计算机控制系统 课件 第3、4章 计算机控制系统数学描述、计算机控制系统的性能分析

第3章

计算机控制系统数学描述

引言

3.1差分描述3.1.2差分方程微分方程是描述连续系统的方程，差分方程是描述离散系统的方程。现研究图3-1所示系统。其中，图3-1a是一连续系统，它可以用下述微分方程描述：3.1差分描述图3-1离散系统的差分表示

3.1差分描述图3-1离散系统的差分表示

3.1差分描述

3.1差分描述

3.1差分描述

表3-1常用函数z变换

续表3-1常用函数z变换

例3-12利用复域微分定理求

的z变换。解：由于

，于是得例3-13利用复域微分定理求单位加速度

的z变换。解：根据复域微分定理，有再结合单位速度函数z变换结果，有联立上述两式，并整理可得

例3-14试用级数展开法求

z

变换的反变换：解：

由此可得

则对该例，从相关系数中可以归纳得

3.3离散时间系统图3-2离散系统

3.3离散时间系统图3-2离散系统D的参数不随时间变化，即系统D的响应不取决于输入作用的时刻，则系统是常系数的，即定常系统，输入输出的关系为大部分实际系统随时间的增长，其参数都是要发生变化的。如果在系统运行期间，参数变化超过了一定范围，则认为系统是时变系统；如果参数变化范围很小，可以忽略不计，则仍认为是线性常系数系统。线性常系数离散控制系统一般采用差分方程来描述。在图3-2中，系统在某一时刻k的输出不仅取决于本时刻的输入，还与过去时刻的输入数值序列有关，而且还与该时刻以前的输出值有关3.3离散时间系统图3-2离散系统

3.3离散时间系统3.3.2z域描述—离散时间系统的脉冲传递函数1.脉冲传递函数的定义线性离散控制系统中，在零初始条件下，一个系统（或环节）输出脉冲序列的z变换与输入脉冲序列的z变换之比，定义为该系统（或环节）的脉冲传递函数，用公式表示为应当指出，无论是连续系统还是离散系统，都是在零初始条件下的，同时脉冲传递函数也仅取决于系统本身的特性，与输入量无关。3.3离散时间系统

3.3离散时间系统图3-3脉冲传递函数框图

3.3离散时间系统图3-4脉冲响应如在0≤t<T时间间隔内，作用于W(s)的输入脉冲为x(0T)，则W(s)的输出响应为式中，g(t)是系统（或环节）的单位脉冲响应，满足在T≤t<2T时间间隔内，有两个输入脉冲作用于系统：一个是t=0时的x(0T)，它产生的脉冲响应依然存在；另一个是t=T时的x(T)。所以，在此区间的脉冲响应为式中：所以，当系统（或环节）的输入为一系列脉冲时，输出应为各个脉冲响应之和。这样，在kT≤t<(k+1)T时间间隔内，输出响应为式中：3.3离散时间系统

3.3离散时间系统(2)由拉普拉斯变换求出W(z)由图3-3得对等式两边取脉冲采样函数的拉普拉斯变换，由2.2.3节采样信号的频域分析可知，采样信号的频谱为

于是可以得到

所以用z变换式表示为因此，若已知系统（或环节）的拉普拉斯变换式W(s)，即已知连续系统的传递函数模型，则可以直接应用z变换进行离散系统模型W(z)的推导，W(z)=Z[W(s)]，所应用的方法有z变换的部分分式法和留数计算法。3.3离散时间系统（3）由差分方程求出脉冲传递函数W(z)设线性离散控制系统用下列差分方程来描述：在零初始条件下，对上式两边取z变换得所以该离散系统的脉冲传递函数为在处理实际系统时，若给出了系统或环节的差分方程，则可用式（3-32）求其对应的脉冲传递函数。3.3离散时间系统

3.4框图图3-5串联环节间有采样开关对于图3-6所示环节间没有采样开关的情况,根据脉冲传递函数定义，得可以看出,中间没有采样开关时,其总的传递函数等于各环节传递函数相乘后再取z变换。3.4框图图3-6串联环节间没有采样开关

