2022-2026五年中考数学真题分类汇编（浙江）专题08 二次函数及其应用（解析版）

08

专题二次函数及其应用

51

年真题年模拟

考点分类浙江考情（2022-2026）命题规律

2025·浙江·中考

2023·浙江杭州·中考2022-2025年浙江中考对二次函数图象与性质考查较为

2023·浙江宁波·中考集中，内容包括开口方向、对称轴、顶点和最值、函数

2023·浙江衢州·中考增减性、图象与坐标轴交点，以及图象上点的函数值大

2023·浙江台州·中考小比较。命题常设置参数或限定区间，要求利用对称性、

考点01二次函数的

2022·浙江宁波·中考增减性和数形结合进行判断，而不是机械代入。2025年

图象与性质

2022·浙江温州·中考省统考以运动点到固定点距离的平方为背景，将几何距

2022·浙江杭州·中考离转化为二次函数图象，体现情境化和模型意识。现有

2022·浙江嘉兴·中考题目中区间最值、参数范围和图象辨析占比较高。复习

2022·浙江绍兴·中考时应形成“开口—对称轴—顶点—增减区间—最值—交

2022·浙江衢州·中考点”的完整知识链。

2022·浙江绍兴·中考

2025·浙江·中考2022-2025年浙江中考在本考点主要以解答题考查待定

2024·浙江·中考系数法、顶点式和交点式的灵活选择，以及抛物线平移、

2023·浙江宁波·中考对称、区间最值和参数范围。2024、2025年省统考连续

考点02二次函数解

2023·浙江嘉兴·中考将第23题设置为二次函数综合题：2024年突出解析式、

析式、图象变换与综

2023·浙江湖州·中考点的平移和区间内极差；2025年突出平行于x轴的直

合

2023·浙江金华·中考线与抛物线交点关系及横坐标差的最值。题目通常由基

2022·浙江杭州·中考础求式逐步过渡到分类讨论和最值探究，层次清晰。复

2022·浙江嘉兴·中考习时应根据已知条件合理选择函数表达式，并熟练处理

2022·浙江丽水·中考对称轴是否位于给定区间内的分类问题。

2026·浙江·中考本考点现实情境丰富，涉及新能源汽车续航、球类运动、

2023·浙江嘉兴·中考龙舟训练、商品利润、蔬菜种植、拱桥灯饰、滑雪轨迹

考点03二次函数建2023·浙江温州·中考和灌溉装置等。命题通常要求从数据、图象或几何条件

模及实际应用2023·浙江嘉兴·中考中建立二次函数模型，再利用顶点、增减性或区间最值

2023·浙江衢州·中考解决实际问题，并解释结果的合理性。2026年省统考进

2023·浙江湖州·中考一步要求学生从一次函数、反比例函数和二次函数中选

2022·浙江宁波·中考择恰当模型，经历“建模—解模—验证反思”的完整过

1/62

12022·浙江金华·中考程。复习时不仅要会求最大值或最小值，还要重视定义

2022·浙江温州·中考域、整数条件、单位、实际取舍及模型适用范围。

2022·浙江衢州·中考

2022·浙江台州·中考

考点01二次函数图象与性质

1．（2025·浙江·中考真题）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如

图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路⚐向目的地B处运动．设为x（单

位：km）晦䁪为y（单位：km）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点䁪ǡ晦，

且经过ǡ䁪晦和䁪晦两点．下列选项正确的是（）

A．㔠ǡB．㔠⸶

C．点C的纵坐标为240D．点ǡ䁪晦在该函数图象上

【答案】D

【分析】作⚐，当㔠ǡ时，动点运动到点的位置，得到㔠，当点运动到点

的时候，最小为ǡ，㔠ǡ，勾股定理求出的值，判断A；当㔠时，点运动到点⚐，根

据三线合一，得到⚐㔠，进而求出的值，判断B；连接，勾股定理求出的长，确定的纵坐

标，判断C，求出㔠ǡ时，点的位置，再利用勾股定理求出，判断D，即可．

【详解】解：如图，作⚐，当㔠ǡ时，动点运动到点的位置，则由题意和图象可知㔠，

当点运动到点的时候，最小，即：㔠ǡ，㔠ǡ，

2/62

1

在Rt中，由勾股定理，得：㔠ǡǡ，

解得：㔠ǡ，故选项A错误；

∴㔠㔠ǡ，㔠ǡ㔠ǡ，

当㔠时，点运动到点⚐，则⚐㔠㔠，

⚐㔠

∴，

∵⚐，

∴⚐㔠㔠ǡ，

∴⚐㔠ǡǡ㔠，故选项B错误；

∴当㔠，即点在点时，

㔠ǡǡ㔠

∴㔠；

∴点的纵坐标为；故选项C错误；

当㔠ǡ时，点运动到点，则：㔠ǡ，

∴㔠㔠，

∴㔠㔠⸶ǡ㔠，

∴点ǡ䁪晦在该函数图象上，故选项D正确；

故选D．

2．（2023·浙江杭州·中考真题）设二次函数㔠ۉۉ䁪䁪是实数晦，则（）

A．当㔠时，函数的最小值为ۉB．当㔠时，函数的最小值为ۉ

C．当㔠⸶时，函数的最小值为ۉD．当㔠⸶时，函数的最小值为ۉ

【答案】A

【分析】令㔠，则㔠ۉ，解得：㔠，㔠，从而求得抛物线对称轴

ǡ

为直线㔠㔠，再分别求出当㔠或㔠⸶时函数y的最小值即可求解．

㔠㔠ۉ

【详解】解：令，则，

解得：㔠，㔠，

ǡ

∴抛物线对称轴为直线㔠㔠

㔠㔠ǡ

当时，抛物线对称轴为直线，

3/62

1把㔠ǡ代入㔠ۉ，得㔠ۉ，

∵ۉ

∴当㔠ǡ，㔠时，y有最小值，最小值为ۉ．

故A正确，B错误；

㔠⸶㔠

当时，抛物线对称轴为直线，

把㔠代入㔠ۉ⸶，得㔠⸶ۉ，

∵ۉ

∴当㔠，㔠⸶时，y有最小值，最小值为⸶ۉ，

故C、D错误，故选：A．

3．（2023·浙江宁波·中考真题）已知二次函数㔠ۉۉǡ晦ۉ晦，下列说法正确的是()

