广西壮族自治区南宁市2025~2026学年高二下册期末学业评估数学试卷【附解析】

数学一、选择题（每题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）1.若，则（）A. B. C. D.2.集合，集合，则（）A. B. C. D.3.已知向量，若，则（）A. B. C. D.4.设双曲线的左､右焦点分别为，过做平行于轴的直线交于两点，若，则的离心率为（）A. B. C. D.15.已知，且为第二象限角，则的值等于（）A. B. C. D.6.秋冬换季是流行性感冒爆发期，已知、、三个地区分别有、、的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是，现从这三个地区中任意选取人，则这人患了流感的概率为（）A. B. C. D.7.某工作室有4名插画师和3名建模师，两类人员完全不重叠，现将其分成3个小队前往三个展会进行现场创作，要求每个小队必须同时包含至少1名插画师和至少1名建模师，则不同的人员派遣方案种数为（）A.192 B.196 C.216 D.2568.已知定义在上的函数满足对任意都有成立，且函数的图象关于直线对称，则（）A.0 B.2 C. D.二、选择题：本大题共小3题，每小题6分，满分18分.每小题给出的备选答案中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选的得0分.9.数列满足，，，则下列说法正确的有（）A.数列是等比数列 B.C.数列的前项和 D.数列是递增数列10.已知直线与圆，则下列说法正确的是（）A.直线恒过定点B.当直线与圆相切时，切线方程是C.当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于D.圆上的一点到直线的最大距离是11.已知点O为坐标原点，抛物线C：（）的准线方程为，过焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，则下列选项中正确的是（）A.若，则B.若，则直线l的斜率为1C.D.面积的最小值为8二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知等差数列的前n项和为若则________13.若，，且函数在处有极值，则的最小值为_____.14.已知正三棱台的下底面边长为，高为1，其顶点都在表面积为的球面上，则该正三棱台的体积为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记的内角、、所对的边分别为、、，已知.（1）求；（2）若，的面积为，求的周长.16.2026年，AI软件已广泛覆盖办公、学习、创作、生活等多个场景，给人们的生活带来了便捷，实现了从“生成式AI”向“决策式AI”的全面跨越.行业焦点已从AI“能说会道”的创造能力，转向其“能落地干活”的自主决策与执行能力.某公司进行AI知识竞赛.从参赛者中随机选出100人的成绩作为样本，将成绩（满分100分）分为，，，，，共5组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求的值；（2）在样本中，用分层随机抽样的方法从成绩在的人中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记这3人的成绩在的人数为，求的分布列及数学期望；（3）假设用频率估计概率，从全公司中随机抽取3人，用表示其成绩在范围的人数，求Y的期望及方差.17.如图，三棱锥中，，，，E为的中点.（1）证明：；（2）点F满足，求直线与平面所成角的正弦值.18.已知椭圆：的离心率为，短轴长为.（1）求的方程；（2）过点的直线（斜率存在且不为）与交于、两点，关于轴的对称点为，已知.（i）求的取值范围；（ii）证明：P、M、Q三点共线.19.已知函数，其中．（1）当时，求在处的切线方程；（2）若函数存在单调递增区间，求实数的取值范围；（3）若R，对任意的恒成立，求的最小值．

数学一、选择题（每题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）1.若，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：因为，则，故.2.集合，集合，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：因为，所以．3.已知向量，若，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：已知向量，则.因为，所以，解得.4.设双曲线的左､右焦点分别为，过做平行于轴的直线交于两点，若，则的离心率为（）A. B. C. D.1答案：A解析：思路：由题意求出，，利用双曲线的定义求出，利用勾股定理得，即可求出离心率．