3.4框图2.并联环节的脉冲传递函数对于图3-7a与图3-7b所示的两种情况，根据叠加原理，有上述各环节串联和并联的连接形式，并没有构成闭环的反馈连接形式，因此所得到的系统输出信号Y(z)与输入信号R(z)之间的脉冲传递函数W(z)统称为开环传递函数。3.4框图图3-7两个环节并联

3.4框图图3-8误差离散系统框图

3.4框图图3-8误差离散系统框图2）图3-9所示为具有数字校正装置的闭环离散系统，在该系统的正向通道中，有脉冲传递函数为D(z)的数字校正装置，可由计算机软件来实现，其作用与连续系统中的串联校正装置相同。输出信号的拉普拉斯变换为式中，D*(s)是D(z)的z反变换。则Y(s)的z变换为又因误差信号的拉普拉斯变换为3.4框图图3-9带有数字校正的离散系统框图

3.4框图图3-9带有数字校正的离散系统框图3）图3-10所示为扰动输入时的离散系统，该系统连续部分的扰动输入信号N(s)对输出量的影响是衡量系统性能的一个重要指标。分析方法与连续系统一样，在求输出对扰动的脉冲传递函数时，认为输入量r(t)=0，即R(s)=0。为了求输出与扰动之间的关系，首先将图3-10变换为图3-11，由图3-11得到输出信号的拉普拉斯变换为3.4框图图3-10扰动输入时的离散系统框图图3-11扰动输入时的等效框图

3.4框图图3-11扰动输入时的等效框图3.4框图表3-2几种常见采样系统的z变换几种常见采样系统的框图,以及它们的脉冲传递函数、输出量的z变换列于表3-2中,其中第3、4、6行的框图,因为输入信号没有经过采样,所以只能得到输出量的

z

变换,而不能定义脉冲传递函数。1.数字部分的脉冲传递函数计算机内的控制算法，通常以差分方程表示。图3-12所示的计算机控制系统，输入计算机的为离散的误差信号E(z)，输出计算机的为离散的控制信号U(z)，表示成差分方程为或写成递推形式：3.5典型计算机控制系统的脉冲传递函数图3-12计算机控制系统框图控制算法的差分方程式（3-42）通过在初始值为零的条件下进行z变换，得到的数字部分的脉冲传递函数如下：在z域中设计的计算机控制系统控制算法（或数字控制器）通常都是以z传递函数的形式给出的，编写计算机程序时，可将设计好的z传递函数形式的控制算法化为相应的差分方程式（3-42），进而导出控制信号u(k)的递推计算式（3-43）并进行程序编写。3.5典型计算机控制系统的脉冲传递函数

3.5典型计算机控制系统的脉冲传递函数

3.5典型计算机控制系统的脉冲传递函数3.6.1云台电动机广义脉冲传递函数云台电机用于驱动云台水平、垂直转动，实现摄像大范围监控与目标跟踪，应用于相机、无人机、机器人等领域。MS4005云台电机采用电驱一体高度集成方案，内置无刷电机、协议转换、驱动、编码器及通信接口。理论与实验表明：电枢电感较小时可忽略，电机本体等效为典型二阶系统，传递函数见式（3-49）。分别计算采样周期T=0.01s，0.1s，0.5s时的广义被控对象脉冲传递函数，并对比单位阶跃输入下的系统输出。解：广义被控对象脉冲传递函数为采样周期T=0.01s，0.1s，0.5s时的广义被控对象脉冲传递函数如表3-3所示，系统输出如图3-13所示。可以看出，当采样周期T=0.01s时，离散输出与连续输出最为接近，即采样周期越小，离散系统越接近连续系统。3.6实例仿真3.6实例仿真表3-3不同采样周期下广义被控对象脉冲传递函数（云台电动机）图3-13给定输入u=1的系统输出响应（云台电动机）3.6.2电阻炉广义脉冲传递函数电阻炉温计算机控制系统的结构图如图3-14所示。炉温计算机控制系统工作过程如下：电阻炉温度这一物理量经过热电偶检测后，变成电信号（毫伏级），再经变送器变成标准信号（1～5V或4～20mA）从现场进入控制室；经A/D转换器采样后变成数字信号进入计算机，与计算机内部的给定温度比较，得到偏差信号，该信号经过计算机内部的应用软件，即控制算法运算后得到一个控制信号的数字量，再经由D/A转换器将该数字量控制信号转换成模拟量；3.6实例仿真图3-14炉温计算机控制系统模拟量控制信号作用于执行机构触发器，进而控制双向晶闸管对交流电压（220V）进行PWM调制，达到控制加热电阻两端电压的目的；电阻两端电压的高低决定了电阻加热能力的大小，从而调节炉温变化，最终达到计算机内部的给定温度。与电阻炉的时间常数相比，晶闸管调压器、温度变送器、功率放大器等环节都可简化为比例环节。3.6实例仿真图3-14炉温计算机控制系统

