第五章§5.2平面向量基本定理及坐标表示

§5.2平面向量基本定理及坐标表示考试要求1.掌握平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.能用坐标表示平面向量共线.1.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2.若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.3.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a+b=(x1+x2，y1+y2)，a-b=(x1-x2，y1-y2)，λa=(λx1，λy1)，|a|=x1(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB=(x2-x1，y2-y1)，|AB|=(x4.平面向量共线的坐标表示设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2-x2y1=0.1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一个基底.(×)(2)设{a，b}是平面内的一个基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a+μ1b=λ2a+μ2b，则λ1=λ2，μ1=μ2.(√)(3)设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，当且仅当x2y2≠0时，a∥b与x1x2=y1y(4)若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a=b⇔x1=x2且y1=y2.(√)2.已知a=(2，1)，b=(-3，4)，则3a+4b的坐标是()A.(6，19) B.(6，-13)C.(-6，19) D.(-6，-13)答案C解析因为a=(2，1)，b=(-3，4)，所以3a=(6，3)，4b=(-12，16)，则3a+4b=(-6，19).3.已知向量a=(m，m+3)，b=(4，m)，则“m=6”是“a与b共线”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析向量a=(m，m+3)，b=(4，m)，则a∥b⇔m2-4(m+3)=0，解得m=-2或m=6，所以“m=6”是“a与b共线”的充分不必要条件.4.已知平行四边形ABCD的顶点A(-1，-2)，B(3，-1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为.

答案(1，5)解析设D(x，y)，则AB=DC，得(3-(-1)，-1-(-2))=(4，1)=(5-x，6-y)，即4=5−x,1=6−y,解得x=1,y=5,1.熟记以下常用结论(1)如果对于一个基底{e1，e2}，有a=λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2，那么可以得到λ1=μ1,λ2=μ2,即基底给定，同一向量的分解形式唯一.特别地，若λ1e1+λ2(2)已知△ABC的重心为G，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则G点坐标为x12.谨防三个易误点(1)基底{e1，e2}必须是同一平面内的两个不共线向量.因为零向量平行于任意向量，所以不能作为基底中的向量.(2)a∥b的充要条件不能表示为x1x2=y1y2，因为(3)向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.题型一平面向量基本定理的应用例1(1)(多选)(2025·三门峡模拟)下列选项正确的是()A.若e1=(2，-3)，e2=12，−34，则e1B.e1=(-1，2)，e2=(5，7)，则e1与e2能作为一个基底C.3e1+e2与e2可以作为一个基底D.若e1，e2不共线，则2e1与-e2可以作为一个基底答案BD解析选项A，因为e1=(2，-3)，e2=122×−34=-3×12，所以e1与e2选项B，因为e1=(-1，2)，e2=(5，7)，2×5≠-1×7，所以e1与e2不共线，能作为一个基底，B选项正确；选项C，设3e1+e2=λe2，可得3e1=(λ-1)e2.若e1与e2不共线，则不存在这样的实数λ使得3e1=(λ-1)e2成立；若e1与e2共线，则3e1+e2与e2共线.由于题目未明确e1与e2是否共线，所以无法确定3e1+e2与e2是否能作为一个基底，C选项错误；选项D，设2e1=λ(-e2)，即2e1+λe2=0.因为e1，e2不共线，所以不存在实数λ，使得2e1+λe2=0成立，所以2e1与-e2不共线，可以作为一个基底，D选项正确.(2)如图，在直角梯形ABCD中，DC=14AB，BE=2EC，且AE=rAB+sAD，则2r+3s=答案3解析方法一由题图可得AE=AB+BE=AB+2=AB+23(BA+AD=13AB+23=13AB+23AD+因为AE=rAB+sAD，所以r=12，s=2则2r+3s=1+2=3.