贵州省安顺市2025~2026学年高一下册期末教学质量监测数学试卷【附解析】

数学本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则的虚部是（）A. B.0 C.1 D.i2.已知，是不共线的两个向量，，，若，则k的值为（）A.6 B. C.3 D.3.数据35，54，46，36，73，85，60，89的第75百分位数为（）A.79 B.54 C.50 D.414.已知，，是空间中三个不同的平面，a，b，c是空间中三条不同的直线，下列说法正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，，则D.若，，，则5.已知事件A，B满足，，且A与B相互独立，记，，则（）A.0 B.0.24 C.0.14 D.0.16.为了得到函数的图象，只需把函数图象上（）A.每个点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度B.每个点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度C.每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度D.每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度7.在四面体中，平面，，，，则四面体外接球的体积为（）A.9π B.12π C. D.36π8.如图，在边长为4的菱形中，，M为的中点，若N为该菱形内任意一点（含边界），则的取值范围为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知i为虚数单位，是复数的共轭复数，则下列说法正确的是（）A. B.若满足，则C.是方程的一个根 D.若为纯虚数，则也为纯虚数10.下列说法正确的是（）A.数据5，7，8，8，9，10，13，14的众数是8B.若数据的平均数为4，则数据的平均数为16C.若数据的平均数为6，方差为9，现又加入3个数据5，6，7，则这10个数据的方差为6.5D.若数据的平均数为7，，则的方差为11.如图，为圆锥的底面圆O的直径，B是圆O上异于A，C的动点，母线，圆锥的侧面积为，下列结论正确的是（）A.随着B点位置的改变，直线与平面所成角的大小在改变B.底面圆O的面积为4πC.三棱锥体积的最大值为D.若，E为线段上的动点，则的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，，则_______.13.已知圆台的上底面半径和下底面半径分别为1，2，且该圆台的体积为14π，则该圆台的母线长为_________.14.在中，，，，为的中点，点在线段上（不含端点）.若为的中点，且，则的最小值为________.当为的中点，且与交于点时，_______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某学校计划依托人工智能大模型搭建答疑系统，帮助学生解决学习中遇到的问题.该校利用该人工智能大模型完成100份不同模拟试卷的作答，收集作答准确率并整理数据，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中a的值，并计算准确率在内的频数；（2）估计这100份试卷准确率的众数和中位数；（3）若要从这100份试卷中，按比例采用分层随机抽样的方法抽取20份进行深入分析，求应从准确率在，这两组中分别抽取的试卷份数.16.已知向量，，，，设函数，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为.（1）求的单调递增区间；（2）若不等式在上有解，求m的取值范围.17.如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，，为线段上的动点.（1）若E，F分别为线段，的中点，证明：平面.（2）若，证明：平面.18.如图，在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，D，E是边上的两个动点，，且.（1）求角A，B；（2）若，求内切圆的半径；（3）若，求面积的最小值.19.如图1，在矩形中，，，是的中点，现沿，进行翻折，使点D，C重合于点P，得到如图2所示的三棱锥.（1）求点P到平面的距离.（2）求二面角的大小.（3）点N在线段上，是否存在一个过点N且平行于和的截面，使其截三棱锥所得截面的面积为？若存在，请确定点N的位置；若不存在，请说明理由.