A．点ǡ䁪晦在该函数的图象上

B．当ۉ㔠ǡ且ǡ时，

C．该函数的图象与x轴一定有交点

D．当ۉ时，该函数图象的对称轴一定在直线㔠的左侧

【答案】C

【分析】根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可．

【详解】解：∵㔠ۉۉǡ晦ۉ晦，

㔠ǡ

当时：㔠ۉۉǡ晦㔠ۉ，

∵ۉ，

∴ۉ，

即：点ǡ䁪晦不在该函数的图象上，故A选项错误；

当ۉ㔠ǡ时，㔠⸶㔠ǡ，

㔠

∴抛物线的开口向上，对称轴为，

∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，

∵ǡ，ǡ，

∴当㔠ǡ时，有最大值为ǡǡ㔠，

当㔠时，有最小值为ǡ，

ǡ

∴，故B选项错误；

∵Δ㔠ۉǡ晦⸶ۉ㔠‴ۉۉǡ㔠ۉǡ，

4/62

1∴该函数的图象与x轴一定有交点，故选项C正确；

ۉǡǡ

当ۉ时，抛物线的对称轴为：㔠㔠，

ۉۉ

∴该函数图象的对称轴一定在直线㔠的右侧，故选项D错误；故选C．

4（．2023·浙江衢州·中考真题）已知二次函数㔠ۉ⸶ۉ（a是常数，ۉ′）的图象上有䁪和⚐䁪

ǡ

⚐㔠ۉ

两点．若点，都在直线的上方，且，则的取值范围是（）

ǡ

⸶⸶

A．ǡ′′B．′′C．′′D．m

【答案】C

【分析】根据已知条件列出不等式，利用二次函数与轴的交点和二次函数的性质，即可解答．

ۉ′

【详解】解：，

㔠ۉ，

点，⚐都在直线㔠ۉ的上方，且，

ǡ

可列不等式：⸶ۉۉۉ，

ۉ′，

⸶′

可得，

设抛物线㔠⸶，直线㔠，

ǡǡ

⸶′可看作抛物线㔠⸶在直线㔠下方的取值范围，

ǡǡ

当㔠时，可得㔠⸶，

ǡ

ǡ

解得㔠䁪㔠，

ǡ

⸶，

㔠⸶的开口向上，

ǡ

ǡ

⸶′的解为′′，

根据题意还可列不等式：ۉ⸶ۉ⸶ۉۉ，

ۉ′，

可得⸶′⸶，

⸶′

整理得，

设抛物线㔠⸶，直线㔠，

⸶′可看作抛物线㔠⸶在直线㔠下方的取值范围，

当㔠时，可得㔠⸶，

5/62

1⸶

解得㔠䁪㔠，

ǡ

′，

㔠⸶

抛物线开口向下，

⸶

⸶′的解为′或，

⸶

综上所述，可得′′，

故选：C．

5．（2023·浙江台州·中考真题）抛物线㔠ۉۉۉ与直线㔠交于䁪，⚐䁪两点，若

ǡǡ

′㔠ۉ

，则直线一定经过（）．

ǡ

A．第一、二象限B．第二、三象限C．第三、四象限D．第一、四象限

【答案】D

【分析】根据已知条件可得出ۉۉ㔠，再利用根与系数的关系，分情况讨论即可求出答案．

【详解】解：抛物线㔠ۉۉۉ与直线㔠交于䁪，⚐䁪两点，

ǡǡ

㔠ۉۉ，

ۉۉ㔠

．

㔠，

ǡ

ۉ

∵′，

ǡ

′．

ۉ

当ۉ，′时，直线㔠ۉ经过第一、三、四象限，

当ۉ′，时，直线㔠ۉ经过第一、二、四象限，

㔠ۉ

综上所述，一定经过一、四象限．

故选：D．

2

6．（2022·浙江宁波·中考真题）点A（m-1，y），B（m，y）都在二次函数y=（x-1）+n的图象上．若y

121

＜y，则m的取值范围为（）

2

A．B．C．′ǡD．′′

【答案】B

【分析】根据y＜y列出关于m的不等式即可解得答案．

12

2

【详解】解：∵点A（m-1，y），B（m，y）都在二次函数y=（x-1）+n的图象上，

12

22

∴y1=（m-1-1）+n=（m-2）+n，

6/62

12

y=（m-1）+n，

2

∵y＜y，

12

22

∴（m-2）+n＜（m-1）+n，

22

∴（m-2）-（m-1）＜0，

即-2m+3＜0，

∴m＞，

故选：B．

㔠ǡ晦

7．（2022·浙江温州·中考真题）已知点ۉ䁪晦䁪⚐ሻ䁪晦䁪䁪晦都在抛物线上，点A在点B

左侧，下列选项正确的是（）

A．若′，则ۉ′′ሻB．若′，则ۉ′ሻ′

C．若，则ۉ′′ሻD．若，则ۉ′ሻ′

【答案】D

【分析】画出二次函数的图象，利用数形结合的思想即可求解．

【详解】解：当时，画出图象如图所示，

根据二次函数的对称性和增减性可得ۉ′ሻ′，故选项C错误，选项D正确；

当′时，画出图象如图所示，

7/62

1根据二次函数的对称性和增减性可得＜ۉ′ሻ，故选项A、B都错误；

故选：D

8．（2022·浙江杭州·中考真题）已知二次函数㔠ۉሻ（a，b为常数）．命题①：该函数的图像经

过点(1，0)；命题②：该函数的图像经过点(3，0)；命题③：该函数的图像与x轴的交点位于y轴的两侧；

命题④：该函数的图像的对称轴为直线㔠ǡ．如果这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是

（）

A．命题①B．命题②C．命题③D．命题④

