2022-2023学年人教版B（2019）高中数学必修四 9.1.2余弦定理课件1

9.1.2余弦定理教学目标：

能够运用不同的数学方法推导余弦定理，

能运用余弦定理解决相关边角问题。能利用余弦定理、三角恒等变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题.培养学生知识的迁移能力、归纳总结能力、运用所学知识解决问题能力。培养学生方程思想，转化和划归思想。教学重点：

在解决余弦定理的应用问题时，要注重告诉学生，何种条件下使用余弦定理解决问题，怎样解决。教学难点：余弦定理的证明及基本应用

b2＋c2－2bccosA

a2＋c2－2accosB

a2＋b2－2abcosC

直角

钝角

锐角

提示:方法一:如图,作AH⊥CB,垂足为H,在Rt△AHC中,AC=4,C=60°,∠CAH=30°,得CH=2,HB=1,AH=2,由勾股定理,得c=AB=.方法二:在△ABC中,所以

,得=cos60°=9+16-2×3×4×=13,所以c=.方法三:在△ABC中,a=3,b=4,C=60°,由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC=9+16-2×3×4×=13,所以c=.【概念生成】1.余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边的_________减去这两边与它们夹角的余弦的积的____.即a2=b2+c2-2bccosA;b2=a2+c2-2accosB;c2=a2+b2-2abcosC.平方的和2倍2.变形公式由余弦定理,可以得到如下推论(变形公式):cosA=

;cosB=

;cosC=

.核心互动探究探究点一利用余弦定理计算边长【典例1】1.在△ABC中,若a=2,b=

,C=

,则c=(

)

A.1 B.2 C.3 D.

2.已知△ABC的三个内角A,B,C满足A+C=2B,且AB=1,BC=4,则边BC上的中线AD的长为________,∠ADB=________.

【思维导引】1.利用余弦定理计算.2.利用三角形内角和定理以及余弦定理计算.【解析】1.选D.由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC=4+3-2×2×cos=13,所以c=.2.由△ABC的三个内角A,B,C满足A+C=2B,且A+B+C=π,可得B=.AB=1,BC=4,则BD=2,由余弦定理,得AD=在△ABD中,因为AB2+AD2=BD2,所以∠BAD=,∠ADB=.答案:

【类题通法】利用余弦定理计算的注意事项1.如果已知三角形的两边和夹角(即SAS)解三角形,那么通常运用余弦定理计算.2.注意三角形内角和定理(即A+B+C=π)在解三角形中的应用.【定向训练】1.(2018·全国Ⅱ卷)在△ABC中,cos

,BC=1,AC=5,则AB= (

)

A.4

B.

C.

D.2

【解析】选A.cosC=2cos2-1=2×-1=-,在△ABC中,由余弦定理AB2=CA2+CB2-2CA·CB·cosC,得AB2=25+1-2×5×1×=32,所以AB=4.2.在△ABC中,BC=a,AC=b,且a,b是方程x2-2

x+2=0的两根,2cos(A+B)=1.(1)求角C的度数.(2)求AB的长.【解题指南】(1)根据诱导公式可求角C的度数.(2)用余弦定理可求得AB的长.【解析】(1)由2cos(A+B)=1,得cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-.且0°<C<180°,所以C=120°.(2)因为a,b是方程x2-2x+2=0的两根,所以a+b=2,ab=2,所以AB2=a2+b2-2abcos120°=(a+b)2-ab=10,得AB=.探究点二利用余弦定理计算角【典例2】1.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍,那么它的顶角的余弦值为 (

)

2.(2019·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.(1)求A.(2)若

a+b=2c,求sinC.【思维导引】1.设等腰三角形的底边和腰,利用余弦定理计算.2.(1)利用正弦定理得到b2+c2-a2=bc,利用余弦定理求cosA再计算A.(2)利用正弦定理将三边的等式转化为三角函数关系式,利用整体角代换法及和差角的正弦公式计算sinC=【解析】1.选D.设等腰三角形ABC的底边长为a,腰为b,则周长为a+2b,依题意得a+2b=5a,所以b=2a,那么等腰三角形的顶角A的余弦值为cosA=2.(1)由(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC得sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.由余弦定理得cosA=因为0°<A<180°,所以A=60°.(2)由(1)知B=120°-C,由a+b=2c及正弦定理得sinA+sin(120°－C)=2sinC,即cosC+sinC=2sinC,可得

sinC-cosC=,即