方法二因为BE=2EC，所以AE-AB=2(AC-AE)，整理，得AE=13AB+23AC=13AB+23(AD+DC)以下同方法一.方法三如图，建立平面直角坐标系，A(0，0)，依题意可设点B(4m，0)，D(3m，3h)，E(4m，2h)，其中m>0，h>0.由AE=rAB+sAD，得(4m，2h)=r(4m，0)+s(3m，3h)，所以4m=4所以2r+3s=1+2=3.思维升华(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.跟踪训练1(1)(2022·新高考全国Ⅰ)在△ABC中，点D在边AB上，BD=2DA.记CA=m，CD=n，则CB等于()A.3m-2n B.-2m+3nC.3m+2n D.2m+3n答案B解析因为BD=2DA，所以AB=3AD，所以CB=CA+AB=CA+3AD=CA+3(CD-CA)=-2CA+3CD=-2m+3n.(2)(2025·合肥模拟)在△ABC中，BD=λBC，AE=μAD，AF=μAC，其中λ，μ∈(0，1)，若BE=DF，则()A.λ=μ B.λ+μ=1C.1λ-1μ=1 D.1μ答案C解析BE=BA+AE=BA+μAD=BA+μ(AB+BD)=BA+μ(AB+λBC)=BA+μ[AB+λ(AC-AB)]=λμAC+(μ-λμ-1)AB，DF=DB+BA+AF=-λBC-AB+μAC=-λ(AC-AB)-AB+μAC=(λ-1)AB+(μ-λ)AC，因为BE=DF，所以λμ所以λμ=μ-λ，又λ，μ∈(0，1)，则1λ-1题型二平面向量的坐标运算例2(1)在平行四边形ABCD中，AD=(3，7)，AB=(-2，3)，对角线AC与BD交于点O，则CO的坐标为()A.−12，5C.−12，−5答案C解析因为在平行四边形ABCD中，AD=(3，7)，AB=(-2，3)，对角线AC与BD交于点O，所以CO=-AO=-12(AD+AB)(2)(2025·全国Ⅰ卷)帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.表格给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图所示(线段长度代表速度大小，单位：m/s)，则该时刻的真风为()级数名称风速大小(单位：m/s)2轻风1.6~3.33微风3.4~5.44和风5.5~7.95劲风8.0~10.7A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风答案A解析由题意及题图得，视风风速对应的向量为n=(0，2)-(3，3)=(-3，-1)，视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反，设真风风速对应的向量为n1，船行风风速对应的向量为n2，∴n=n1+n2，n2=-[(3，3)-(2，0)]=(-1，-3)，∴n1=n-n2=(-3，-1)-(-1，-3)=(-2，2)，∴|n1|=(−2)2+2由表格可得，该时刻的真风为轻风.思维升华(1)利用向量的坐标运算解题，主要是利用加法、减法、数乘运算法则，然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，化归为方程(组)进行求解.(2)向量的坐标表示使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算.跟踪训练2(1)(2025·天津模拟)设点A(-1，3)，B(2，4)，C(3，-2)，且AD=2AB-3BC，则点D的坐标为()A.(3，20) B.(-2，-23)C.(2，23) D.(-4，-17)答案C解析设D(x，y)，由AD=2AB-3BC可得，(x+1，y-3)=2(3，1)-3(1，-6)=(3，20)，即x+1=3,y−3=20,解得x=2,y=23,即D(2)(2025·成都模拟)在正方形ABCD中，M是BC的中点.若AC=λAM+μBD(λ，μ∈R)，则λ+μ的值为()A.43 B.53 C.15答案B解析在正方形ABCD中，以点A为原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图，令AB=2，则B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，M(2，1)，AC=(2，2)，AM=(2，1)，BD=(-2，2)，λAM+μBD=(2λ-2μ，λ+2μ)，因为AC=λAM+μBD，所以2解得λ=43，μ=13，λ+μ=所以λ+μ的值为53题型三向量共线的坐标表示例3(1)(2025·遵义模拟)已知向量a=(3，2)，b=(λ，4)，c=(1，λ+1)，若(a+2b)∥c，则正数λ等于()A.12 B.72 C.1 答案C解析由题意得a+2b=(3+2λ，10)，因为(a+2b)∥c，所以(3+2λ)(λ+1)=10，即2λ2+5λ-7=0，解得λ=1或λ=-72(舍去)(2)已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，O为坐标原点，则AC与OB的交点P的坐标为.