数学本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则的虚部是（）A. B.0 C.1 D.i答案：C解析：解答过程：，故的虚部为.2.已知，是不共线的两个向量，，，若，则k的值为（）A.6 B. C.3 D.答案：B解析：解答过程：与共线，则存在唯一实数，使得，.由于是两个不共线的向量，，得.3.数据35，54，46，36，73，85，60，89的第75百分位数为（）A.79 B.54 C.50 D.41答案：A解析：思路：由百分位数的计算公式直接求解即可.解答过程：第一步，将数据从小到大排列为：35，36，46，54，60，73，85，89第二步，，第三步，由于为整数，故第75百分位数为排序后第6个数与第7个数的平均数，即，即第75百分位数为79.4.已知，，是空间中三个不同的平面，a，b，c是空间中三条不同的直线，下列说法正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，，则D.若，，，则答案：B解析：思路：满足条件的两直线可能平行、相交或异面，A错误；根据垂直于同一条直线的两平面互相平行判断B；根据面面垂直的性质判断C；满足条件的两直线可能平行、相交或异面，D错误.解答过程：在空间中垂直于同一条直线的两条直线可能的位置关系：平行、相交、异面，A错误；垂直于同一条直线的两平面互相平行，B正确；根据面面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面.C选项中缺少条件或，所以C错误；若，，，则两条直线可能的位置关系：平行、相交、异面，D错误.5.已知事件A，B满足，，且A与B相互独立，记，，则（）A.0 B.0.24 C.0.14 D.0.1答案：D解析：解答过程：由题意得，6.为了得到函数的图象，只需把函数图象上（）A.每个点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度B.每个点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度C.每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度D.每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度答案：B解析：解答过程：选项A，横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的函数为，错误.选项B，横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的函数为，正确.选项C，横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的函数为，错误.选项D，横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度得到的函数为，错误.7.在四面体中，平面，，，，则四面体外接球的体积为（）A.9π B.12π C. D.36π答案：C解析：解答过程：因为平面，平面，所以，因为，，所以，因为，所以由勾股定理可知，故可将其补形为长宽高分别为的长方体，其外接球半径为，故其外接球的体积为.8.如图，在边长为4的菱形中，，M为的中点，若N为该菱形内任意一点（含边界），则的取值范围为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：用表示出，设，然后计算数量积即可得最大值.解答过程：易知，因为点为菱形内任意一点，所以可设，则，又因为，故当时，取到最小值，当时，取到最大值，故的取值范围为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知i为虚数单位，是复数的共轭复数，则下列说法正确的是（）A. B.若满足，则C.是方程的一个根 D.若为纯虚数，则也为纯虚数答案：AC解析：思路：由复数的概念、乘除法运算及模长公式逐个判断即可.解答过程：对于A：，故，故A正确；对于B：设，则，则，则，故B错误；对于C：对于方程，利用求根公式，可得，是方程的一个根，故C正确；对于D：若为纯虚数，设且，则，则，为实数，故D错误.10.下列说法正确的是（）A.数据5，7，8，8，9，10，13，14的众数是8B.若数据的平均数为4，则数据的平均数为16C.若数据的平均数为6，方差为9，现又加入3个数据5，6，7，则这10个数据的方差为6.5D.若数据的平均数为7，，则的方差为答案：ABC解析：思路：A，通过众数的定义求解.B，通过新数据与原数据间的数量关系求解新数据的平均数.C，分别求出新数据的平均数和方差后求解总体的方差.D，通过方差公式求解.解答过程：选项A，8出现了2次，次数最多，因此众数为8，正确；选项B，因为，所以，正确；选项C，新数据平均数，方差，所以10个数据平均数为，新方差，正确；选项D，，错误.11.如图，为圆锥的底面圆O的直径，B是圆O上异于A，C的动点，母线，圆锥的侧面积为，下列结论正确的是（）A.