湖北省荆州市2025~2026学年高一下册7月质量检测数学试卷【附解析】

数学本试卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.若复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（）A. B.或 C. D.3.样本数据，，，，，，，的第百分位数是（）A. B. C. D.4.已知平面，，是两条不同的直线，下列命题正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，，则 D.若且，则5.已知，是两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（）A. B. C. D.6.已知，则（）A. B. C. D.7.正四棱台中，上下底面边长之比为，高为，侧棱长为，则该正四棱台的体积为（）A. B. C. D.8.已知函数，，的所有零点之和是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．9.设集合，条件，下列条件中是的充分不必要条件的有（）A. B.C. D.10.若函数，则下列结论正确的有（）A.是偶函数 B.是周期函数C.的值域为 D.在定义域内有个零点11.在中，已知，，点，满足，，线段和相交于点．若，则下列命题中正确的有（）A. B.C.直线，所成角的余弦值为 D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在区间上，与终边相同的角为____________．13.若，，都是正实数，则的最小值为____________．14.如图，该图是一种被称为“正六角反棱柱”的多面体，上、下两底面分别是两个全等且平行的正六边形，侧面由个全等的以正六边形的边为底的等腰三角形组成．若该“正六角反棱柱”的底面棱长为，侧棱长为，则该多面体外接球的表面积为___________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知，都是实数，方程的一个根为（为虚数单位）．（1）求，的值；（2）求．16.已知函数是R上的奇函数．（1）求实数的值，并判断函数的单调性（不需要证明）；（2）若，求实数的取值范围．17.某科技公司研发新一代智能芯片，为测试芯片综合性能，实验室对批量芯片进行性能评分（满分分，最低分），并将所有芯片的性能得分整理，绘制得到频率分布直方图如下：（1）求频率分布直方图中的值；（2）求该芯片性能得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；（3）设该芯片性能得分的平均值为，若按得分是否在区间内进行分层抽样，且抽取枚芯片进行性能测试，得分在区间内的至少抽取枚，试估计的最小值（保留两位小数）．18.如图，在四棱锥中，，，，，，二面角的平面角大小为．（1）若，证明：；（2）在线段上是否存在一点，使得平面，若存在，求出；若不存在请说明理由；（3）设，三棱锥的外接球球心为，二面角和的平面角大小分别为，，求的值19.如图，在平面四边形中，，为线段上一点，且，．（1）若，求；（2）记，，，（ⅰ）证明：；（ⅱ）求的值．

数学本试卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由题意得，则2.若复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（）A. B.或 C. D.答案：A解析：解答过程：复数（为虚数单位）为纯虚数，则且，所以.3.样本数据，，，，，，，的第百分位数是（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：数据已经从小到大排列：，

