湖北省武汉市青山区2025~2026学年高一下册调研考试数学试卷【附解析】

数学满分150分，考试用时120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．将答案填在答题卡对应题目的相应位置上．1.若复数，则的虚部为（）A.1 B.4 C. D.52.函数是（）A.周期为的奇函数 B.周期为的奇函数C.周期为的偶函数 D.周期为的偶函数3.已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题一定正确的是（）A.若，，则. B.若，，则.C.若，，，则 D.若，，则4.在四边形中，，，为的中点，则等于（）A. B. C. D.5.如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形的直观图为梯形其中以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体体积为（）A. B.C. D.6.一艘渔船航行到A处时看灯塔B在A的南偏东，距离为海里，灯塔C在A的北偏东，距离为海里，该渔船由A沿正东方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏西方向，则此时渔船距离灯塔C为（）海里A. B. C. D.127.的边在平面内，在平面外，和分别在与平面成30和45的角，且平面与平面成60的二面角，那么的值为（）A.1 B. C. D.1或8.平行六面体所有棱长都相等，，点在底面的投影为中点，且直线与底面夹角为，则三棱锥的外接球被平面截得的截面面积为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．将答案填在答题卡对应题目的相应位置上．9.已知圆锥的顶点为，底面圆心为，为底面直径，，，点在底面圆周上，则（）A.该圆锥的体积为B.该圆锥的侧面积为C.的面积最大值为D.若二面角的大小为，则10.已知，为复数且均不为零，下列命题中正确的是（）A. B.C.若，则 D.若，则11.在中，已知，，则下列说法中正确的是（）A. B.C.若，则的最小值为 D.若，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡对应题目的相应位置上．12.已知平面向量，，且，则__________.13.《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”．现有一个“鳖臑”，底面，，且，则该“鳖臑”外接球的体积为______．14.已知，若在内的解为，则__________.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．把答案填在答题卡对应题目的相应位置上．15.已知，，，为坐标原点．（1）若，求的值；（2）若，且是第二象限角，设在上的投影向量为，求的坐标．16.已知函数.（1）求的对称轴和在上的值域；（2）将函数的图象先向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数的单调递增区间.17.如图，在正三棱柱中，，为棱的中点.（1）证明：平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值；（3）求三棱锥的体积.18.在中，三内角、、的对边分别为、、，满足．（1）求角的大小；（2）若，，的平分线交于，求线段的长；（3）当，时，设表示成的形式，求的最值．19.离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标，设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与P相邻的顶点，且平面…平面和平面为多面体M的所有以P为顶点的面．现给出如图所示的三棱锥．（1）求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和；（2）若PA⊥平面ABC，，三棱锥在顶点C处的离散曲率为．点Q在棱PB上，直线CQ与平面ABC所成角的余弦值为，求BQ的长度

数学满分150分，考试用时120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．将答案填在答题卡对应题目的相应位置上．1.若复数，则的虚部为（）A.1 B.4 C. D.5答案：A解析：解答过程：由，所以的虚部为．2.函数是（）A.周期为的奇函数 B.周期为的奇函数C.周期为的偶函数 D.周期为的偶函数答案：C解析：思路：根据题意，结合正弦型函数的周期性和奇偶性即可求解.解答过程：因为，而，所以，即为偶函数，周期，所以是周期为的偶函数，故C正确.3.已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题一定正确的是（）A.若，，则. B.若，，则.C.若，，，则 D.若，，则答案：D解析：思路：由直线与平面、平面与平面的位置关系进行判断．解答过程：对于A，若，，则与可以平行或相交，故A项错误；对于B，若，，则与可以平行，异面，相交，故B项错误；对于C，若，，，则与可以平行，异面，相交，故C项错误；对于D，若，由线面平行的定义，存在，使得，由得，而，得，故D项正确．4.在四边形中，，，为的中点，则等于（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：.则.5.如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形的直观图为梯形其中以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体体积为（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：根据斜二测画法规则还原出原图形，进而确定旋转体的形状，再利用几何体体积公式计算即可.解答过程：由题意，，所以，如图，原四边形中，，则以直角梯形的边为轴旋转一周得到的几何体为圆台，故其体积为.6.一艘渔船航行到A处时看灯塔B在A的南偏东，距离为海里，灯塔C在A的北偏东，距离为海里，该渔船由A沿正东方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏西方向，则此时渔船距离灯塔C为（）海里A. B. C. D.12答案：D解析：思路：正弦定理和余弦定理综合应用.解答过程：灯塔在A的南偏东，渔船到后，在的南偏西，所以，，因此，在中，由正弦定理因为，，，所以灯塔在北偏东，渔船沿正东航行，因此，在中，已知，，，由余弦定理因此海里.7.的边在平面内，在平面外，和分别在与平面成30和45的角，且平面与平面成60的二面角，那么的值为（）A.1 B. C. D.1或答案：D解析：思路：从向平面作垂线，作，证得，分为锐角和钝角，由线面角及二面角结合勾股定理及余弦定理求解即可.解答过程：从向平面作垂线，连接，作，连接，，则，平面，则平面，又平面，则，如图所示：设，是二面角的平面角，，由勾股定理，当为锐角，在内，，即,;当为钝角，在之外，，根据余弦定理，，，综上：的值为1或.故选：D．8.平行六面体所有棱长都相等，，点在底面的投影为中点，且直线与底面夹角为，则三棱锥的外接球被平面截得的截面面积为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：平面与球相交截面是一个圆，首先确定外接球球心及半径，再求球心到平面距离，最后根据勾股定理求截面半径．解答过程：如图，设中点为，，，，，即，，则，．又平面，平面，，则，，即，三棱锥中，，均为直角三角形，且平面平面，三棱锥的外接球是以为直径，为球心，半径，设到平面的距离为，外接球被平面截得的截面半径为，对于三棱锥，高为，底面积，故，，，，解得，截面半径，面积为．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．将答案填在答题卡对应题目的相应位置上．9.已知圆锥的顶点为，底面圆心为，为底面直径，，，点在底面圆周上，则（）A.该圆锥的体积为B.该圆锥的侧面积为C.的面积最大值为D.若二面角的大小为，则答案：AB解析：思路：根据圆锥的体积、侧面积计算即可；利用三角形面积计算三角形面积、结合二面角的知识计算线段长；解答过程：依题意，，所以，A选项，圆锥的体积为，A选项正确；B选项，圆锥的侧面积为，B选项正确；C选项，，所以，在中，，，，当点在底面圆周上运动时，的最大值为底面圆的直径，最小值为，在中，由余弦定理：，当的最大值为底面圆的直径时，，即，当最小时，最小，此时最大，的范围是因为在单调递增，在单调递减，所以当时，取得最大值，此时，因此的面积最大值为，C选项错误；D选项，设是的中点，连接，，因为二面角的大小为，则，因为，所以，故，D选项错误；10.已知，为复数且均不为零，下列命题中正确的是（）A. B.C.若，则 D.若，则答案：ABC解析：思路：设，，且，应用复数的乘除法、共轭复数的定义及模的概念依次判断A、B，应用共轭复数的运算及特殊值法判断C、D.解答过程：设，，且，则，，所以，，即，A对；，，所以，B对；由，且，则，故，C对；若，满足，此时不满足，D错.11.在中，已知，，则下列说法中正确的是（）A. B.C.若，则的最小值为 D.若，则答案：BCD解析：思路：建立平面直角坐标系，由条件可得，再由正弦定理及同角三角函数关系式可判断A；由两角差的正切公式可得B；对CD由平面向量的数量积坐标运算可得.解答过程：如图：以为原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系：设，，则

