湖北省部分省级示范高中2025~2026学年高二下册期末数学试卷【附解析】

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.下面是不同成对数据的散点图，从左到右对应的样本相关系数分别是，其中最小的是（）A. B.C. D.2.已知随机变量，且，则（）A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.63.已知等差数列中，，其前5项和为（）A.10 B.15 C.20 D.254.苏轼，字子瞻，号东坡居士，眉州眉山人，北宋文学家､书法家､画家．现有苏轼的本不同诗集全部奖励给名同学，每人至少分得一本，不同分配方案的种数为（）A. B. C. D.5.某地天气预报：下雨时预报下雨的概率为0.8，不下雨时预报下雨的概率为0.1．该地某季节下雨的概率为0.2．小明按“预报下雨则带伞”行事．若某天小明带伞，则实际下雨的概率为（）A. B. C. D.6.袋中装有2个红球和1个白球，除颜色外完全相同，从袋中有放回地依次取出7个球，定义数列为，记为数列的前项和，则的概率为（）A. B.C. D.7.已知函数的图象在点处的切线与直线平行，设数列的前项和为，则的值为（）A. B. C. D.8.已知，，若方程有三个不等的实根，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某研究小组调查学生每周课外阅读时间（单位：小时）与语文作业中错别字个数（单位：个）的关系，随机抽取5位学生的数据如下表所示：1234586542根据表中的数据计算得经验回归方程为，下列结论正确的是（）A.与负相关 B.C.当与时，残差相等 D.每增加1小时，平均减少1个10.下列结论正确的是（）A.随机变量，则B.某同学参加100米达标训练，5次训练的成绩为：11.5秒，13.1秒，14.5秒，11.7秒，14.3秒，从这5次训练的成绩中不放回任意抽取两次，则两次抽取的成绩都比12.8秒好的概率为C.已知，，则是的充要条件D.已知甲、乙两位选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率是0.6，乙获胜的概率是0.4，那么对甲而言“三局两胜”比“五局三胜”更有利11.已知随机变量的取值为不大于的正整数值，它的分布列为：12其中满足：，且.定义的生成函数为.若，，则（）A. B.C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在的展开式中，含项的系数为_______．13.现有8道四选一的单选题，小明对其中7道题有思路，1道题没有思路．有思路的题答对的概率为，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为．小明从这8道题中随机选择1题，他答对该题的概率为________．14.在平面直角坐标系中，动点从出发，每秒向正东、正西、正南、正北任一方向移动1个单位长度，移动6秒后到达原点，则不同的移动路径共有________条．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15.在二项式的展开式中：（1）若展开式中各二项式系数的和是，求展开式中的系数；（2）若展开式中第2项和第6项的二项式系数相等，求展开式中奇数项的二项式系数的和；（3）若展开式中只有第5项的二项式系数最大，求展开式的所有项的系数的和．16.记等比数列的前项和为，已知，，（1）求的通项公式；（2）求，并判断是否成等差数列，说明理由．17.汉绣是武汉国家级非物质文化遗产之一，源于战国时期的楚绣，色彩浓艳、针法粗犷，被誉为“荆楚艺术瑰宝，针尖上的传奇”，其制作需依次完成画样、绣制、修饰三道工序．已知某工艺师每道工序成功的概率分别为，，，且相互独立，当且仅当三道工序都成功，该作品为优秀作品．在某次汉绣比赛中，该工艺师制作了4件作品．（1）求该工艺师制作一件作品时，该作品为优秀的概率；（2）求该工艺师在本次比赛中制作的优秀作品数的分布列及均值；（3）若每件优秀作品得6分，不优秀作品扣3分，求该工艺师在本次比赛中得分的均值和方差．18.已知（1）求函数的极值；（2）设，当时，不等式恒成立，求的最大值；（3）若，请判断集合与集合是否相等，并证明．19.某中学为了解男女学生参加篮球社团的差异，按性别分层随机抽样，在全体学生中抽取人进行调查，设“学生报名篮球社团”，“学生为男生”，据统计，，．（1）根据已知条件，完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加篮球社团与性别有关？性别报名男生女生合计未报名篮球社团报名篮球社团合计（2）篮球社团的选拔设置了如下投篮测试规则：测试活动不限时间，不限次数，测试多少轮由学生自行确定．每轮均设置次投篮，学生参与该轮测试，则至少投一次篮，一旦投中一球，则其本轮测试结束，投不中则继续投篮，直到第次投完，本轮测试结束．已知甲同学报名参加篮球社团，假设甲每次投篮是否投中相互独立，且每次投篮命中的概率均为．求甲在一轮测试中投篮次数的数学期望（用表示）．参考公式与数据：，其中．