【答案】A

ۉ

【分析】根据对称轴为直线㔠㔠ǡ，确定a的值，根据图像经过点（3，0），判断方程的另一个

根为x=-1，位于y轴的两侧，从而作出判断即可．

【详解】假设抛物线的对称轴为直线㔠ǡ，

ۉ

则㔠㔠ǡ，解得a=-2，

∵函数的图像经过点(3，0),

∴3a+b+9=0，

解得b=-3，

故抛物线的解析式为㔠，

令y=0，得㔠，

㔠ǡ䁪㔠

解得，

ǡ

故抛物线与x轴的交点为（-1，0）和（3，0），

函数的图像与x轴的交点位于y轴的两侧；

故命题②，③，④都是正确，命题①错误，故选A．

8/62

19．（2022·浙江嘉兴·中考真题）已知点ۉ䁪ሻ晦，⚐⸶䁪晦在直线㔠（k为常数，）上，若ۉሻ的

最大值为9，则c的值为（）

A．B．2C．D．1

【答案】B

【分析】把ۉ䁪ሻ晦代入㔠后表示出ۉሻ，再根据ۉሻ最大值求出k，最后把⚐⸶䁪晦代入㔠

即可．

【详解】把ۉ䁪ሻ晦代入㔠得：ሻ㔠ۉ

‴

∴ۉሻ㔠ۉۉ晦㔠ۉۉ㔠ۉ晦

⸶

∵ۉሻ的最大值为9

‴

∴′，且当ۉ㔠时，ۉሻ有最大值，此时ۉሻ㔠㔠‴

⸶

ǡ

解得㔠

⸶

ǡ

∴直线解析式为㔠

⸶

ǡǡ

把⚐⸶䁪晦代入㔠得㔠⸶㔠

⸶⸶

故选：B．

10（．2022·浙江绍兴·中考真题）已知抛物线㔠的对称轴为直线㔠，则关于x的方程㔠

的根是（）

A．0，4B．1，5C．1，－5D．－1，5

【答案】D

【分析】根据抛物线㔠的对称轴为直线㔠可求出m的值，然后解方程即可．

【详解】抛物线㔠的对称轴为直线㔠，

㔠，解得㔠⸶，

ǡ

关于x的方程㔠为⸶㔠，

晦ǡ晦㔠，

解得㔠䁪㔠ǡ，故选：D．

ǡ

11．（2022·浙江衢州·中考真题）已知二次函数㔠ۉǡ晦ۉۉ晦，当ǡ⸶时，的最小值

⸶ۉ

为，则的值为（）

ǡ⸶ǡ⸶ǡ

A．或4B．或C．或4D．或4

9/62

1【答案】D

【分析】分两种情况讨论，并且利用二次函数的性质即可解答．

【详解】解：二次函数㔠ۉǡۉۉ的对称轴为：直线㔠ǡ，

（1）当ۉ时，当ǡǡ时，随的增大而减小，当ǡ⸶，随的增大而增大，

㔠ǡ

当时，取得最小值，

㔠ۉǡǡۉ㔠⸶，

ۉ㔠⸶；

（2）当ۉ′时，当ǡǡ时，随的增大而增大，当ǡ⸶，随的增大而减小，

当㔠⸶时，取得最小值，

㔠ۉ⸶ǡۉ㔠⸶

，

ǡ

ۉ㔠．故选：D．

12．（2022·浙江绍兴·中考真题）已知函数㔠ሻ（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣

6，﹣3）．

(1)求b，c的值．

(2)当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．

(3)当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．

【答案】(1)b＝-6，c=-3

(2)x＝－3时，y有最大值为6

(3)m＝－2或ǡ

【分析】（1）把（0，-3），（-6，-3）代入y＝ሻ，即可求解；

（2）先求出抛物线的顶点坐标为（-3，6），再由-4≤x≤0，可得当x＝-3时，y有最大值，即可求解；

（3）由（2）得当x＞-3时，y随x的增大而减小；当x≤-3时，y随x的增大而增大，然后分两种情况：

当-3＜m≤0时，当m≤-3时，即可求解．

【详解】（1）解：把（0，-3），（-6，-3）代入y＝ሻ，得∶

㔠

ሻ㔠

，解得：；

ሻ㔠㔠

晦

（2）解：由（1）得：该函数解析式为y＝＝，

∴抛物线的顶点坐标为（-3，6），

∵-1＜0

∴抛物线开口向下，

10/62

1又∵-4≤x≤0，

∴当x＝-3时，y有最大值为6．

（3）解：由（2）得：抛物线的对称轴为直线x=-3，

∴当x＞-3时，y随x的增大而减小；当x≤-3时，y随x的增大而增大，

①当-3＜m≤0时，

当x＝0时，y有最小值为-3，

当x＝m时，y有最大值为，

∴+（-3）＝2，

∴m＝-2或m＝-4（舍去）．

②当m≤-3时，

当x＝-3时，y有最大值为6，

∵y的最大值与最小值之和为2，

∴y最小值为-4，

∴晦=-4，

∴m＝ǡ或m＝ǡ（舍去）．

综上所述，m＝-2或ǡ．

考点02二次函数解析式、图象变换与综合

1．（2025·浙江·中考真题）已知抛物线㔠ۉ（a为常数）经过点ǡ䁪．

(1)求a的值．

(2)过点䁪䁠与x轴平行的直线交抛物线于⚐䁪两点，且点B为线段的中点，求t的值．

(3)设′′，抛物线的一段㔠ۉ晦夹在两条均与x轴平行的直线䁪之间．若直

ǡ

䁪

线之间的距离为16，求的最大值．

ǡ