3.6实例仿真3.6实例仿真表3-4不同采样周期下广义被控对象脉冲传递函数（电阻炉）图3-15给定输入u=1时的系统输出响应（电阻炉）

本章小结第4章

计算机控制系统的性能分析控制系统必须在稳定状态下运行并满足既定的稳态与动态特性要求，同时具备干扰抑制能力和鲁棒性，这些性能指标的评估属于控制系统性能分析的研究范畴。计算机控制系统的特性分析基于给定系统模型，对其稳定性、准确性、快速性等性能进行评估，通过分析既能定量评估系统性能优劣，更能建立性能指标与系统数学模型结构及参数之间的定性和定量关系，为系统设计提供指导。本章将深入探讨计算机控制系统的性能分析方法：首先通过s平面与z平面的映射关系建立复变量间的内在联系，进而分析离散系统稳定性的充要条件，包括临界增益求取及采样周期对稳定性的影响；随后讨论与连续系统相似的离散系统稳态误差概念及计算方法，并阐明在包含零阶保持器的系统中速度误差系数、加速度误差系数与采样周期无关的特性；最后通过z平面极点类型与位置分析，揭示系统动态响应形态的描述方法。这些内容共同构成了计算机控制系统从理论分析到设计指导的完整研究框架。引言

4.1s平面和z平面之间的映射图4-1s平面与z平面1.

s平面虚轴的映射

s平面整个虚轴映射为z平面单位圆，s左半平面任一点映射在z平面单位圆内，右半平面任一点映射在单位圆外，如表4-1所示。表4-1s平面与z平面关系4.1s平面和z平面之间的映射

4.1s平面和z平面之间的映射

图4-2旁带映射图4-3主带映射4.1s平面和z平面之间的映射

4.1s平面和z平面之间的映射图4-4例4-1的映射关系4.s平面主带的映射当s平面的点沿主带左半平面的周边走一圈时，其映射关系可用图4-5表示。s平面的点沿旁带左半平面的周边走一圈时,其映射关系也可用图4-5表示。当s平面的点沿主带右半平面的周边走一圈时，其映射关系可用图4-6表示。类似地,s平面的点沿旁带右半平面的周边走一圈时,其映射关系也可用图4-6表示。4.1s平面和z平面之间的映射图4-5s平面主带左半平面的映射图4-6s平面主带右半平面的映射

4.1s平面和z平面之间的映射

4.1s平面和z平面之间的映射图4-7等频率线的映射

4.1s平面和z平面之间的映射图4-8等衰减率线的映射

4.1s平面和z平面之间的映射图4-9阻尼比线及其映射

4.1s平面和z平面之间的映射图4-9阻尼比线及其映射

4.1s平面和z平面之间的映射图4-10等自然频率轨迹映射

4.2计算机控制系统稳定性分析图4-11线性离散系统

4.2计算机控制系统稳定性分析在s平面内在z平面内σ>0系统不稳定σ

<0系统稳定σ=0临界稳定

4.2计算机控制系统稳定性分析

4.2计算机控制系统稳定性分析因而由式(4-9)可以看出，z平面的单位圆变成w平面上的虚轴，如图4-12所示。w平面上的稳定区就是左半平面。双线性变换就是通过式(4-7)将z平面上离散系统的特征方程变换到w平面上，再判定特征方程的根是否位于w平面左半平面来确定系统是否稳定。式(4-7)的w变换定义是为了保证w平面与s平面在低频段频率特性相同。单从考查系统稳定性的角度来看，w变换也可以定义如下：上述w变换定义具有同式(4-7)相同的性质，即将z平面单位圆映射为w左半平面，但是与采样周期T无关，简化了w变换过程。为证明z-w变换能满足图4-12所示的对应关系设z=x+jy，w=u+jv，则4.2计算机控制系统稳定性分析图4-12z-w的映射关系

