在古代文献中有很多的方程应用型问题，题的内容来自生活，新颖有趣，有很高的数学价值和欣赏价值，通过本问题的引入，激起学生的学习兴趣．建议：引导学生积极思考问题，建立方程的思想．●置疑导入如图，小明把一张边长为20cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折成一个无盖的长方体盒子．(1)如果要求长方体的底面面积为256cm2，那么剪去正方形的边长为多少？(2)如果按下表列出的长方体底面面积的数据要求，那么剪去的正方形的边长会发生什么样的变化？折成的长方体的体积又会发生什么样的变化？长方体的底面积2561961441006436164正方形的边长23456789长方体的体积51258857650038425212836【教学与建议】教学：通过生活中的实际问题的导入，让学生感觉到数学与生活的联系，激起学生的学习兴趣．建议：让学生体会数学来源于生活，又应用于生活．命题角度1列一元二次方程解决等积变形问题在列一元二次方程解决等积变形问题时，有三个等量关系：①图形周长改变，面积没变；②容器形状改变，但容积没变；③原料体积＝成品体积．【例1】小明用30cm的铁丝围成一斜边等于13cm的直角三角形，设该直角三角形一直角边长xcm.根据题意列方程为__x2＋(30－13－x)2＝132__．命题角度2列一元二次方程解决与几何图形面积相关的问题构建方程解决几何问题的关键是找到相等的数量关系．【例2】用一条长50cm的绳子围成一个面积为200cm2的矩形．设矩形的长为xcm，则可列方程为(B)A．x(25＋x)＝200B．x(25－x)＝200C．x(50＋x)＝200D．x(50－x)＝200命题角度3列一元二次方程解决存在性问题列一元二次方程解决存在性问题的一般步骤：先假设结论存在或成立，然后根据题意列出方程．根据方程根的情况，证明假设是否成立．【例3】如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个2m宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33m.(1)若墙长为18m，要围成鸡场的面积为150m2，则鸡场的长和宽各为多少米？(2)围成鸡场的面积可能达到200m2吗？解：(1)设鸡场靠墙一边的长为xm．根据题意，得x(33－2x＋2)＝150.解得x1＝10，x2＝eq\f(15,2).当x＝10时，33－2x＋2＝15＜18，符合题意．当x＝eq\f(15,2)时，33－2x＋2＝20＞18(不合题意，舍去).答：鸡场的长为15m，宽为10m；(2)假设能达到200m2.设垂直于墙的一边长为ym．根据题意，得y(33－2y＋2)＝200.整理，得2y2－35y＋200＝0.∵Δ＝(－35)2－4×2×200＝－375＜0，∴此方程无解．∴围成鸡场的面积不可能达到200m2.命题角度4列一元二次方程解决运动型问题运动型问题一般根据“路程＝速度×时间”求出图形中相应边的长度，再列方程解决问题．【例4】如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝30cm，AC＝40cm，点P从点C开始沿CA边以4cm/s的速度向点A移动，同时，另一点Q从点C开始沿CB边以3cm/s的速度向点B移动，几秒钟后，△PCQ的面积等于△ABC面积的eq\f(1,4)？解：设xs后，△PCQ的面积等于△ABC面积的eq\f(1,4)，则CP＝4xcm，CQ＝3xcm.根据题意，得eq\f(1,2)×3x×4x＝eq\f(1,2)×30×40×eq\f(1,4).解得x1＝5，x2＝－5(不符合题意，舍去).答：5s后，△PCQ的面积等于△ABC面积的eq\f(1,4).高效课堂教学设计1．掌握用面积法建立一元二次方程的数学模型的方法，并运用它解决实际问题．2．进一步掌握通过探究等量关系，列出一元二次方程解决实际问题的能力．▲重点列一元二次方程解决几何图形的面积问题．▲难点将不规则图形分割或组合成规则图形，动点问题．◆活动1新课导入1．提出问题：(1)直角三角形的面积公式是什么？一般三角形的面积公式又是什么？(2)正方形的面积公式是什么？长方形的面积公式又是什么？(3)梯形的面积公式是什么？(4)菱形的面积公式是什么？(5)平行四边形的面积公式是什么？(6)圆的面积公式是什么？2．如图，(1)一块长方形铁皮的长是10cm，宽是8cm，四角各截去一个边长为2cm的小正方形，制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是__24_cm2__，高是__2_cm__，体积是__48_cm3__．(2)一块长方形铁皮的长是10cm，宽是8cm，四角各截去一个边长为xcm的小正方形，制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是__(10－2x)(8－2x)cm2__，高是__x_cm__，体积是__x(10－2x)(8－2x)cm3__．