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.下面是不同成对数据的散点图，从左到右对应的样本相关系数分别是，其中最小的是（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：利用散点图的变化趋势，判断相关系数的正负，由散点图的集中程度，分析相关系数大小，即可得答案.解答过程：由散点图可得，图1为正相关，则，且相关性较强，则，图2为负相关，则，且相关性较强，则，图3为正相关，则，图4为负相关，但数据相关性较弱，所以，所以相关系数最小的为.故选：B2.已知随机变量，且，则（）A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.6答案：D解析：解答过程：随机变量，且，则3.已知等差数列中，，其前5项和为（）A.10 B.15 C.20 D.25答案：B解析：解答过程：由，，得，则．4.苏轼，字子瞻，号东坡居士，眉州眉山人，北宋文学家､书法家､画家．现有苏轼的本不同诗集全部奖励给名同学，每人至少分得一本，不同分配方案的种数为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先将本不同诗集分成组，组诗集的数量分别为、、，然后再将组诗集分配给名同学，结合分步乘法计数原理可得结果.解答过程：先将本不同诗集分成组，组诗集的数量分别为、、，分组方法种数为种，然后再将组诗集分配给名同学，共有种分配方案．5.某地天气预报：下雨时预报下雨的概率为0.8，不下雨时预报下雨的概率为0.1．该地某季节下雨的概率为0.2．小明按“预报下雨则带伞”行事．若某天小明带伞，则实际下雨的概率为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：设事件为“实际下雨”，事件为“预报下雨”，则事件为“实际下雨且预报下雨”，，，所以．6.袋中装有2个红球和1个白球，除颜色外完全相同，从袋中有放回地依次取出7个球，定义数列为，记为数列的前项和，则的概率为（）A. B.C. D.答案：B解析：解答过程：由题意说明只有两次摸到白球，五次摸到红球，由于每次摸球的结果数之间没有影响，摸到红球的概率是，摸到白球的概率是，故共摸球七次只有两次摸到白球的概率是．7.已知函数的图象在点处的切线与直线平行，设数列的前项和为，则的值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据导数的几何意义可得，利用裂项相消法可得，，即可得结果.解答过程：因为，则，可得，由题意可知：在点处的切线斜率为，即，则，可得，则数列的前项和，所以．8.已知，，若方程有三个不等的实根，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：令，可得，令，由题意可知直线与的图象有三个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.解答过程：令，即，则．令，则，由可得，由可得或，所以函数的减区间为、，增区间为，的极小值为，极大值为，当时，，当时，，如下图所示：因此要使得直线与的图象有三个交点，的取值范围为．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某研究小组调查学生每周课外阅读时间（单位：小时）与语文作业中错别字个数（单位：个）的关系，随机抽取5位学生的数据如下表所示：1234586542根据表中的数据计算得经验回归方程为，下列结论正确的是（）A.与负相关 B.C.当与时，残差相等 D.每增加1小时，平均减少1个答案：ABD解析：解答过程：由于，，经验回归直线过样本中心点，代入得，解得，回归方程为.选项A：，说明随增大而减小，与负相关，A正确；选项B：计算得，B正确；选项C：残差定义为.

当时，，残差；当时，，残差，残差不相等，C错误；选项D：回归斜率，说明每增加1小时，平均减少1，即平均减少1个，D正确.10.下列结论正确的是（）A.随机变量，则B.某同学参加100米达标训练，5次训练的成绩为：11.5秒，13.1秒，14.5秒，11.7秒，14.3秒，从这5次训练的成绩中不放回任意抽取两次，则两次抽取的成绩都比12.8秒好的概率为C.已知，，则是的充要条件D.已知甲、乙两位选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率是0.6，乙获胜的概率是0.4，那么对甲而言“三局两胜”比“五局三胜”更有利答案：ABC解析：思路：对于A，使用二项分布的均值公式结合方差的线性运算性质即可求解，对于B，使用超几何分布的运算公式即可求解，对于C，由条件概率的公式结合独立事件的乘法公式即可求解，对于D，分类讨论各个赛制下的胜利方式，结合二项分布的运算公式即可求解.解答过程：对于A，，则，故A正确，对于B，5次训练的成绩中比12.8秒用时更少的有2次，概率为．故B正确，对于C，充分性验证:若，即，则，此时事件与事件独立，充分性得证,必要性验证:若事件与事件独立，则，则，必要性得证，即是的充要条件，故C正确.对于D，三局两胜：甲获胜的情况为甲前两局全胜或甲前两局一胜一负第三局胜，概率为．五局三胜：甲获胜的情况为前三局甲全胜，前三局甲两胜一负第四局甲赢，前四局甲两胜两负且第五局甲胜，概率为．，所以对甲而言“五局三胜”比“三局两胜”更有利，故D错误.11.已知随机变量的取值为不大于的正整数值，它的分布列为：12其中满足：，且.定义的生成函数为.若，，则（）A. B.C. D.答案：ABC解析：思路：由，可判定A正确；由，结合期望的公式，得到，可判定B正确；由，根据期望的公式，化简得到和，进而可判定C正确，D错误.解答过程：对于A中，由，可得，所以A正确.对于B中，由，可得，所以，所以B正确.对于C和D中，因为，所以，又由，可得，所以，则，故C正确，D错误.故选：ABC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在的展开式中，含项的系数为_______．答案：65解析：思路：需要分别求出，，展开式中的系数，再相加即可.解答过程：由二项式定理得展开式中的系数为；展开式中的系数为；展开式中的系数为；相加为．13.现有8道四选一的单选题，小明对其中7道题有思路，1道题没有思路．有思路的题答对的概率为，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为．小明从这8道题中随机选择1题，他答对该题的概率为________．答案：解析：解答过程：记事件：小明选择的是有思路的题，记事件：答对该题，则，，，，由全概率公式可得．14.在平面直角坐标系中，动点从出发，每秒向正东、正西、正南、正北任一方向移动1个单位长度，移动6秒后到达原点，则不同的移动路径共有________条．答案：225解析：思路：通过列方程得到四个方向的步数组合，进行分类讨论，对于确定的四个方向的步数，因为路径的本质是6步中按顺序排列不同方向的移动，所以用排列组合中多元素的排列公式计算该步数组合对应的路径数，即可得答案.解答过程：设在6秒内，向正北方向移动步，正南方向移动步，因为最后要回到原点，所以向正东和正西移动的距离相等，设为步，由题意可得，所以，所以当时，，此时共有种移动方法；当时，，此时共有种移动方法；当时，，此时共有种移动方法；当时，（舍）；综上，一共有种移动方法．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15.在二项式的展开式中：（1）若展开式中各二项式系数的和是，求展开式中的系数；（2）若展开式中第2项和第6项的二项式系数相等，求展开式中奇数项的二项式系数的和；（3）若展开式中只有第5项的二项式系数最大，求展开式的所有项的系数的和．答案：（1）112；（2）32；（3）1．解析：思路：（1）由二项式系数和为

