2027届高考数学压轴解答题专项训练100题

2027届高考数学压轴解答题专项训练100题

一、解答题

x2

1．已知椭圆E：y21(a1)，过右焦点垂直于x轴的直线被E所截线

a2

段长为1．

(1)求椭圆E的离心率；

(2)过直线x4上一点P4,t作椭圆E的两条切线l1，l2，切点分别为A，B．

（ⅰ）证明直线AB过定点；

（ⅱ）求OAB面积的最大值．

2．在概率论和统计学中，对于一个离散型随机变量，方差

22

DEE，期望运算为EabaEb（a，b为常

数）.对于任意的两个离散型随机变量，，可推广得协方差为

试卷第1页（共72页）

Cov,EEE，期望运算为

EEE.假设有两个独立的粒子探测器甲和乙，各自进行一系

列实验检测粒子.记甲、乙各自进行n次实验后检测到粒子的次数分别为X，Y，

12

且XBn,，YBn,.

23

(1)当n3时，求PXY2.

(2)求证：EXYEXEY.

nn1

(3)求满足2CovXY,XYC2nC2n的n的值.

22

xy1

3．已知椭圆C:1(ab0)的左焦点为F(1,0)，离心率为．

a2b22

(1)求C的方程；

(2)设O为坐标原点，过F且斜率大于0的动直线l与C交于P，Q两点，其中

Q在第三象限，直线PO与C的另一个交点为R．

（i）若PQR的面积是PFO的面积的3倍，求l的方程；

试卷第2页（共72页）

（ii）求tanPQR的最小值．

x

4．已知函数fxeaxa0．

(1)讨论fx的零点个数．

(2)若fx有两个零点x1,x2且x1x2，求证：x1x22．

试卷第3页（共72页）

5．一只蚂蚁从单位正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A出发，每一步（等可能）

经过一条边到达另一顶点，设该蚂蚁经过n步回到点A的概率为Pn

(1)求P1，P2，P3；

(2)设顶点A出发经过n步到达点C的概率为Qn，求Pn3Qn的值；

(3)求Pn.

x

6．已知函数fxaxe，其中a0．

(1)求函数fx的极值；

5

(2)当xπ,时，fxsinxcosx1恒成立，求实数a的范围．

4

试卷第4页（共72页）

7．已知函数fxaxlnx1．

(1)当a2时，求函数fx的单调区间；

(2)若对任意的x0,，不等式fx0恒成立，求实数a的取值范围；

*

(3)设x1,x2,,xn是互不相等的正整数，nN，证明：

xxx

12nlnn1．

1222n2

x2y2

8．在平面直角坐标系xOy中，以椭圆C:1（ab0）与坐

a2b2

3

标轴的交点为顶点的四边形的周长为45，离心率为.

2

试卷第5页（共72页）

(1)求椭圆C的方程；

(2)设A4,0，B0,2，点P在第三象限且在椭圆C上.直线PA与

y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.

①是否存在点P，使得MN//AB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，

请说明理由；

②求四边形ABNM面积的最大值.

1

9．已知函数fxx3ax，gxlnx.

4

(1)求证：曲线yfx的图象是一个中心对称图形，并求对称中心；

9

(2)若a1，求过曲线yfx上一点P1,的切线方程；

4

(3)用minm,n表示m、n中的最小值，设函数hxminfx,gx

(x0)，讨论hx的零点的个数.

