第八章进阶篇进阶1圆锥曲线中的常见结论及应用

进阶篇圆锥曲线中的综合问题进阶1圆锥曲线中的常见结论及应用重点解读圆锥曲线是高中数学的重要内容之一，知识的综合性较强，因而解题时需要运用多种基础知识，采用多种数学手段，熟记各种定义、基本公式、法则固然很重要，但要做到迅速、准确地解题，还要掌握一些常用结论，正确灵活地运用这些结论，一些复杂的问题便能迎刃而解.题型一焦半径公式(第二定义)例1(1)椭圆x26+y22=1的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆上的一点P满足|PF1|=3|PF2|，若P在第一象限，则点答案3解析由题意，a=6，c=2，e=63设P(x0，y0)(x0>0，y0>0)，则由焦半径公式，|PF1|=6+63x0，|PF2|=6-63x因为|PF1|=3|PF2|，所以6+63x0=36解得x0=32又点P在椭圆x26+y22=1上，且则3226+y022=1故点P的坐标为32(2)过抛物线C：y2=4x的焦点F的直线l与C交于A，B两点，若|AF|=3，则|BF|=.答案3解析方法一由题意，|AF|=xA+1=3，所以xA=2，代入y2=4x可得yA=±22，由对称性，不妨设A(2，22)，又F(1，0)，所以kAF=22−02−1故直线AF的方程为y=22(x-1)，联立y消去y整理得2x2-5x+2=0，解得x=2或x=12因为xA=2，所以xB=12故|BF|=xB+1=32方法二如图，设∠AFO=α，由题意知p=2，则|AF|=21+cosα所以cosα=-13故|BF|=21+cos(π−α)=2方法三由题意，p=2，所以1|AF|+1|BF|=2将|AF|=3代入可得|BF|=32思维升华(1)如图1，椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(x0，y0)为椭圆上任意点，则椭圆的焦半径|PF1|①|PF1|=a+ex0；②|PF2|=a-ex0(记忆：左加右减).(2)如图2，双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(x0，y0)为双曲线上任意一点，则双曲线的焦半径|PF1|①|PF1|=|ex0+a|；②|PF2|=|ex0-a|(记忆：左加右减).(3)如图3，设A为抛物线y2=2px(p>0)上任意一点，点F为抛物线的焦点，直线AF与抛物线的另一个交点为B点，记∠AFO=α，则焦半径|AF|=p1+cosα，|BF|=跟踪训练1(1)椭圆x26+y22=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，则|PF1|·|PF答案[2，6]解析由题意得a=6，c=2，e=63设P(x0，y0)，其中-6≤x0≤6，则|PF1|=6+63x0，|PF2|=6-63x所以|PF1|·|PF2|=6-23x02，取值范围为[2(2)双曲线x2-y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线上的一点P满足|PF1|=5，则△PF1F2的面积为答案6或46解析方法一由题意得a=1，b=3，c=2，e=2，设P(x0，y0)，则|PF1|=|2x0+1|=5，解得x0=2或x0=-3，当x0=2时，代入双曲线方程可求得y0=±3，所以S△PF1F2=12·|F1F2当x0=-3时，代入双曲线方程可求得y0=±26，所以S△PF1F2=12·|F1F2|综上所述，△PF1F2的面积为6或46.方法二由题意得a=1，b=3，c=2，所以|F1F2|=4，当点P在双曲线的右支上时，由双曲线定义可知|PF1|-|PF2|=2，又|PF1|=5，所以|PF2|=3，显然PF2|2+所以PF2⊥F1F2，从而S△PF1F2=12·|PF2|·|F1F2当点P在双曲线的左支上时，由双曲线定义可知|PF2|-|PF1|=2，又|PF1|=5，所以|PF2|=7，从而cos∠PF1F2=P=-15所以sin∠PF1F2=1−cos2∠从而S△PF1F2=12·|PF1|·|F1F2=12×5×4×265综上所述，△PF1F2的面积为6或46.