随着B点位置的改变，直线与平面所成角的大小在改变B.底面圆O的面积为4πC.三棱锥体积的最大值为D.若，E为线段上的动点，则的最小值为答案：BCD解析：思路：A，通过线面垂直求得线面角后求解.B，通过圆的面积公式求解.C，通过求出底面面积最大值来求得体积最大值.D，通过将两线段之和转化为两点之间距离问题求解.解答过程：因为侧面积为，设底面半径为，，所以，解得.对于A，因为平面，所以即为与平面所成角，，所以恒为，故A错误；对于B，因为，所以底面圆O的面积，故B正确；对于C，因为，所以面积最大即可，而当时，，所以，故C正确；对于D，，故为等腰直角三角形，故.因为，所以为等边三角形.将沿摊平为如下图，要使最小，只需使点为与的交点即可.如图作于点，因，则，，故可得，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，，则_______.答案：解析：思路：根据同角三角函数关系式和两角和正弦公式计算得到结果；解答过程：已知，，所以则.13.已知圆台的上底面半径和下底面半径分别为1，2，且该圆台的体积为14π，则该圆台的母线长为_________.答案：解析：思路：根据圆台的体积公式和已知信息，求出圆台的高，再运用勾股定理即可得解.解答过程：设圆台的上底面半径为，下底面半径，高为，代入圆台的体积公式，得，解得，故该圆台的母线长.14.在中，，，，为的中点，点在线段上（不含端点）.若为的中点，且，则的最小值为________.当为的中点，且与交于点时，_______.答案：①.2②.##解析：思路：利用三点共线定理，得到，再运用基本不等式中的乘“1”法，即可得的最小值；将转化为与所成角，再将用基底来表示，再运用向量夹角余弦公式，即可得解.解答过程：由题可知，.由三点共线定理可知，若点在线段上，故存在，使得，代入，得已知，由平面向量基本定理可知，，则，则，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为；由余弦定理可知，，代入，解得，因为，故，即.由图可知，即与所成角，，，，，故.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某学校计划依托人工智能大模型搭建答疑系统，帮助学生解决学习中遇到的问题.该校利用该人工智能大模型完成100份不同模拟试卷的作答，收集作答准确率并整理数据，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中a的值，并计算准确率在内的频数；（2）估计这100份试卷准确率的众数和中位数；（3）若要从这100份试卷中，按比例采用分层随机抽样的方法抽取20份进行深入分析，求应从准确率在，这两组中分别抽取的试卷份数.答案：（1），40（2），（3）2份、4份解析：（1）由频率分布直方图可得，解得，则准确率在内的频数为.（2）这100份试卷的众数为最高矩形区间左右端点的平均值为，所以.中位数为，前两个矩形的面积之和为，前三个矩形的面积之和为，所以，则，解得，所以估计这100份试卷准确率的中位数为.（3）这100份试卷中，准确率在内的试卷数量为，在内的试卷数量为.若要从这100份试卷中，随机抽取20份进行深入分析，则抽样比例为，因此，应从准确率在内抽取份，从准确率在内抽取份.故应从准确率在，这两组中分别抽取试卷2份、4份.16.已知向量，，，，设函数，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为.（1）求的单调递增区间；（2）若不等式在上有解，求m的取值范围.答案：（1），.（2）解析：思路：(1)通过数量积定义以及图像的性质求解其表达式，并进一步求出单调递增区间.(2)将不等式转化为交点问题求解.（1），则，，所以，.由，，得，，故的单调递增区间为，.（2）若不等式在上有解，则.由，得，则当时，，所以，故的取值范围是.17.如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，，为线段上的动点.（1）若E，F分别为线段，的中点，证明：平面.（2）若，证明：平面.答案：（1）取的中点，连接，.因为E，M分别为，的中点，所以在中，且.又四边形为矩形，为边的中点，所以且，则且，所以四边形为平行四边形，从而.又平面，平面，所以平面.（2）因为平面，平面，所以.又底面为矩形，所以.又平面，平面，，所以平面.又平面，所以.在中，，，，满足，变形得，又(公共角)，，，即，又平面，平面，，所以平面.解析：思路：（1）取的中点，连接，，逐步证明即可得证；（2）通过证明平面证得，再通过三角形相似，证得，即可得证.（1）略.（2）略.18.如图，在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，D，E是边上的两个动点，，且.（1）求角A，B；（2）若，求内切圆的半径；（3）若，求面积的最小值.答案：（1），（2）（3）解析：思路：（1）运用正弦定理与余弦定理，即可得解；（2）由（1）可知，易得，由可知为中点，易求得，再运用等面积法，即可得解；