【答案】(1)ۉ㔠(2)䁠㔠(3)8

【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象性质，是

解题的关键：

（1）待定系数法求出函数解析式即可；

⚐䁪⚐䁪㔠

（2）先求出对称轴，由题意，可知，关于对称轴对称，的纵坐标均为䁠，中点得到，

⚐

⚐

对称性得到㔠㔠，求出，再代入函数解析式求出䁠的值即可；

⚐⚐

11/62

1（3）根据题意，易得要使最大，则，䁪为一条直线与抛物线的交点，㔠和㔠关于对

称轴对称，根据直线䁪之间的距离为16，为定值，得到当一条直线恰好经过抛物线的顶点䁪⸶，即：㔠

ǡ

⸶时，最大，此时另一条直线的解析式为㔠ǡ⸶㔠ǡ，令㔠ǡ，求出的值，进而

确定䁪的值，进行求解即可．

ǡ䁪㔠ۉǡۉ㔠ۉ㔠

【详解】（1）解：把代入，得：，解得：；

（2）由（1）知：㔠，

∴对称轴为直线㔠㔠，

ǡ

䁪䁠䁪䁠⚐䁪

∵点在轴上，过点与x轴平行的直线交抛物线于两点，

∴⚐䁪关于对称轴对称，⚐䁪的纵坐标均为䁠，

又∵点B为线段的中点，

⚐

㔠

∴，∴㔠㔠，

⚐⚐

∴㔠，∴㔠代入㔠，得：㔠㔠，

⚐

∴䁠㔠；

（3）∵㔠㔠⸶，

∴抛物线的顶点坐标䁪⸶，

㔠䁪

当抛物线的一段ۉ晦夹在两条均与x轴平行的直线之间时，

ǡ

䁪为直线与抛物线的交点，

∴要使最大，则，䁪为一条直线与抛物线的交点，㔠和㔠关于对称轴对称，

又∵直线䁪之间的距离为16，为定值，

ǡ

∴当一条直线恰好经过抛物线的顶点䁪⸶，即：㔠⸶时，最大，此时另一条直线的解析式

㔠ǡ⸶㔠ǡ

为，如图：

12/62

1

∴当㔠ǡ时，解得：㔠䁪㔠ǡ，

ǡ

即：㔠䁪㔠ǡ，

∴的最大值为：ǡ㔠．

㔠ሻ

2．（2024·浙江·中考真题）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点䁪晦，对

ǡ

称轴为直线㔠．

(1)求二次函数的表达式；

㔠ሻ

(2)若点⚐ǡ䁪晦向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的

图象上，求m的值；

‴

(3)当时，二次函数㔠ሻ的最大值与最小值的差为，求n的取值范围．

⸶

ǡ

【答案】(1)㔠(2)㔠⸶(3)ǡ

【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质，

（1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式；

（2）先求出平移后点B的坐标，然后把坐标代入解析式即可；

ǡǡ

（3）分为′，′ǡ时，ǡ时，建立方程解题即可．

ǡǡ

【详解】（1）解：设二次函数的解析式为㔠晦，把䁪晦代入得晦㔠，

ǡǡ

解得㔠，

⸶

ǡǡǡ

∴㔠晦㔠；

⸶

（2）解：点B平移后的点的坐标为ǡ䁪‴晦，

13/62

1

则‴㔠ǡ晦ǡ晦，解得㔠⸶或㔠ǡ（舍），

∴m的值为⸶；

ǡ

（3）解：当′时，

ǡǡǡ‴ǡ

∴最大值与最小值的差为晦㔠，解得：㔠㔠不符合题意，舍去；

ǡ

⸶⸶

ǡ

当ǡ时，

ǡǡ‴

∴最大值与最小值的差为㔠，符合题意；

⸶⸶

ǡ

当时，

ǡǡǡǡǡ‴

最大值与最小值的差为晦㔠，解得㔠ǡ或㔠，不符合题意；

ǡ

⸶⸶⸶

ǡ

综上所述，n的取值范围为ǡ．

3．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，已知二次函数㔠ሻ图象经过点ǡ䁪晦和⚐䁪晦．

(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．

(2)当时，请根据图象直接写出x的取值范围．

【答案】(1)㔠，顶点坐标为ǡ䁪；

(2)ǡ

㔠ሻ

【分析】（1）把ǡ䁪晦和⚐䁪晦代入，建立方程组求解解析式即可，再把解析

式化为顶点式，可得顶点坐标；

（2）把㔠代入函数解析式求解的值，再利用函数图象可得时的取值范围．

【详解】（1）解：∵二次函数㔠ሻ图象经过点ǡ䁪晦和⚐䁪晦．

㔠ሻ㔠

∴，解得：，

ǡሻ㔠㔠

∴抛物线为㔠㔠ǡ，

∴顶点坐标为：ǡ䁪；

（2）当㔠时，ǡ㔠，

ǡ㔠⸶

∴

14/62

1解得：㔠ǡ，㔠，

ǡ

如图，当时，

∴ǡ．

䁪䁪㔠ۉ

4．（2023·浙江嘉兴·中考真题）已知点和在二次函数ሻۉ䁪ሻ是常数，ۉ晦

的图像上．

(1)当㔠ǡ时，求ۉ和ሻ的值；

(2)若二次函数的图像经过点䁪且点A不在坐标轴上，当′′ǡ时，求的取值范围；

(3)求证：ሻ⸶ۉ㔠．

ۉ㔠ǡ䁪ሻ㔠

【答案】(1)

(2)⸶′′

(3)