4.2计算机控制系统稳定性分析

4.2计算机控制系统稳定性分析表4-3第一列出现零时的处理方法及不稳定情况第一列出现零劳斯表处理方法第一列变号及不稳定情况系统有不稳定根的情况

非全零行(所在行不全为零)

用一个趋近于零的正数ε代替零进行计算

必有变号，不稳定(不含临界稳定)

有正实部根

全零行(该行无论有几项,均为零)

用全零行的上一行各项组成辅助方程,再以该辅助方程对s求导得到的各项系数代替该全零行

有变号时不稳定无变号时临界稳定

有对称于原点的根(有变号时有正实部根,无变号时有虚根)

4.2计算机控制系统稳定性分析图4-13劳斯稳定判据下的系统稳定性情况2)建立劳斯行列表：行列表的前两行是由特征方程的系数得到的，其余行计算如下：3)利用劳斯判据的充要条件来判断系统稳定性及不稳定时右半平面根的个数。4.2计算机控制系统稳定性分析

4.2计算机控制系统稳定性分析图4-14例4-4计算机控制系统结构

4.2计算机控制系统稳定性分析0.63212.朱利稳定判据朱利（Jury）稳定判据与劳斯稳定判据类似,可直接依据特征方程系数判别系统稳定性,无需求解特征根；其优势在于能够直接在z域分析,无需进行z-w变换,但该判据仅能判定系统稳定与否。现在来讨论朱利稳定判据,假设离散系统的特征方程为根据上式的系数列出如下的朱利阵列：4.2计算机控制系统稳定性分析注意到阵列中最后一行包含3个元素，因此，当特征方程的阶数n=2时，只需要1行；当n=3时，只需要3行。前两行不需要计算，只是将F(z)的原系数先倒排，然后顺排。从第3行开始，用两行两列的行列式进行计算，阵列中偶数行的元素就是前一行元素反过来的顺序，如此计算到第(2n−3)行各项为止，奇数行元素的定义为4.2计算机控制系统稳定性分析

4.2计算机控制系统稳定性分析1）一阶系统(n=1)：

的稳定条件为2）二阶系统(n=2)：

的稳定条件为3）三阶系统(n=3)：

的稳定条件为4.2计算机控制系统稳定性分析

4.2计算机控制系统稳定性分析4.2.3采样周期对系统稳定的影响系统的稳定性是系统的固有特性，与系统输入信号的形式无关，主要取决于系统结构与参数，具体地讲，连续系统的稳定性取决于系统的开环增益、闭环极点、传输延迟等。对于计算机控制系统而言，其控制对象是连续系统，除了以上几个影响系统稳定性的因素外，采样周期与零阶保持器均对稳定性有重要影响。而零阶保持器的滞后特性取决于采样周期的大小，且连续系统等效离散化后的闭环系统的传递函数模型以及极点分布与采样周期的选取也同样有关。综上所述，对系统稳定性的影响归根结底还是取决于采样周期对系统的影响，采样周期是系统的一个重要参数，它的大小影响特征方程的系数，从而对闭环系统的稳定性有明显的影响。同一个计算机控制系统，取某个采样周期系统是稳定的，然而改换成另一个采样周期，系统有可能变得不稳定。一般来说，采样周期越小，系统稳定性越高。采样周期对系统稳定性的影响主要是由于计算机控制系统中采样保持器引起的，若不考虑采样保持器的影响，则采样周期与计算机控制系统的稳定性没有必然的联系。系统的稳定性是由采样周期和被控对象本身的特性（如增益）共同决定的。下面通过一个例子来说明这个问题。4.2计算机控制系统稳定性分析