题型二垂径定理(第三定义)例2已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)，不垂直于坐标轴的直线交椭圆于A，B两点，M为线段AB的中点，直线AB和OM(O是坐标原点)的斜率分别为kAB，kOM，求证：kAB证明方法一如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则kAB=y2−y1x2x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，因为x两式作差得x12−x即y1−y2x于是y1−y2x所以kAB·kOM=-b2方法二设直线AB的方程为y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，由y=kx+(b2+a2k2)x2+2kma2x+a2m2-a2b2=0，所以x1+x2=-2km于是y1+y2=k(x1+x2)+2m=2m所以M−km于是kOM=y0x0因此kAB·kOM=k·−b2k方法三令xa=x'，yb=y'，则x'2+y'原题设中的点A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)分别对应单位圆中的点A'(x'1，y'1)，B'(x'2，y'2)，M'(x'0，y'0)，且M'是线段A'B'的中点，由圆的垂径定理得kA'B'·kOM'=-1，又因为kAB=y1−y2x1−kOM=y0x0=by'所以kAB·kOM=ba·kA'B'·ba=b2a2·kA'B'·kOM'思维升华(1)椭圆中的垂径定理(2)双曲线中的垂径定理(3)垂径定理也可以描述为：设点M是有心圆锥曲线x2m+y2n=1(m>0，n>0，或mn<0)中与坐标轴不垂直且不过中心O的弦AB的中点，则kAB·k(4)若点M是有心圆锥曲线的弦AB的中点，其中AB与坐标轴不垂直且不过中心O，且将圆看作是离心率e=0的特殊的椭圆，则有kAB·kOM=e2-1.跟踪训练2(1)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，点A，B为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点P使直线AP和BP的斜率之积kAP·kBP∈−1答案6解析由题意，-13<kAP·kBP=-b2所以b2a2<13，从而a2>3b2=3(a2故c2a2所以e=ca>63，又0<e所以63<e(2)已知双曲线C：x2-y2=2026的左、右顶点分别为A，B，P为双曲线右支上一点，且∠APB=4∠PAB，则∠PAB=.答案π解析令∠PAB=α，则α∈0，π∠PBx=β，则β∈0，π则β=5α，所以α∈0，π又e2=c2a2=a2由双曲线的垂径定理可知tanα·tanβ=tanα·tan5α=e2-1=1，则tanα=1tan5α=tanπ2−5α，π则α=π2-5α，故α=π题型三焦点三角形例3(多选)如图，F1，F2是圆锥曲线的焦点，A，B为椭圆中过点F2的弦的两个端点，P为双曲线上任意一点，下列说法正确的是()A.椭圆中△ABF1的周长为4aB.椭圆中当A为短轴的端点时，∠F1AF2最大C.椭圆中S△AD.双曲线中S△P答案ABD解析对于A，由椭圆的定义可知△ABF1的周长为4a显然成立，A正确；对于B，cos∠F1AF2=A=(=(2=2b2∵|AF1||AF2|≤AF1|+当且仅当|AF1|=|AF2|，即点A是短轴端点时取等号，∴cos∠F1AF2=2b2AF1又∵y=cosθ在(0，π)上单调递减，∴当A为短轴端点时，∠F1AF2最大，B正确；对于C，由选项B的推导过程得cos∠F1AF2=2b2∴|AF1||AF2|=2b∴S△AF1F2=12|AF1||=12·2b21+cos∠F1=b2·2sin∠F1AF22cos∠对于D，证明方法同椭圆，S△PF1F2思维升华对于与焦点三角形有关的结论，在处理椭圆与直线的交点问题时尤为重要，因为它提供了一个固定的几何量，帮助我们验证和推导其他几何性质.跟踪训练3已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，其左、右焦点分别为F1，F2，离心率e=12，点P为该椭圆上一点，且满足∠F1PF2=πA.2 B.4 C.6 D.12答案D解析由e=12，得ca=12，即a=2c设△F1PF2的内切圆的半径为r，因为△F1PF2的内切圆的面积为3π，所以πr2=3π，解得r=3(舍负).在△F1PF2中，根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式，知S△F1PF2=b2tan∠F1P即33b2=3(a+c)， 又a2=b2+c2， ③联立①②③得c=3，a=6，b=33，所以该椭圆的长轴长为2a=2×6=12.课时精练[分值：52分]一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.