解：∵图像过点䁪和䁪，

ሻ

∴根据图像的对称性得㔠．

ۉ

∴ሻ㔠ۉ，顶点坐标为䁪ۉሻ．

㔠ۉሻ①

䁪䁪

将点和分别代人表达式可得

㔠‴ۉሻ②

①②得ǡۉǡ㔠，

∴ۉ㔠ǡ．

∴ۉሻ㔠ۉۉ㔠ۉ㔠⸶．

ǡۉሻ

∴㔠⸶．

⸶ۉ

∴ǡۉሻ㔠ǡۉ．

∴ሻ⸶ۉ㔠．

【分析】（1）由㔠ǡ可得图像过点ǡ䁪和䁪，然后代入解析式解方程组即可解答；

㔠䁪䁪䁪㔠′

（2）先确定函数图像的对称轴为直线，则抛物线过点，即，然后再结合

15/62

1′ǡ即可解答；

ሻ

（3）根据图像的对称性得㔠，即ሻ㔠ۉ，顶点坐标为䁪ۉሻ；将点䁪和

ۉ

䁪ۉ㔠ǡۉሻ㔠ۉۉ㔠ۉ㔠⸶

分别代入表达式并进行运算可得；则，

ǡۉሻ

进而得到㔠⸶，然后化简变形即可证明结论．

⸶ۉ

【详解】（1）解：当㔠ǡ时，图像过点ǡ䁪和䁪，

㔠ۉሻۉ㔠ǡ

∴，解得，

㔠‴ۉሻሻ㔠

∴㔠，

∴ۉ㔠ǡ䁪ሻ㔠．

䁪䁪

（2）解：∵函数图像过点和，

∴函数图像的对称轴为直线㔠．

∵图像过点䁪䁪䁪，

∴根据图像的对称性得㔠．

∵′′ǡ，

⸶′′

∴．

（3）略

5．（2023·浙江湖州·中考真题）如图1，在平面直角坐标系R中，二次函数㔠⸶的图象与y

轴的交点坐标为䁪，图象的顶点为M．矩形⚐的顶点D与原点O重合，顶点A，C分别在x轴，y

轴上，顶点B的坐标为ǡ䁪．

(1)求c的值及顶点M的坐标，

′䁠′

(2)如图2，将矩形⚐沿x轴正方向平移t个单位得到对应的矩形⚐．已知边，⚐

分别与函数㔠⸶的图象交于点P，Q，连接，过点P作⚐于点G．

①当䁠㔠时，求的长；

②当点G与点Q不重合时，是否存在这样的t，使得的面积为1？若存在，求出此时t的值；若不存

16/62

1在，请说明理由．

【答案】(1)㔠，顶点M的坐标是䁪ǡ

ǡ

(2)①1；②存在，䁠㔠或

【分析】（1）把䁪代入抛物线的解析式即可求出c，把抛物线转化为顶点式即可求出顶点坐标；

䁪䁪

（2）①先判断当䁠㔠时，，的坐标分别是，，再求出㔠，㔠时点Q的纵坐标与

点P的纵坐标，进而求解；

②先求出㔠，易得P，Q的坐标分别是䁠䁪䁠⸶䁠，䁠ǡ䁪䁠䁠，然后分点G在点Q的

上方与点G在点Q的下方两种情况，结合函数图象求解即可．

【详解】（1）∵二次函数㔠⸶的图象与y轴的交点坐标为䁪，

∴㔠，

∴㔠⸶㔠ǡ，

∴顶点M的坐标是䁪ǡ．

ǡ䁪

（2）①∵A在x轴上，B的坐标为，

∴点A的坐标是ǡ䁪．

䁪䁪

当䁠㔠时，，的坐标分别是，．

当㔠时，㔠ǡ㔠，即点Q的纵坐标是2，

当㔠时，㔠ǡ㔠ǡ，即点P的纵坐标是1．

∵⚐，

∴点G的纵坐标是1，

∴㔠ǡ㔠ǡ．

②存在．理由如下：

∵的面积为1，㔠ǡ，

㔠

∴．

根据题意，得P，Q的坐标分别是䁠䁪䁠⸶䁠，䁠ǡ䁪䁠䁠．

如图1，当点G在点Q的上方时，㔠䁠⸶䁠䁠䁠㔠䁠㔠，

ǡ

′䁠′

此时䁠㔠（在的范围内），

17/62

1

如图2，当点G在点Q的下方时，㔠䁠䁠䁠⸶䁠㔠䁠㔠，

此时䁠㔠（在′䁠′的范围内）．

ǡ

∴䁠㔠或．

6．（2023·浙江金华·中考真题）如图，直线㔠与轴，轴分别交于点䁪⚐，抛物线的顶点

在直线⚐上，与轴的交点为䁪，其中点的坐标为䁪．直线⚐与直线相交于点．

(1)如图2，若抛物线经过原点R．

⚐

①求该抛物线的函数表达式；②求的值．

(2)连接䁪与⚐R能否相等？若能，求符合条件的点的横坐标；若不能，试说明理由．

ǡ

【答案】(1)①㔠；②

ǡ⸶

(2)能，或或或．

【分析】（1）①先求顶点的坐标，然后待定系数法求解析式即可求解；

②过点作R于点．设直线⚐为㔠，把䁪代入，得㔠，解得㔠，

ǡ

直线⚐为㔠．同理，直线R为㔠．联立两直线解析式得出䁪，根据⚐R，

⸶

由平行线分线段成比例即可求解；

18/62

1

（2）设点的坐标为䁠䁪䁠，则点的坐标为䁠䁪．①如图2-1，当䁠时，存在㔠

⚐R．记㔠⚐R㔠䁪㔠，则㔠．过点作轴于点，则㔠䁠．在

Rt中，cos⚐R㔠㔠，进而得出点的横坐标为6．②如图2-2，当′䁠时，存在㔠

⚐R．记㔠⚐㔠䁪㔠．过点作轴于点，则㔠䁠．在Rt中，