样本量，，因为不是整数时，所以取第项的数据，第项的数据为，所以第百分位数是，则选项B正确.4.已知平面，，是两条不同的直线，下列命题正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，，则 D.若且，则答案：D解析：解答过程：若，则或，故A错误；若，则或是异面直线，故B错误；若，，则或是异面直线或相交，故C错误；若且，结合已知可得，，所以，故D正确.5.已知，是两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由已知条件结合投影向量的定义可求，再根据向量夹角余弦公式求结论.解答过程：因为向量在向量上的投影向量为，，是两个单位向量，所以，又，所以，所以，即，则向量与向量的夹角为.6.已知，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据题意，化简得到，结合余弦的倍角公式，即可求解.解答过程：因为，则.7.正四棱台中，上下底面边长之比为，高为，侧棱长为，则该正四棱台的体积为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据上下底面边长之比设出上下底面边长，再结合高和侧棱长的关系求出上下底面边长，最后根据正四棱台的体积公式计算体积.解答过程：设正四棱台的下底面边长，因为上下底面边长之比为，所以上底面边长，取上下底面的中心分别为，连接，作于，如图：则，，在中，由勾股定理，，代入可得，解得，则上底面面积，下底面面积，所以该正四棱台的体积.8.已知函数，，的所有零点之和是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：判断含糊的对称性以及函数的单调性，数形结合，可判断出函数的零点，即可求解..解答过程：由，可得，故，即的图象关于点对称；由于单调递增，故在R上单调递增，且增加的趋势较平缓，当时，，当时，，为增函数，其图象也关于点对称，作出函数的图象如图：由此可知的图象有唯一的交点，所以1是的唯一零点，所以函数的所有零点之和是1.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．9.设集合，条件，下列条件中是的充分不必要条件的有（）A. B.C. D.答案：ABC解析：思路：先求解集合，再分析充分不必要条件判断结果；解答过程：不等式等价于解得因为是的充分不必要条件则对应的集合必须是集合的真子集，所以ABC符合题意，D不符合题意；10.若函数，则下列结论正确的有（）A.是偶函数 B.是周期函数C.的值域为 D.在定义域内有个零点答案：AD解析：思路：选项A，根据偶函数的定义求解；选项B，去掉绝对值得到的表达式，根据在时，函数值的变化规律在不同区间不同，结合是偶函数和图像，根据周期函数的定义得到结论；选项C，由是偶函数得到只需研究，在这个范围内，分别讨论和范围内的的表达式，利用表达式结合图像求出值域，从而得到结论；选项D，利用奇偶函数的定义求出是偶函数，只需分析，利用对称得到的零点，的零点个数就是函数的交点个数，在同一坐标系内画出的图像，结合图像和偶函数的定义得到结论.解答过程：选项A函数定义域为，关于原点对称，因为，所以，所以是偶函数，A正确.选项B，，当时，，当时，即时，，当时，即时，，因为在时，函数值的变化规律在不同区间不同，且是偶函数，如图：所以不存在非零常数，使得对于都成立，所以不是周期函数，B错误.选项C，因为是偶函数，只需研究，当时，，当时，即时，，值域，当时，即时，，值域，综上可知，的值域是，不是，C错误.选项D，，定义域为，，则是偶函数，由偶函数性质，只需分析，再利用对称得到的零点，时，，解得，则的零点个数就是函数的交点个数，因为都是偶函数，所以只需考虑时，函数的交点个数，当时，，在同一坐标系内画出的图像，如图所示：由图像可知，当时，函数有个零点，即有个零点，由偶函数对称性，也有个零点，一共个零点，D正确.11.在中，已知，，点，满足，，线段和相交于点．若，则下列命题中正确的有（）A. B.C.直线，所成角的余弦值为 D.答案：BCD解析：思路：设，，选择作为一组基底，通过向量的线性运算表示和，根据平面向量基本定理求参数，即可判断AB；用向量夹角公式求两条直线的夹角的余弦值，即可判断C；通过共线向量间的比例关系求面积间的比例关系，即可判断D.解答过程：因为，所以，则.设，则，又因为，所以，设，则，因为，所以，所以，解得，所以，，选项A错误；选项B正确；，，，所以直线，所成角的余弦值为，选项C正确.由得，则.因为，所以，所以，由得，则,因为，所以，所以.所以，选项D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在区间上，与终边相同的角为____________．答案：解析：解答过程：与终边相同的角为，在区间上的角为.13.若，，都是正实数，则的最小值为____________．