◆活动2探究新知教材P21思考．学生完成并交流展示．◆活动3知识归纳1．直接利用面积公式列一元二次方程解决问题时，要熟记各种常见几何图形的面积公式．2．对于不规则图形的面积或周长问题，一般通过平移、割补等方法转化为规则图形，然后列方程求解，和周长有关的问题中，平移或割补之后注意边是否存在重复或遗漏．◆活动4例题与练习例1有一根10m长的铁丝，怎样用它围成一个面积为6m2的矩形？请求出这个矩形的长和宽．(用一元二次方程的知识解决)解：设围成的矩形的长为xm，则宽为(5－x)m.根据题意，得x(5－x)＝6.解得x1＝2，x2＝3.此时5－x＝3或5－x＝2.答：这个矩形的长为3m，宽为2m．例2如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从A出发，沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发，沿CB边向点B以2cm/s的速度移动．如果P，Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8cm2?解：设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2，则AP＝xcm，PC＝(6－x)cm，CQ＝2xcm.根据题意，得eq\f(1,2)×(6－x)×2x＝8.整理，得x2－6x＋8＝0，解这个方程，得x1＝2，x2＝4.所以P，Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2.练习1．教材P24习题25.3第6，7，8题．2．在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是(B)A．x2＋130x－1400＝0B．x2＋65x－350＝0C．x2－130x－1400＝0D．x2－65x－350＝0◆活动5课堂小结1．利用已学的特殊图形的面积(或体积)公式建立一元二次方程的数学模型，并运用它解决实际问题的关键是弄清题目中的数量关系．2．根据面积与面积(或体积)之间的等量关系建立一元二次方程，并能正确解方程，最后对所得结果是否合理要进行检验．1．作业布置(1)教材P28复习题25第9题；(2)对应课时练习．2．教学反思综合训练一、选择题1.如果x=4是关于x的一元二次方程x2-3x=a2的一个根,那么常数a的值是()A.2 B.-2 C.±2 D.±42.若点(2,5),(4,5)在抛物线y=ax2+bx+c上,则它的对称轴是直线()A.x=-ba B.x=1 C.x=2 D.x=3.在平面直角坐标系中,将抛物线y=x2-(m-1)x+m(m>1)沿y轴向下平移3个单位长度,则平移后得到的抛物线的顶点一定在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限4.下列选项中,能使关于x的一元二次方程ax2-4x+c=0一定有实数根的是()A.a>0 B.a=0 C.c>0 D.c=05.关于x的一元二次方程x2-mx+2m-1=0的两个实数根分别是x1,x2,且x12+x22=7,则(x1-xA.1 B.12 C.13 D.256.在正数范围内定义一种新运算“*”,其运算规则是a*b=2(a+b)-3ab,根据这个规则,方程x*(x+1)=0的解是()A.x=23 B.x=C.x=-23或x=1 D.x=23或7.足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出,足球飞行的路线是一条抛物线,不考虑空气阻力,足球距离地面的高度h(单位:m)与足球被踢出后经过的时间t(单位:s)之间的关系如下表:t01234567…h08141820201814…下列结论:①足球距离地面的最大高度为20m;②足球飞行路线的对称轴是直线t=92;③足球被踢出9s时落地;④足球被踢出1.5s时,距离地面的高度是11m.其中正确结论的个数是(A.1 B.2 C.3 D.48.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,并且关于x的一元二次方程ax2+bx+c-m=0有两个不相等的实数根,下列结论:①b2-4ac<0;②abc>0;③a-b+c<0;④m>-2,其中正确的个数有()A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题9.若抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A,与x轴正半轴交于B,C两点,且BC=2,S△ABC=3,则b=.