，，，.，由，所以，即，解得.A，由正弦定理，且，得.因为，

所以，因此，，得.由同角三角函数关系得，故A错误；B，再由，故B正确；C，由得，则，对平方得：

，，当且仅当时等号成立，因此C正确；D，若​，则​，得坐标：，因此

，所以，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡对应题目的相应位置上．12.已知平面向量，，且，则__________.答案：解析：思路：由，可得，将平方，求解即可.解答过程：因为，所以，又，则，所以，所以，所以，13.《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”．现有一个“鳖臑”，底面，，且，则该“鳖臑”外接球的体积为______．答案：解析：思路：确定“鳖臑”外接球的球心，求出球半径，再求出球的体积.解答过程：取中点，连接，由底面，平面，得，而，平面，则平面，又平面，因此，，该“鳖臑”外接球的球心为，球半径，所以该“鳖臑”外接球的体积为.14.已知，若在内的解为，则__________.答案：##解析：思路：求出函数的对称轴，作出函数的图象，得到，代入可得，由题意知，根据范围求出即可求出答案.解答过程：由题意知，的最小正周期，令，则，即图象的对称轴为，如图，作出在上的图象，因为，所以，即，所以，由题意知，且，所以，所以，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．把答案填在答题卡对应题目的相应位置上．15.已知，，，为坐标原点．（1）若，求的值；（2）若，且是第二象限角，设在上的投影向量为，求的坐标．答案：（1）（2）解析：思路：（1）由向量平行坐标关系得方程，可求得的值；（2）利用模长条件得，化简求​，结合象限得，再代入投影向量公式计算．（1）因为，，，所以，，又，所以，则，即．（2）因为，，所以，因为，所以，即，．又是第二象限角，所以，因为，，所以，所以．16.已知函数.（1）求的对称轴和在上的值域；（2）将函数的图象先向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数的单调递增区间.答案：（1）对称轴；（2）．解析：思路：（1）先根据三角恒等变形化简可得，再利用整体法求对称轴及值域；（2）先由三角函数平移变换得到，再整体代入求单调区间即可．（1）由题意得，令，，则，所以对称轴为，因为，所以，所以，则的对称轴为，在上的值域；（2）向右平移个单位长度得到，再向上平移1个单位长度得到，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到，令，解得，所以的单调递增区间为．17.如图，在正三棱柱中，，为棱的中点.（1）证明：平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值；（3）求三棱锥的体积.答案：（1）取的中点，连接，由，得四边形为平行四边形，所以.由，，得四边形为平行四边形，所以.因为平面，平面，所以平面.同理可得，平面.因为平面，所以平面平面.又平面，所以平面；（2）（3）解析：思路：（1）取的中点，连接，由面面平行的判定定理可证平面平面，从而证得平面；（2）由（1）知异面直线与所成角为，求出各边长，根据余弦定理可得，即异面直线与所成角的余弦值；（3）先求得正三棱柱的体积，再根据三棱锥与正三棱柱的体积比求得三棱锥的体积.（1）略（2）由（1）知，所以为异面直线与所成的角，，，，所以，所以.所以，即异面直线与所成角的余弦值为.（3）三棱柱为正三棱柱，所以其体积为.三棱锥的体积.18.在中，三内角、、的对边分别为、、，满足．（1）求角的大小；（2）若，，的平分线交于，求线段的长；（3）当，时，设表示成的形式，求的最值．答案：（1）（2）（3）；无最大值．解析：思路：（1）依题意，利用三角恒等变换可得，进而可得；（2）利用等面积法结合条件计算即可；（3）由（1）知，解直角三角形可得，，