答案(3，3)解析方法一OA=(4，0)，OB=(4，4)，OC=(2，6)，由O，P，B三点共线，可设OP=λOB=(4λ，4λ)，λ∈R，则AP=OP-OA=(4λ-4，4λ).又AC=OC-OA=(-2，6)，由AP与AC共线，得(4λ-4)×6-4λ×(-2)=0，解得λ=34，所以OP=34OB=(3所以点P的坐标为(3，3).方法二设点P(x，y)，则OP=(x，y)，因为OB=(4，4)，且OP与OB共线，所以x4=y4，即x=y.又AP=(x-4，y)，AC=(-2，6)，且AP与AC共线，所以(x-4)×6-y×(-2)=0，解得x=y=3，所以点P的坐标为(3，3思维升华平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是x1y2=x2y1.(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R).跟踪训练3(1)(多选)已知两点A(2，-1)，B(3，1)，与AB平行且方向相反的向量a可能是()A.a=(-1，-2) B.a=(9，3)C.a=(-1，2) D.a=(-4，-8)答案AD解析由题意可得AB=(1，2).A选项，a=(-1，-2)=-AB，故满足题意；D选项，a=(-4，-8)=-4AB，故满足题意；B，C选项中的a不能用AB表示，故不满足题意.(2)(2026·景德镇模拟)已知向量a=(2，3)，b=(2，sinα-3)，c=(2，cosα)，若(a+b)∥c，则tanα的值为()A.2 B.-2 C.12 D.-答案A解析因为a=(2，3)，b=(2，sinα-3)，所以a+b=(4，sinα)，又c=(2，cosα)且(a+b)∥c，所以sinαcosα=42，即定比分点坐标公式(链接教材，人教A版必修第二册P33)定比分点是中点、三等分点的延伸拓展，在解决平面向量和解析几何题目中都有应用.如图，线段P1P2的端点P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，点P是直线P1P2上异于P1，P2的点，当P1P=λPP2(λ≠0且λ≠-1)时，OP=11+λOP1+λ1+λOP2，点P的坐标是x1+λx21+λ，y1+λ典例(1)若过两点P1(-1，2)，P2(5，6)的直线与x轴相交于点P，则点P分有向线段P1P2A.-13 B.-15 C.15答案A解析设P(x，0)，则λ=0−26−0=-1(2)已知M(-2，7)，N(10，-2)，点P是线段MN上的点，且PN=-2PM，则P点的坐标为()A.(-14，16) B.(22，-11)C.(6，1) D.(2，4)答案D解析由NP=2PM，可知P分有向线段NM所成的比是λ=2，设O为坐标原点，所以OP=11+λON则P10−41+2，−2+141+2，即(2课时精练[分值：90分]一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.已知a=(5，-2)，b=(-4，-3)，若a-2b+3c=0，则c等于()A.133，8C.133，4答案D解析∵a-2b+3c=0，∴c=-13(a-2b)∵a-2b=(5，-2)-(-8，-6)=(13，4)，∴c=-13(a-2b)=−2.(2026·重庆模拟)已知平面向量a=(1，k+1)，b=(2k-1，2k2)，若a∥b，则k等于()A.-1 B.1 C.2 D.3答案B解析根据题意，平面向量a=(1，k+1)，b=(2k-1，2k2)，且a∥b，所以1×2k2=(k+1)(2k-1)，解得k=1.3.已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，以a，b为基底，则c可表示为().A.c=-2a+3b B.c=-3a+2bC.c=3a-2bD.c=2a+3b答案C解析建立如图所示的平面直角坐标系，O(0，0)，A(1，0)，B(2，1)，C(0，4)，D(7，1)，则a=AB=(1，1)，b=BC=(-2，3)，c=CD=(7，-3)，设c=xa+yb，则x−2y=7,x+3y=−3,解得x4.(2025·齐鲁名校联考)在△ABC中，AB=2，AC=3，BD=DC，AE=2EB.若AD+CE=λAB+μAC(λ，μ∈R)，则λ+μ的值为()A.32 B.45 C.23答案C解析因为BD=DC，所以D为BC的中点，所以AD=12(AB+又AE=2EB，所以AE=23AB，所以CE=CA+AE=23所以AD+CE=12(AB+AC)+23AB-AC所以λ=76，μ=-12，所以λ+μ=5.在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN=2NC，AM与BN交于点P，若AM=5.5，则AP的长是()A.3.8 B.4 C.4.2 D.4.4答案D解析方法一设BM=e1，CN=e2，则AM=AC+CM=-3e2-e1，BN=BC+CN=2e1+e2，因为点A，P，M和点B，P，N分别共线，所以存在实数λ，μ，使AP=λAM=-λe1-3λe2，BP=μBN=2μe1+μe2，所以BA=BP-AP=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2，又BA=BC+CA=2e1+3e2，所以λ+2μ所以AP=45所以AP=45AM方法二设AP=λAM，λ∈R，因为M是BC的中点，AN=2NC，则AM=12(AB+AC)=1AP=λAM=12λAB+34λ又B，P，N三点共线，所以12λ+34λ解得λ=45，所以AP=456.