解答过程：如图所示，因为双曲线关于轴对称，所以，由双曲线的定义得：，由直角三角形得：所以离心率.故选：A5.已知，且为第二象限角，则的值等于（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由二倍角的正弦公式计算．解答过程：因为，且为第二象限角，所以，所以．6.秋冬换季是流行性感冒爆发期，已知、、三个地区分别有、、的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是，现从这三个地区中任意选取人，则这人患了流感的概率为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用全概率公式可求得所求事件的概率.解答过程：分别记事件、、为选取的人来自、、地区，记事件为选取的人患了流感，则，，，，，，从这三个地区中任意选取人，则这人患了流感的概率为，故选：A.7.某工作室有4名插画师和3名建模师，两类人员完全不重叠，现将其分成3个小队前往三个展会进行现场创作，要求每个小队必须同时包含至少1名插画师和至少1名建模师，则不同的人员派遣方案种数为（）A.192 B.196 C.216 D.256答案：C解析：思路：采用分步计数原理，先将4名插画师分组后分配到三个不同展会，再分配3名建模师即可．解答过程：解：根据题意可知，插画师分组为，建模师分组为，则不同的人员派遣方案种数为.8.已知定义在上的函数满足对任意都有成立，且函数的图象关于直线对称，则（）A.0 B.2 C. D.答案：A解析：思路：由已知条件推出函数的对称性和周期性，在中令得，令得，再利用周期性求函数值，解答过程：因为，所以函数关于点中心对称，因为的图象关于直线对称且函数的图像由的图像向右平移一个单位得到，所以的图像关于轴对称，则是偶函数，因为函数关于点中心对称，所以，因为是偶函数，所以，所以①，将①式中替换为得②，把②式代入①得，即，所以4是函数的一个周期，在中，令得，令得，所以.二、选择题：本大题共小3题，每小题6分，满分18分.每小题给出的备选答案中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选的得0分.9.数列满足，，，则下列说法正确的有（）A.数列是等比数列 B.C.数列的前项和 D.数列是递增数列答案：ABD解析：思路：对A：结合等比数列定义判断即可得；对B：利用等比数列性质计算即可得；对C：利用等比数列求和公式分组求和即可得；对D：作差即可得.解答过程：对A：由，则，又，故数列是以为首项，为公比的等比数列，故A正确；对B：由A可得，故，故B正确；对C：，故C错误；对D：由，故数列是递增数列，故D正确.10.已知直线与圆，则下列说法正确的是（）A.直线恒过定点B.当直线与圆相切时，切线方程是C.当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于D.圆上的一点到直线的最大距离是答案：ABD解析：思路：将直线方程整理为，由，可得直线恒过的定点的坐标，判断出A的对错；由直线与圆相切，可得圆心到直线的距离，可得参数a的值，即求出直线的方程，判断出B的对错；当时，可得直线l的方程，求出圆心到直线l的距离，可得圆上有四个点到直线的距离为，判断出C的对错；直线恒过的定点，当时，则圆心C到直线l的距离最大，且最大值为，进而可得圆上的点到直线的距离的最大值为，可判断出D的对错.解答过程：对于A，将直线转化为，由，解得，直线恒过定点，A正确；对于B，圆，可得圆心，半径，由直线与圆相切，可得圆心C到直线l的距离，即，解得，故切线方程为，即，B正确；对于C，当时，直线，点到此直线距离为，因此圆上恰有四个点到直线的距离等于，C错误；对于D，因为直线恒过定点，可得，当时，圆心C到直线l的距离最大，且最大值为，所以圆上的点到直线的最大距离为，D正确.故选：ABD.11.已知点O为坐标原点，抛物线C：（）的准线方程为，过焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，则下列选项中正确的是（）A.若，则B.若，则直线l的斜率为1C.D.面积的最小值为8答案：ACD解析：思路：由抛物线准线方程可求得抛物线方程，利用焦半径公式可求得A点坐标，即可判断A；设直线l的方程，联立抛物线方程，可得根与系数的关系式，结合求得，即可求得直线斜率，判断B；利用焦半径公式结合基本不等式可判断C；表示出面积，结合基本不等式求得其最小值，判断D.解答过程：因为抛物线C：的准线方程为，故，故，焦点为，设，对于A，，代入得，即故，A正确；对于B，，则，当直线为时，，由此可判断时，直线的斜率存在且不等于，设直线的方程为，联立可得：，故，解得，满足，故B错误；对于C，由B的分析可知，当直线为时，也有成立；故，当且仅当即时，取得等号，C正确；对于D，不妨设A点在第一象限，则，故的面积，当且仅当时等号成立，即面积的最小值为，D正确.