cos⚐R㔠㔠，得出点的横坐标为．③如图，当′䁠时，存在㔠⚐R．记⚐R㔠

．过点作轴于点，则㔠䁠．在Rt中，㔠cos⚐R㔠，得出点的横坐标为

．④如图2-4，当䁠时，存在㔠⚐R．记⚐R㔠．过点作轴于点，则

ǡ⸶

㔠䁠Rt

．在中，㔠cos㔠，得出点的横坐标为．

【详解】（1）解：①∵R㔠，

∴顶点的横坐标为1．

∴当㔠ǡ时，㔠㔠，

∴点的坐标是ǡ䁪．

设抛物线的函数表达式为㔠ۉǡ晦，把䁪代入，

得㔠ۉ，

解得ۉ㔠．

∴该抛物线的函数表达式为㔠ǡ晦，

即㔠．

②如图1，过点作R于点．

设直线⚐为㔠，把䁪代入，得㔠，

19/62

1

解得㔠，

∴直线⚐为㔠．

同理，直线R为㔠．

㔠䁪

由

㔠

ǡ

㔠䁪

解得

㔠

⸶

ǡ

∴䁪．

⸶

ǡǡ

∴R㔠䁪㔠㔠．

⚐R

∵，

⚐Rǡ

∴㔠㔠．

（2）设点的坐标为䁠䁪䁠，则点的坐标为䁠䁪．

①如图ǡ，当䁠时，存在㔠⚐R．

记㔠⚐R㔠䁪㔠，则㔠．

∵为的外角，

㔠

∴．

∵㔠．

∴㔠㔠．

∴㔠．

∴㔠㔠䁠．

㔠䁠

过点作轴于点，则．

在Rt中，cos⚐R㔠㔠，

䁠

∴㔠，解得䁠㔠．

䁠

∴点的横坐标为6．

20/62

1′䁠㔠⚐R

②如图2-2，当时，存在．

记㔠⚐㔠䁪㔠．

∵为的外角，

∴㔠．

∴㔠㔠

㔠

∴．

∴㔠㔠⸶．

过点作轴于点，则㔠䁠．

Rt

在中，cos⚐R㔠㔠，

䁠

∴㔠，解得䁠㔠．

⸶

∴点的横坐标为．

21/62

1③如图2-3，当′䁠时，存在㔠⚐R．记⚐R㔠．

∵㔠，

ǡǡ

∴㔠㔠㔠．

ǡǡ

∴㔠⚐R㔠㔠．

∴㔠．

∴㔠㔠䁠．

过点作轴于点，则㔠䁠．

在Rt中，㔠cos⚐R㔠，

䁠

∴㔠，解得䁠㔠．

䁠

∴点的横坐标为．

④如图2-4，当䁠时，存在㔠⚐R．记⚐R㔠．

∵㔠，

22/62

1ǡǡ

∴㔠㔠㔠．

ǡǡ

∴㔠⚐R㔠㔠．

∴㔠㔠⸶．

过点作轴于点，则㔠䁠．

在Rt中，㔠cos㔠，

䁠ǡ⸶

∴㔠，解得䁠㔠．

⸶

ǡ⸶

∴点的横坐标为．

ǡ⸶

综上，点的横坐标为䁪䁪䁪．

7．（2022·浙江杭州·中考真题）设二次函数㔠ሻ（b，c是常数）的图像与x轴交于A，B两点．

ǡ

(1)若A，B两点的坐标分别为(1，0)，(2，0)，求函数的表达式及其图像的对称轴．

ǡ

(2)若函数的表达式可以写成㔠（h是常数）的形式，求ሻ的最小值．

ǡǡ

㔠㔠

(3)设一次函数（m是常数）．若函数的表达式还可以写成的形式，

ǡǡ

当函数㔠的图像经过点䁪时，求的值．

ǡ

【答案】(1)㔠ǡ，㔠

ǡ

(2)⸶

(3)㔠或㔠

【分析】（1）利用待定系数法计算即可．

（2）根据等式的性质，构造以b+c为函数的二次函数，求函数最值即可．

23/62

1（3）先构造y的函数，把点䁪代入解析式，转化为的一元二次方程，解方程变形即可．

【详解】（1）由题意，二次函数㔠ሻ（b，c是常数）经过(1，0)，(2，0)，

ǡ

ሻ㔠

∴，

ሻ㔠

b㔠

解得，

㔠⸶

∴抛物线的解析式㔠⸶㔠ǡ．

ǡ

ሻ

∴图像的对称轴是直线㔠㔠㔠．

ۉ

（2）由题意，得㔠⸶，

ǡ

∵㔠ሻ，

ǡ

∴b=-4h，c=

∴ሻ㔠⸶㔠ǡ⸶，

∴当㔠ǡ时，ሻ的最小值是⸶．

（3）由题意，得㔠㔠㔠

ǡ

因为函数y的图像经过点䁪，

㔠

所以，

所以㔠，或㔠．

2

8．（2022·浙江嘉兴·中考真题）已知抛物线L：y＝a(x＋1)－4（a≠0）经过点A(1，0)．

1

(1)求抛物线L1的函数表达式．

(2)将抛物线L向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L．若抛物线L的顶点关于坐标原点O的对称点在

122

抛物线L上，求m的值．

1

(3)把抛物线L向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L，若点B(1，y)，C(3，y)在抛物线L上，且y＞

131231

y，求n的取值范围．

2

㔠

【答案】(1)

(2)的值为4

(3)

