2025-2026学年山西省忻州市定襄中学高一（下）段考数学试卷（6月份）（A卷）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年山西省忻州市定襄中学高一（下）段考数学试卷（6月份）（A卷）一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.在复平面内，（1+3i）（3-i）对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.四边形ABCD是平行四边形，=（2，4），=（1，3），则=（）A.（-1，-1） B.（1，1） C.（2，4） D.（3，7）3.设m,n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（）A.若m⊥n,n∥α，则m⊥α B.若m⊥α，n∥α，则m⊥n

C.若m⊥α，α⊥β，则m∥β D.若m⊥n,n⊥β，则m∥β4.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线AC与A1B所成的角为（）

​​​​​​​A.90° B.60° C.45° D.30°5.在△ABC中，BC=2，AC=1+，AB=，则A=（）A.45° B.60° C.120° D.135°6.在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2+b2=2c2，则cosC的最小值为（）A. B. C. D.7.如图，某校数学兴趣小组对古塔AB进行测量，AB与地面垂直，从地面C点看塔顶A的仰角β为60°，沿直线BC前行20米到点D此时看塔顶A的仰角α为30°，根据以上数据可得古塔AB的高为（）

A. B.20 C.10 D.8.已知矩形ABCD，AB=1，BC=2，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折的过程中（）A.存在某个位置，使得直线AB和直线CD垂直

B.存在某个位置，使得直线AC和直线BD垂直

C.存在某个位置，使得直线AD和直线BC垂直

D.无论翻折到什么位置，以上三组直线均不垂直二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.已知向量，则下列结论正确的是（）A. B.

C.向量与的夹角为 D.若在上的投影向量为10.在△ABC中，已知a=5，b=7，c=8.则（）A.△ABC为锐角三角形 B.△ABC的面积为

C. D.11.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中（）A.AC与BD1的夹角为60°

B.二面角D-AC-D1的平面角的正切值为

C.AB1与平面ACD1所成角的正切值

D.点D到平面ACD1的距离为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若复数（1-2i）（a+i）是纯虚数，则实数a的值为

.13.在△ABC中，AB=，∠A=75°，∠B=45°，则AC=

．14.在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，A1B1=1，AA1=，则该棱台的体积为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

设复数z1=1-ai（a∈R），复数z2=3+4i．

（1）若，求实数a的值；

（2）若是纯虚数，求|z1|．16.(本小题15分)

已知向量，.

（1）若，求x；

（2）若，求x；

（3）若x=-1，求与的夹角.17.(本小题15分)

如图，在△ABC中，D是BC上的点，AB=3，BD=4，C=，AD=.

（1）求角B的大小；

（2）求△ACD的面积.18.(本小题17分)

《九章算术》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”，这里所谓的“阳马”，就是底面是矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥P-ABCD为阳马，PA⊥底面ABCD，，PA=AD=1，E，F分别为AB，PC的中点.

（Ⅰ）证明：EF∥平面PAD；

（Ⅱ）证明：EF⊥平面PCD；

（Ⅲ）求直线BF与平面ABCD所成角的大小.19.(本小题17分)

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AC⊥BC，AC=BC=CC1，E，F分别为A1B1，BC的中点．

（Ⅰ）求证：AC⊥C1F；

（Ⅱ）求证：BE∥平面A1C1F；

（Ⅲ）在棱CC1上是否存在一点G，使得平面B1EG⊥平面A1C1F？说明理由．

1.【答案】A

2.【答案】A

3.【答案】B

4.【答案】B

5.【答案】A

6.【答案】C

7.【答案】A

8.【答案】A

9.【答案】AD

10.【答案】AB

11.【答案】BCD

12.【答案】-2

13.【答案】2

14.【答案】

15.【答案】解：（1）∵z1=1-ai（a∈R），z2=3+4i，

∴z1+z2=4+（4-a）i，

由，得4-a=0，即a=4；

（2）由=是纯虚数，

得，即，

∴|z1|=||=．

16.【答案】；

-6；

．

17.【答案】解：（1）由于AB=3，BD=4，AD=，

在△ABD中，cosB===，

又B∈（0，π），

可得B=;

（2）由（1）可知B=，C=，所以∠BAC=，

又AB=3，所以AC=3，BC=6，

由BD=4，可知DC=2，

所以S△ACD=AC•DC•sinC==．

18.【答案】证明：（Ⅰ）如图，取PD的中点M，连接AM，MF，

因为M、F分别为PD、PC的中点，

所以MF∥DC，且，

又因为AE∥DC，且，

所以MF∥AE，且MF=AE，

所以四边形AMFE为平行四边形，

所以EF∥AM，

因为AM⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，

所以EF∥平面PAD．

（Ⅱ）因为AD=PA，所以AM⊥PD，

因为PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD，

又CD⊥AD，PA，AD⊂平面PAD，且PA∩AD=A，

所以CD⊥平面PAD，

所以CD⊥AM，

又因为PD∩CD=D，PD，CD⊂平面PCD，

所以AM⊥平面PCD，

由EF∥AM，

所以EF⊥平面PCD．

（Ⅲ）解：连接AC，BD交于点O，连接OF，

因为点O，F分别为AC，PC的中点，

所以OF∥PA，

所以OF⊥平面ABCD，

所以BO为BF在平面ABCD中的射影，

所以∠FBO为BF与平面ABCD所成角，

由已知得，，

所以，

所以．

19.【答案】（Ⅰ）证明：在三棱柱ABC-A1B1C1中，

∵侧棱垂直于底面，∴CC1⊥平面ABC，则CC1⊥AC．

∵AC⊥BC，CC1∩BC=C，∴AC⊥平面BCC1B1．

∵C1F⊂平面BCC1B1，∴AC⊥C1F；

（Ⅱ）证明：取A1C1的中点H，连结EH，FH．

则EH∥B1C1，且，

又∵BF∥B1C1，且，

∴EH∥BF，且EH=BF．

∴四边形BEHF为平行四边形，则BE∥FH．

又BE⊄平面A1C1F，FH⊂平面A1C1F，

∴BE∥平面A1C1F；

（Ⅲ）解：在棱CC1上存在点G，且G为CC1的中点．

证明：连接EG，GB1．

在正方形BB1C1C中，

∵F为BC中点，∴△B1C1G≌△C1CF．

∴