10.如图,一农户要建一个矩形鸡舍,鸡舍的一边利用长为12m的住房墙,另外三边用25m长的建筑材料围成,为方便进出,在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门.当所围矩形鸡舍的长为m、宽为m时,鸡舍面积为80m2.

11.将抛物线y=ax2+bx-1向上平移3个单位长度后,经过点(-2,5),则8a-4b-11的值是.

12.已知关于x的一元二次方程x2-4mx+3m2=0(m>0)的一个根比另一个根大2,则m的值为.

13.如图,在边长为6cm的正方形ABCD中,点E,F,G,H分别从点A,B,C,D同时出发,均以1cm/s的速度向点B,C,D,A匀速运动,当点E到达点B时,四个点同时停止运动,在运动过程中,当运动时间为s时,四边形EFGH的面积最小,其最小值是cm2.

三、解答题14.已知抛物线y=-x2+4x-3与x轴相交于A,B两点(点A在点B的左侧),顶点为P.(1)求A,B,P三点的坐标;(2)在给出的平面直角坐标系内画出此抛物线的简图,并根据简图写出当x取何值时,函数值y大于零;(3)确定此抛物线与直线y=-2x+6公共点的个数,并说明理由.15.菜农小李种植的某蔬菜计划以5元/千克的价格对外批发销售,由于部分菜农盲目扩大种植,造成该蔬菜滞销.小李为了加快销售,减少损失,对价格经过两次下调后,以3.2元/千克的价格对外批发销售.(1)求平均每次下调的百分率;(2)王叔叔准备到小李处购买5吨该蔬菜,因数量多,小李决定再给予两种优惠方案以供选择:方案一:打九折销售;方案二:不打折,每吨优惠现金200元.试问王叔叔选择哪种方案更优惠?请说明理由.16.已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+k=0.(1)求证:方程有两个不相等的实数根;(2)若△ABC的两边AB,AC的长是这个方程的两个实数根,第三边BC的长为5.当△ABC是等腰三角形时,求实数k的值.17.如图,某小河上有一拱桥,拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE,ED,DB组成,已知河底ED是水平的,ED=16m,AE=8m,抛物线的顶点C到ED的距离是11m.以ED所在的直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系.(1)求抛物线的解析式;(2)已知从某时刻开始的40小时内,水面与河底ED的距离h(单位:m)随时间t(单位:h)的变化满足函数关系h=-1128(t-19)2+8(0≤t≤40),且当水面到顶点C章综合训练一、选择题1.C将x=4代入方程,得16-3×4=a2,解得a=±2.2.D3.D4.D由题意,得Δ=(-4)2-4ac=16-4ac≥0,且a≠0,故ac≤4,且a≠0.显然,四个选项中只有c=0时,一定满足ac=0≤4.5.C6.B根据题意,得x*(x+1)=2(x+x+1)-3x(x+1)=0,即3x2-x-2=0,解得x1=-23,x2=1由题意,知x>0,所以x=1,故选B.7.B由题意,设抛物线的解析式为h=at(t-9),把(1,8)代入可得a=-1,故h=-t2+9t=-(t-4.5)2+20.25,所以足球距离地面的最大高度为20.25m,①错误.所以抛物线的对称轴为直线t=4.5,②正确.当t=9时,h=0,即足球被踢出9s时落地,③正确.当t=1.5时,h=11.25,④错误.综上所述,正确的有②③.故选B.8.B如题图所示,图象与x轴有两个交点,则b2-4ac>0,故①错误;因为图象开口向上,所以a>0,因为对称轴在y轴右侧,所以a,b异号,所以b<0,因为图象与y轴交于x轴下方,所以c<0,所以abc>0,故②正确;当x=-1时,a-b+c>0,故③错误;因为二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点纵坐标为-2,所以关于x的一元二次方程ax2+bx+c-m=0,即ax2+bx+c=m有两个不相等的实数根,则m>-2,故④正确.二、填空题9.-410.108设矩形鸡舍垂直于住房墙的一边长为xm,则矩形鸡舍的另一边长为(26-2x)m,依题意,得x(26-2x)=80,解得x1=5,x2=8.当x=5时,26-2x=16>12(舍去);当x=8时,26-2x=10<12.故矩形鸡舍的长为10m,宽为8m.11.-512.1设方程的两根分别为t,t+2,根据题意得t+t+2=4m,t(t+2)=3m2,把t=2m-1代入t(t+2)=3m2,得(2m-1)(2m+1)=3m2,整理得m2-1=0,解得m=1或m=-1(舍去),所以m的值为1.13.318设运动时间为ts(0≤t≤6),则AE=t,AH=6-t,根据题意得S四边形EFGH=S正方形ABCD-4S△AEH=6×6-4×12t(6-t)=2t2-12t+36=2(t-3)2+18,所以当t=3时,四边形EFGH的面积取最小值,最小值为18cm2三、解答题14.解(1)令y=0,解方程-x2+4x-3=0,得x1=1,x2=3,则A(1,0),B(3,0).将y=-x2+4x-3配方得y=-(x-2)2+1,得顶点P(2,1).(2)如图,当1<x<3时,y>0.(3)由题意列方程组y转化为一元二次方程,得x2-6x+9=0,由Δ=0,可知方程的两根相等,因此抛物线与直线有唯一的公共点.15.解(1)设平均每次下调的百分率为x.由题意,得5(1-x)2=3.2.解得x1=0.2,x2=1.8.因为降价的百分率不可能大于1,所以x2=1.8不符合题意,符合题目要求