【分析】（1）把ǡ䁪晦代入㔠ۉǡ晦⸶即可解得抛物线的函数表达式为㔠；

ǡ

（2）将抛物线向上平移晦个单位得到抛物线，顶点为ǡ䁪⸶晦，关于原点的对称点

ǡ

㔠

为ǡ䁪⸶晦，代入可解得的值为4；

（3）把抛物线向右平移晦个单位得抛物线为㔠ǡ晦⸶，根据点B(1，y)，C(3，

1

ǡ

24/62

1

y)都在抛物线上，当y＞y时，可得晦⸶⸶晦⸶，即可解得的取值范围是．

212

【详解】（1）解：把ǡ䁪晦代入㔠ۉǡ晦⸶得：

ۉǡǡ晦⸶㔠，

解得ۉ㔠ǡ，

㔠ǡ晦⸶㔠

；

答：抛物线的函数表达式为㔠；

ǡ

（2）解：抛物线㔠ǡ晦⸶的顶点为ǡ䁪⸶晦，

ǡ

将抛物线向上平移晦个单位得到抛物线，则抛物线的顶点为ǡ䁪⸶晦，

ǡ

而ǡ䁪⸶晦关于原点的对称点为ǡ䁪⸶晦，

㔠

把ǡ䁪⸶晦代入得：

ǡǡ㔠⸶，

解得㔠⸶，

答：的值为4；

（3）解：把抛物线向右平移晦个单位得到抛物线，抛物线解析式为㔠ǡ晦⸶，

ǡ

点⚐ǡ䁪晦，䁪晦都在抛物线上，

ǡ

㔠ǡǡ晦⸶㔠晦⸶，

ǡ

㔠ǡ晦⸶㔠⸶晦⸶，

y＞y，

12

晦⸶⸶晦⸶，

晦⸶晦

整理变形得：，

⸶晦⸶晦

晦，

′

解得，

的取值范围是．

9．（2022·浙江丽水·中考真题）如图，已知点䁪䁪䁪在二次函数㔠ۉ晦ǡۉ晦的图

ǡǡ

像上，且㔠．

ǡ

25/62

1(1)若二次函数的图像经过点䁪ǡ晦．

①求这个二次函数的表达式；

㔠

②若，求顶点到的距离；

ǡ

(2)当时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围．

ǡ

‴

【答案】(1)①㔠；②

ǡ⸶

(2)′ۉ

‴‴

【分析】（1）①将点䁪ǡ晦代入㔠ۉ晦ǡۉ晦中即可求出二次函数表达式；

②当㔠时，此时为平行x轴的直线，将䁪䁪䁪代入二次函数解析式中求出㔠

ǡǡǡǡ

⸶，再由㔠求出直线为㔠，最后根据二次函数顶点坐标即可求解；

ǡ

（2）分两种情形：若M，N在对称轴的异侧，；若M、N在对称轴的异侧，，x<2，

1

ǡǡ

分别求解即可．

㔠ۉ晦

【详解】（1）解：①将点䁪ǡ晦代入ǡۉ晦中，

∴ǡ㔠ۉ晦ǡ，解得ۉ㔠，

∴二次函数的表达式为：㔠晦ǡ㔠；

②当㔠时，此时为平行x轴的直线，

ǡ

将䁪代入二次函数中得到：㔠，

ǡǡǡǡǡ

䁪㔠

将代入二次函数中得到：，

∵㔠，

ǡ

∴=，

ǡ

ǡ

整理得到：晦晦⸶晦㔠，

ǡǡǡ

ǡ

又∵㔠，代入上式得到：㔠⸶，解出㔠䁪㔠，