二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知等差数列的前n项和为若则________答案：30解析：思路：根据题意可求出，进而可求解答过程：由题意则所以故答案为：3013.若，，且函数在处有极值，则的最小值为_____.答案：##解析：思路：根据题意结合极值可得，，利用乘“1”法结合基本不等式运算求解.解答过程：因为，且，，则，可得，可知有2个变号零点，则函数有2个极值点，由题意可知：，可得，则，当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值为.14.已知正三棱台的下底面边长为，高为1，其顶点都在表面积为的球面上，则该正三棱台的体积为______.答案：##解析：思路：先计算出球的半径，再结合正三棱台性质，分球心在线段上及在的延长线上进行讨论即可得上底面边长，最后利用棱台体积公式计算即可得.解答过程：设该球的半径为，则，故，由题意设三棱台为，如图，其中、分别为上、下底面外接圆的圆心，设上底面的边长为，则上底面所在平面截球所得圆的半径为：，下底面所在平面截球所得圆的半径是，由正三棱台的性质可知，其外接球的球心在直线上，当在线段上时，轴截面中由几何知识可得，无解；当在的延长线上时，可得，解得，故.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记的内角、、所对的边分别为、、，已知.（1）求；（2）若，的面积为，求的周长.答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；（2）利用三角形的面积公式求出的值，再利用余弦定理求出的值，即可得出的周长.（1）由及正弦定理可得，即，因为，所以，则，可得，又因为，故.（2）因为，所以，由余弦定理可得，解得，故的周长为.16.2026年，AI软件已广泛覆盖办公、学习、创作、生活等多个场景，给人们的生活带来了便捷，实现了从“生成式AI”向“决策式AI”的全面跨越.行业焦点已从AI“能说会道”的创造能力，转向其“能落地干活”的自主决策与执行能力.某公司进行AI知识竞赛.从参赛者中随机选出100人的成绩作为样本，将成绩（满分100分）分为，，，，，共5组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求的值；（2）在样本中，用分层随机抽样的方法从成绩在的人中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记这3人的成绩在的人数为，求的分布列及数学期望；（3）假设用频率估计概率，从全公司中随机抽取3人，用表示其成绩在范围的人数，求Y的期望及方差.答案：（1）（2）（3），解析：思路：（1）利用频率分布直方图的性质求解.（2）利用超几何分布求解.（3）利用二项分布求解.（1）由频率分布直方图得，解得.（2）成绩在的人数为人，成绩在的人数为人，用分层随机抽样的方法抽取5人，这5人成绩在的有人，成绩在的有人.的所有取值为.，，所以的分布列为（3）成绩在的频率为.用频率估计概率，则从全公司中随机抽取1人，成绩在的概率为.随机抽取3人，成绩在范围的人数.所以，.17.如图，三棱锥中，，，，E为的中点.（1）证明：；（2）点F满足，求直线与平面所成角的正弦值.答案：（1）连接、，因为，，所以为等边三角形，则，同理，因为，所以为等边三角形，则，所以，因为为的中点，所以，又因为，为的中点，所以，因为平面，所以平面，因为平面，所以；（2）解析：思路：（1）通过证明和均为等腰三角形，利用三线合一性质得到和，进而证明平面，最后利用线面垂直的性质得证；（2）根据（1）中的垂直关系及勾股定理逆定理证明，从而建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解线面角的正弦值.（1）略（2）由（1）可知.在中，，，所以，因为为的中点，所以，，在中，，所以，在中，，所以，由（1）知平面，且平面，所以，故两两垂直，以为坐标原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系，则，所以，，因为，所以，所以，设平面的法向量为，则，取，则，即，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.18.已知椭圆：的离心率为，短轴长为.（1）求的方程；（2）过点的直线（斜率存在且不为）与交于、两点，关于轴的对称点为，已知.（i）求的取值范围；（ii）证明：P、M、Q三点共线.答案：（1）（2）（i）；（ii）直线的方程为，即，其中，则直线PM的方程为，故直线