答案：2解析：思路：将分子拆分分组后，对两组项分别应用基本不等式放缩，凑出与分母线性相关的结果，验证等号成立条件后即可得到最小值.解答过程：因为，所以，当且仅当时取等号，即的最小值是.14.如图，该图是一种被称为“正六角反棱柱”的多面体，上、下两底面分别是两个全等且平行的正六边形，侧面由个全等的以正六边形的边为底的等腰三角形组成．若该“正六角反棱柱”的底面棱长为，侧棱长为，则该多面体外接球的表面积为___________．答案：解析：思路：利用对称性确定外接球球心在上下底面中心连线中点，先求出两底面间距，再结合勾股定理算出外接球半径，最后代入表面积公式求解.解答过程：如图，设的中点在下底面上的射影为H，上、下两底面间的距离为d，外接球的半径为R，则，，且A到的距离为2，所以，，可得外接球的表面积为，即所求外接球的表面积为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知，都是实数，方程的一个根为（为虚数单位）．（1）求，的值；（2）求．答案：（1），.（2）解析：思路：（1）根据复数相等的条件求解即可；（2）根据复数模的定义求解.（1）将代入方程整理得：，因为，，所以，所以，.（2）由（1)知，，所以，所以.16.已知函数是R上的奇函数．（1）求实数的值，并判断函数的单调性（不需要证明）；（2）若，求实数的取值范围．答案：（1），函数在R上单调递减.（2）解析：思路：（1）由奇函数的定义进行判断；（2）由奇函数及函数的单调性求解．（1）由，得，则，因为函数是R上的奇函数，所以恒成立，所以.则，函数在R上单调递减.（2）由题意得是R上的奇函数，可得，有，又因为函数在R上单调递减，所以，整理得，则，解得，所以实数x的取值范围是.17.某科技公司研发新一代智能芯片，为测试芯片综合性能，实验室对批量芯片进行性能评分（满分分，最低分），并将所有芯片的性能得分整理，绘制得到频率分布直方图如下：（1）求频率分布直方图中的值；（2）求该芯片性能得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；（3）设该芯片性能得分的平均值为，若按得分是否在区间内进行分层抽样，且抽取枚芯片进行性能测试，得分在区间内的至少抽取枚，试估计的最小值（保留两位小数）．答案：（1）（2）74（3）15.43.解析：思路：（1）由频率分布直方图求各组频率，结合频率和1运算求解；（2）同一组中的数据用该组区间的中点值代替，结合平均值的公式求解；（3）要使抽取的100枚芯片的得分在内的不低于75枚，则得分在区间内的频率不低于0.75，进行求解．（1）由，解得.（2）.即平均值为74.（3）由（2）可知.要使抽取的100枚芯片的得分在内的不低于75枚，则得分在区间内的频率不低于0.75.若，则频率；若，则，频率；当b最小时，，且，解得，即b的最小值约为15.43.18.如图，在四棱锥中，，，，，，二面角的平面角大小为．（1）若，证明：；（2）在线段上是否存在一点，使得平面，若存在，求出；若不存在请说明理由；（3）设，三棱锥的外接球球心为，二面角和的平面角大小分别为，，求的值答案：（1）若，则平面平面，平面平面，因为，平面，所以平面，又平面，所以.（2）存在是上一点，使得平面PBC，（3）解析：思路：（1）利用面面垂直的性质定理，由平面平面，推出平面，再结合平面证得；（2）先通过直角三角形射影定理算出，取靠近的四等分点得，结合，利用面面平行判定证平面平面，进而推出平面；（3）先确定底面直角三角形外心位置，由二面角得线线夹角，取各边中点构造二面角平面角，利用外接球球心到两平面垂线构建直角三角形，结合三角函数关系求出、，最终代入式子完成求值.（1）略（2）存在是上靠近点的四等分点，使得平面，理由如下：过点作，因为，所以是直角三角形，所以，由，即，得，所以，所以，平面，平面，所以平面.又，平面，所以，又平面，平面，所以平面.因为，平面，所以平面平面，又平面，所以平面.（3）因为，所以是直角三角形，外心为斜边中点，二面角的大小为，因为，由，可知，所以分别取的中点，连接，因为为三棱锥的外接球球心，故平面，平面，因为平面，所以，而为中位线，所以，所以，又，平面，所以平面，而平面，所以，所以是二面角的平面角，即，同理可证，因为平面，所以，又平面，所以，所以，即，所以在直角三角形中，，同理，所以在直角三角形中，，即，得，又，所以，所以方法提示：19