ǡǡǡ

ǡǡ

∴㔠㔠晦㔠，即直线为：㔠，

ǡ

又二次函数的顶点坐标为(2，-1)，

26/62

1‴

∴顶点(2,-1)到的距离为ǡ㔠；

（2）解：若M，N在对称轴的异侧，，

ǡ

∴x1+3>2，

∴x>-1，

1

∵㔠

ǡ

ǡ

∴，

ǡ

ǡ

∴-1<，

ǡ

2

∵函数的最大值为y=a（x-2）-1，最小值为-1，

11

∴y-（-1）=1，

ǡ

∴a=，

ǡ

‴

∴′‴，

ǡ

⸶

ǡ⸶

∴′ۉ；

‴‴

若M、N在对称轴的异侧，，x1<2，

ǡ

ǡ

∵，

ǡ

ǡ

∴′′，

ǡ

2

∵函数的最大值为y=a（x-2）-1，最小值为-1，

2

∴y-（-1）=1，

ǡ

∴a=，

ǡ

ǡ

‴

∴′ǡ′‴，

ǡ

⸶

ǡ⸶

∴′ۉ′，

‴‴

ǡ⸶

综上所述，a的取值范围为′ۉ．

‴‴

考点03二次函数建模及实际应用

1．（2026·浙江·中考真题）我国新能源汽车产销量连续多年位居全球第一．某公司测试一款新型电动汽

车的续航能力，在匀速行驶等理想状态下，收集到的数据如下：

27/62

1kmh

行驶速度（）5060708090

基础能耗（kWh

12.3511.7511.5511.7512.35

ǡ km

）

该款电动汽车的电池容量为⸶ kWh，考虑到各种因素，实际能耗是基础能耗的1.2倍

电池容量（kWh）

实际续航里程㔠ǡ．

实际能耗（kWhǡ km）

(1)根据上述表格中的数据，在答题纸的坐标系中画出相应的点，

(2)请你根据（1）中点在坐标系中的分布特征，从一次函数、反比例函数、二次函数中，选出最符合基础能

耗与行驶速度之间关系的函数，并求出该函数表达式；

(3)当该款电动汽车匀速行驶时的速度在 kmh和 kmh之间（含 kmh和 kmh）时，求其实际

续航里程的最小值．

【答案】(1)

(2)最符合的是二次函数，函数表达式为：㔠晦ǡǡ

(3)420千米

【分析】（1）根据表格描点即可；

（2）根据点的分布得出其符合二次函数的抛物线特征，再根据待定系数法解答即可；

⸶

（3）根据题意求出实际续航里程㔠，从而得当最大时，取最小值，求出二次函数㔠

28/62

1

晦ǡǡ在范围内的最大值即可解答；

【详解】（1）略

（2）解：观察点的分布：数据先降后升，且䁪ǡ晦和‴䁪ǡ晦、䁪ǡǡ晦和䁪ǡǡ晦均关于㔠

对称，符合二次函数的抛物线特征，因此最符合的是二次函数，

㔠晦ǡǡ