4.2计算机控制系统稳定性分析图4-15例4-6计算机控制系统结构若不考虑零阶保持器，被控对象的离散化传递函数模型为则闭环系统的特征方程解方程得到特征根为由于

，因此，无论采样周期取何值(T>0)，系统总是稳定的，即系统的稳定性与采样周期T无关。4.2计算机控制系统稳定性分析

4.3计算机控制系统稳态过程分析图4-16计算机控制系统结构

4.3计算机控制系统稳态过程分析

4.3计算机控制系统稳态过程分析

4.3计算机控制系统稳态过程分析

4.3计算机控制系统稳态过程分析

4.3计算机控制系统稳态过程分析对于图4-11所示的典型计算机控制系统，根据式（4-22）、式（4-23）、式（4-24），可以得到三种典型输入时的稳态误差，如表4-4所示。4.3计算机控制系统稳态过程分析表4-4三种典型输入时各类系统的稳态误差4.3.3采样周期对稳态误差的影响离散系统中采样周期T是系统的一个重要参数，故其大小对系统的动态特性及稳定性都有很大的影响，由离散系统的误差系数计算公式看，速度误差系数Kv、加速度误差系数Ka，以及与之相对应的稳态误差都与采样周期T有关，似乎只要减小了采样周期T就可以达到提高控制精度、改善稳态误差的目的。那么，采样周期T对闭环系统的稳态误差是否有影响呢？实际上，具有零阶保持器的计算机控制系统，在对象与零阶保持器一起离散后，系统的稳态误差与采样周期T之间没有必然的联系。如果被控对象中包含与其类型相同的积分环节（即Ⅰ型系统被控对象中要求有1个积分环节，Ⅱ型系统被控对象中要求有2个积分环节，以此类推），则系统稳态误差只与系统的类型、放大系数和输入信号的形式有关，而与采样周期T无关；反之，如果被控对象中不包含足够多的积分环节，则稳态误差将与采样周期有关，采样周期越小，系统的稳态误差越也就越小。下面通过一个例题进行说明。4.3计算机控制系统稳态过程分析

4.3计算机控制系统稳态过程分析图4-17例4-7计算机控制系统结构

4.3计算机控制系统稳态过程分析

4.3计算机控制系统稳态过程分析

4.4计算机控制系统暂态过程分析图4-18系统阶跃响应特性

图4-19系统阶跃响应的采样

4.4计算机控制系统暂态过程分析

4.4计算机控制系统暂态过程分析

4.4计算机控制系统暂态过程分析

4.4计算机控制系统暂态过程分析式（4-33）表明，系统复极点的相角决定了复极点的暂态响应分量在其每个振荡周期内的采样次数，其关系为复极点的暂态响应分量的振荡周期和频率为若系统暂态响应为衰减振荡形式,依据工程经验,应按照每个振荡周期采样6～10次的准则来选取采样周期。极点在z平面上的分布及其响应如图4-21所示。从图中可见,为使系统的暂态响应超调量小,调整时间短,系统的极点应分布在z平面单位圆内正实轴原点附近。4.4计算机控制系统暂态过程分析图4-21闭环极点分布与相应的动态响应形式4.4.3采样周期对暂态性能的影响采样周期是影响计算机控制系统稳定性的重要参数，系统暂态响应与稳定性紧密相关，既能判断系统是否稳定，也可体现相对稳定程度，因此采样周期同样显著影响系统暂态响应；通常采样周期越大，越不利于系统稳定与动态性能。例4-8计算机控制系统结构如图4-22所示，分析当采样周期T分别为0.5s、1s、2s、3s时系统的暂态响应特性。解：对象脉冲传递函数为于是得到系统的开环脉冲传递函数为闭环脉冲传递函数为4.4计算机控制系统暂态过程分析图4-22例4-8计算机控制系统实例

4.4计算机控制系统暂态过程分析图4-23T=0.5s的系统响应

4.4计算机控制系统暂态过程分析图4-24T=1s的系统响应

4.4计算机控制系统暂态过程分析图4-25T=2s的系统响应

(4)T=3s的情况系统的闭环脉冲传递函数为这种情况下，两个闭环极点变为负的实极点，且其中一个极点(-0.778)靠近-1处，可以预见系统暂态响应会出现大幅度的振荡。系统输出的单位阶跃响应序列为系统的阶跃响应如图4-26所示。显然，系统确实存在衰减较慢的大幅度振荡。4.4计算机控制系统暂态过程分析图4-26T=3s的系统响应

4.5计算机控制系统频域特性分析

4.5计算机控制系统频域特性分析

4.5计算机控制系统频域特性分析图4-27离散系统的奈氏围线

4.5计算机控制系统频域特性