求

，写出通项公式，令的指数为指定值求系数；（2）由第2项和第6项二项式系数相等得，奇数项二项式系数和为；（3）由只有第5项的二项式系数最大得，令求所有项系数和.（1）二项式展开中，所有二项式系数和为，由题意，得，的通项为，令，得，因此展开式中的系数为．（2）根据题意和组合数性质，，得，即，则二项式系数和为，其奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，都为，故展开式中奇数项的二项式系数的和为．（3）二项式系数中，仅中间项最大说明为偶数，且中间项为第5项，即，得，令，得，即展开式的所有项的系数和为1．16.记等比数列的前项和为，已知，，（1）求的通项公式；（2）求，并判断是否成等差数列，说明理由．答案：（1）．（2），，，，即，所以，，是等差数列．解析：思路：（1）先排除公比为1的情况，再利用等比数列前项和公式求出公比，进而求出通项公式.（2）由等比数列的前项和求出，结合等差中项公式即可验证.（1）设等比数列的公比为，当时，，所以，则，解得．故的通项公式．（2）略17.汉绣是武汉国家级非物质文化遗产之一，源于战国时期的楚绣，色彩浓艳、针法粗犷，被誉为“荆楚艺术瑰宝，针尖上的传奇”，其制作需依次完成画样、绣制、修饰三道工序．已知某工艺师每道工序成功的概率分别为，，，且相互独立，当且仅当三道工序都成功，该作品为优秀作品．在某次汉绣比赛中，该工艺师制作了4件作品．（1）求该工艺师制作一件作品时，该作品为优秀的概率；（2）求该工艺师在本次比赛中制作的优秀作品数的分布列及均值；（3）若每件优秀作品得6分，不优秀作品扣3分，求该工艺师在本次比赛中得分的均值和方差．答案：（1）；（2）；01234（3），．解析：思路：（1）已知三道工序相互独立，利用独立事件乘法公式计算求解；（2）优秀作品数X服从二项分布，求出均值及相关概率，进而求出分布列；（3）建立得分与优秀件数的线性函数，借助期望方差的线性变换性质快速求值．（1）一件作品优秀的概率为:．（2）的所有可能取值为0，1，2，3，4，，．，，，，，的分布列为：01234（3）设该工艺师在本次比赛中得分为Y，则，由（1）知，，则，，所以均值为，方差为．18.已知（1）求函数的极值；（2）设，当时，不等式恒成立，求的最大值；（3）若，请判断集合与集合是否相等，并证明．答案：（1）极小值为，无极大值．（2）3（3），下面进行证明：．当时，，则；当时，；当时，，则，所以．设，则，因为在上单调递增，且，则当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以，所以．所以．解析：思路：（1）求导，根据单调性得出极值；（2）利用参变分离求函数的最小值即可；（3）构造函数，通过求导得出其单调性即可解不等式.（1）函数的定义域为，且，则当时，单调递减；当时，单调递增；因此当时，有极小值，并且极小值为，无极大值．（2）不等式化为，所以对任意恒成立．令，则，令，则，所以函数在上单调递增．又，，则方程在上存在唯一实根，且，．当时，，即，当时，，即