(2020·新课标全国Ⅰ)设F1，F2是双曲线C：x2-y23=1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|=2，则△PF1FA.72 B.3 C.52答案B解析方法一由题意知a=1，b=3，c=2，F1(-2，0)，F2(2，0)，如图，因为|OF1|=|OF2|=|OP|=2，所以点P在以F1F2为直径的圆上，故PF1⊥PF2，则|PF1|2+|PF2|2=(2c)2=16.由双曲线的定义知||PF1|-|PF2||=2a=2，所以|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=4，所以|PF1||PF2|=6，所以△PF1F2的面积为12|PF1||PF2方法二由双曲线的方程可知，双曲线的焦点F1，F2在x轴上，且|F1F2|=21+3=4.设点P的坐标为(x0，y0)，则x02−y023所以△PF1F2的面积为12|F1F2|·|y0|=12×4×方法三由|F1F2|=4，|OP|=2，可知∠F1PF2=π2所以S△PF2.椭圆C：x24+y23=1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在椭圆C上，直线PA2A.12，34 B.38，答案B解析由垂径定理得kPA1·kPA2=-b2a2=-34，又k3.如图，A，B分别是椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右顶点，点P在以AB为直径的圆O上(点P异于A，B两点)，线段AP与椭圆CA.33 B.12 C.32答案C解析根据椭圆的第三定义可知kAQ·kBQ=e2-1，又k所以kAP·kBP=4kAP·kBQ=4e2−1则e=324.已知双曲线的中心为原点O，且一个焦点为F(7，0)，直线y=x-1与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为-23A.x23-y24=1 B.C.x25-y22=1 D.答案D解析由条件知，线段MN的中点P在直线y=x-1上，所以P−2由垂径定理有kMN·kOP=b2a2=e即1×−53−23=e2-1又c=7，所以a=2，b=5，故所求双曲线方程为x22-5.如图，F1，F2是椭圆C1：x24+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形，则CA.2 B.3 C.32 D.答案D解析设双曲线C2的方程为x2a22-y2b22=1(a2>0，b2>0)，则有设椭圆C1中，a1=2，b1=1，又四边形AF1BF2为矩形，所以△AF1F2的面积为b12tan45°=即b22=b12=1，所以a22故双曲线C2的离心率e=c2a2=36.已知双曲线C：x2a2-y24=1(a>0)的右支上的点P(x0，y0)满足|PF1|=3|PF2|(F1，F2分别是双曲线的左、右焦点)，则cx0A.[42，+∞) B.2，C.42，252答案B解析由双曲线的第二定义可知|PF1|=ex0+a，|PF2|=ex0-a，∵右支上的点P(x0，y0)满足|PF1|=3|PF2|，∴ex0+a=3(ex0-a)⇒ex0=2a，由e=ca，解得x0=2∵P在右支上，可得x0=2a2c又c>a，可得1<ca≤2，即1<e≤2则cx0+y02=c22a2+4x令e2=t，1<t≤4，可得cx0+y02=12=12t+16t-4=1而f(t)=12t+32t∴12t+32t∈6，332，∴2二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，其中|F1F2|=2c，过右焦点F2的直线A.弦AB的长度的最小值为2B.若|AB|=m，则△F1AB的周长为2m+4aC.若AB的中点为M，坐标原点为O，且直线AB的斜率为k，则kOM·k=bD.若直线AB的斜率为3，则双曲线的离心率e∈[2，+∞)答案ABC解析弦AB的长度的最小值为通径2b2a由双曲线的定义得|AF1|-|AF2|=2a，|BF1|-|BF2|=2a，所以|AF1|=|AF2|+2a，|BF1|=|BF2|+2a，|AF1|+|BF1|=|AF2|+2a+|BF2|+2a=|AB|+4a，则△F1AB的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=2|AB|+4a=2m+4a，故B正确；根据双曲线中的垂径定理可得kAB·kOM=kOM·k=b2a2若直线AB的斜率为3，所以ba<3所以b2<3a2，所以c2<4a2，所以e=ca∈(1，2)，故D错误8.已知椭圆x24+y2=1，A，B分别为长轴的左、右端点，F1，F2分别为左、右焦点，点P为椭圆上除去A，A.△PAB面积的最大值为2B.|PF1|2+|PF2|2的最大值为8C.kPA·kPB=1D.若∠F1PF2=60°，则S△P答