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=1，以AC为直径的半圆上有一点M，BM=λBC+3λBA，则实数λ等于()A.3+14 C.32 D.答案A解析以B为原点，BC，BA所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系.则A(0，1)，C(1，0)，|AC|=2，则以AC为直径的圆的圆心为AC的中点D12则以AC为直径的圆的方程为x−122+设M(x，y)，则BM=(x，y)，BC=(1，0)，BA=(0，1)，BM=λBC+3λBA=(λ，3λ)，所以x由点M在圆x−122+可得λ−122+即4λ2-(1+3)λ=0，解得λ=3+14或λ=0二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.下列说法正确的是()A.向量a=(-1，3)，b=(2，4)可以作为平面向量的一个基底B.已知点A(1，5)，B(4，-7)，点P是线段AB的三等分点，则点P的坐标可以为2，C.若D为△ABC的边AB的中点，则CB=2CD-CAD.若向量AB=(1，6)，BC=(1，-1)，CD=(m，m+1)，且A，C，D三点共线，则m=3答案AC解析对于A，∵-1×4-3×2=-10≠0，∴a，b不共线，即向量a=(-1，3)，b=(2，4)可以作为平面向量的一个基底，故A正确；对于B，点P是线段AB的三等分点，设P(x，y)，若AP=13AB，即(x-1，y-5)=13(3，-12)，解得x=2，y=1，∴P(2若AP=23AB，即(x-1，y-5)=23(3，-12)，解得x=3，y=-3，∴P(3则点P的坐标不可能为2，32，故对于C，如图所示，∵D为△ABC的边AB的中点，∴CA+CB=2CD，∴CB=2CD-CA，故C正确；对于D，由A，C，D三点共线，得AC∥CD，又AC=(2，5)，CD=(m，m+1)，得2(m+1)-5m=0，解得m=23，故D错误8.(2025·娄底模拟)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，OA=(5，-3)，OB=(2，3)，点P在直线AB上，且|AP|=12|PB|，则点PA.(8，-9) B.(4，-1)C.83，−1答案AB解析设P(x，y)，由题意得A(5，-3)，B(2，3)，且点P在直线AB上，故|AP|=12|PB|①BP=2PA，此时有(x-2，y-3)=2(5-x，-3-y)，可得x−2=2(5−x②BP=-2PA，此时有(x-2，y-3)=-2(5-x，-3-y)，可得x−2=−2(5−x综上所述，点P的坐标为(4，-1)或(8，-9).三、填空题(每小题5分，共10分)9.已知向量OA=(3，4)，OB=(6，-3)，OC=(5-m，-3-m)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件是.

答案m≠-7解析因为AB=OB-OA=(3，-7)，AC=OC-OA=(2-m，-7-m)，又点A，B，C能构成三角形，所以点A，B，C不共线，即AB与AC不共线，所以3(-7-m)-(-7)(2-m)≠0，解得m≠-71010.(2025·新余模拟)已知平面直角坐标系Oxy中，A(-2，-2)，B(1，2)，OP=λOA+(3-λ)OB，若AP∥OB，则点P的坐标为.

答案(0，2)解析OP=(-2λ，-2λ)+(3-λ，6-2λ)=(3-3λ，6-4λ)，AP=OP-OA=(5-3λ，8-4λ)，因为AP∥OB，所以2(5-3λ)=8-4λ⇒λ=1，故OP=(0，2)，所以点P的坐标为(0，2).四、解答题(共28分)11.(13分)平面内给定三个向量a=(3，2)，b=(-1，2)，c=(4，1).(1)若(a+kc)∥(2b-a)，求实数k；(6分)(2)若d满足(d-c)∥(a+b)，且|d-c|=5，求d的坐标.(7分)解(1)a+kc=(3+4k，2+k)，2b-a=(-5，2)，由题意得2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0，解得k=-1613(2)设d=(x，y)，则d-c=(x-4，y-1)，又a+b=(2，4)，(d-c)∥(a+b)，|d-c|=5，∴4(解得x=3,y∴d的坐标为(3，-1)或(5，3).12.(15分)如图所示，已知矩形ABCD中，AB=2，AD=1，DM=13DC，BN=23BC，AC与(1)若MN=λAB+μAD，求实数λ和μ的值；(7分)(2)用向量AM，AN表示AE.(8分)解(1)如图，以A点为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，D(0，1)，B(2，0)，M23，1，N所以MN=43，−13，AB=(2，0)，AD=(所以MN=43，−13=λAB+μAD=(2所以2λ=(2)设AE=tAC，AC=mAM+nAN，t，m，n∈R，因为AM=23，1，AN=又C(2，1)，则AC=(2，1)，所以AC=(2，1)=23即23m即AC=37AM+所以AE=tAC=37tAM+67t又因为M，E，N三点共线，所以37t+67t=1，则t=所以AE=13AM+[每小题5分，共10分