试卷第6页（共72页）

10．设抛物线C：y22px（p0），过点Q(4,0)的直线与抛物线交于A，

B两点，原点O在以AB为直径的圆上．

(1)求抛物线的标准方程；

(2)直线BO与直线x4相交于D，过D作AB的平行线交x轴与E，判断直

线AE与抛物线的位置关系并证明；

(3)抛物线C上是否存在三点M，N，P构成面积为15的等腰直角三角形？若存

在求出直角顶点的坐标，若不存在，说明理由．

试卷第7页（共72页）

11．我校素有由每届考入各大名校的优秀学生代表返校作为嘉宾与下一届学生

进行学习经验分享的传统．若由2025届毕业的返校嘉宾组成编号为0,1,2,,n

的n1个宣讲分享小组，其中0号宣讲分享小组的嘉宾为2名男生和2名女生，

其余各组的嘉宾均为1名男生和1名女生．第一场分享会的4名学生嘉宾是由

从0号宣讲分享小组的嘉宾中选出的2名和1号宣讲分享小组的2名嘉宾共同

组成，第二场分享会的4名学生嘉宾由从上一场的4名嘉宾中选出2名和2号

宣讲分享小组的2名嘉宾共同组成，，按照这样的方式，依次进行到第n场

分享会．

(1)求第一场分享会的学生嘉宾中恰有2名男生的概率；

(2)求第二场分享会的学生嘉宾中恰有2名男生的概率；

(3)记第n场分享会的学生嘉宾中男生人数为X，求X的分布列和数学期望．

x2y23

12．已知椭圆C：1(ab0)经过点A2,0及点P1,．

a2b22

试卷第8页（共72页）

(1)求C的方程；

(2)若点T在线段AP（不含端点）上运动，垂直于x轴的直线MT交C于点

Mx1,y1（在x轴上方），点N满足MTTN，设直线AN与C的另一个交

点为Rx2,y2．

（ⅰ）证明：直线MR过定点；

（ⅱ）求四边形ARPM面积的最大值．

22

13．已知双曲线:xy1，点P在上，F1，F2分别为双曲线的左、右

焦点．

(1)求点2,0到双曲线渐近线的距离；

若，求S△；

(2)PF1PF21PF1F2

x0x0

(3)记为双曲线满足和的部分；直线l，m均过右焦点F2，

y1y1

l与交于P，Q两点（分别在第一、第四象限），m与交于M，N两点

（分别在第三、四象限），问：是否存在常数，使得对任意直线l，都存在唯

试卷第9页（共72页）

一对应的直线m满足PQMN？若存在，求出的值；若不存在，请说明

理由．

22

14．在平面直角坐标系xOy中，圆F1的方程为：x1y16，定点F21,0，

M是圆F1上任意一点，线段MF2的垂直平分线和半径MF1相交于点T．

(1)求点T的轨迹C的方程；

(2)设不过原点O的直线l：ykxmk0与C交于P、Q两点，直线OP、

OQ的斜率分别为k1、k2，满足k1k24k．

（i）当k变化时，m2是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不

是，请说明理由；

（ii）求△OPQ面积的取值范围．

试卷第10页（共72页）

x2y23

15．已知椭圆E:1(ab0)，焦距23，离心率为．

a2b22

(1)求E的方程；

(2)F为E的右焦点，过点F作倾斜角为的直线l交E于M，N两点．

π

①若，求MN；

3

②在E上取5个不同的点M1，M2，M3，M4，M5，满足

M1OM2M2OM3M3OM4M4OM5M5OM1，计算

11111

22222的值．

|OM1||OM2||OM3||OM4||OM5|

试卷第11页（共72页）

331

16．已知xy,xy43，求xy的最大值

xyxy

sin

17．已知,是锐角，sin，求tan的最大值．

sin

试卷第12页（共72页）

18．已知双曲线E:x23y21，记集合

∣*

MPnxn,ynExn,ynN,x1x2xn,y1y2yn

(1)写出P1，P2，P3的坐标，猜想数列xn，yn的通项公式（说明猜想过程，

不用证明）．并写出Pnxn,yn和Pn1xn1,yn1的递推关系式；

△

(2)试判断OPnPn1的面积是否为定值？若是求出该定值，若不是请说明理由

19．求x23y21的基本解，用递推求第三组正整数解．

试卷第13页（共72页）

20．在人工智能生成模型中，常使用“KL散度”衡量两个概率分布的差异，以优

化模型生成效果．设离散型随机变量X和Y的分布列分别为PXakxk，

nn

，，，，．定

PYakykxk0yk0k0,1,2,,nxkyk1

k0k0

n

xk

义KL散度HX//Yxkln，它刻画了模型生成分布X与目标分布Y

k0yk

的相似程度，值越小说明分布越接近．设模型生成的特征匹配次数XBn,p

（n为特征总数，p为单次匹配成功的概率，0p1）．

1

(1)在一项特征匹配任务中，设特征总数n3，模型单次匹配成功的概率p，

3

2

若标准参考模型的匹配次数YB3,，求模型生成分布与参考分布的KL散

3

度HX//Y；

(2)在一项特征匹配任务中，特征总数n2，参考分布Y的分布列如下：

Y012

111

P

333

求模型生成分布XB2,p与参考分布Y的KL散度HX//Y的最小值；

(3)对任意与X有相同可能取值的随机变量Y，证明：HX//Y0，并指出

取等条件．

试卷第14页（共72页）

x2y26

21．已知椭圆E：1ab0的离心率为，A，C分别是E的

a2b23

3

上、下顶点，点D是椭圆E的右顶点，△COD的面积为（O是坐标原点）．若

2

直线l与椭圆E有唯一的公共点P，且l与直线xa交于点M，直线AP与直

线CD交于点N．

(1)求椭圆E的方程；

(2)求证：直线MN与CD的夹角为定值．

试卷第15页（共72页）

22

xy1

22．已知椭圆E：1(ab0)的一个顶点为(2,0)，离心率为．过

a2b22

点A(1,1)且斜率为k(k1)的直线与椭圆E交于不同的两点B，C．点B关于

直线yx的对称点为D，直线CD与直线yx交于点Q．设ABQ与

ACQ的面积分别为SABQ与S△ACQ．

(1)求椭圆E的方程；

5

(2)若S△S△，求k的值．

ABQACQ8

23．一个袋子中装有n个大小相同的小球，编号分别为1，2，3，…，n，且n3，

nN*．进行两次实验：第一次：从中不放回地随机取出k个球，记所取球的

编号组成的集合为M．第一次实验完成后，将球放回袋中，再进行第二次实验；

第二次：从中不放回地随机取出k个球，记所取球的编号组成的集合为N．设

随机变量X表示MN的元素个数．

(1)若n4，k2，求X的分布列：

试卷第16页（共72页）

9

(2)若k3，且PX2，求n；

20

(3)若k10，两次实验中，第二次取出的10个球里恰好有3个球与第一次取出

的球重复，求n的估计值（以使PX3最大的n值作为估计值）．

x

24．已知函数f(x).

lnx

(1)若曲线yf(x)与直线yb相切于点(a,f(a))，求a，b的值；

(2)若关于x的方程f(x)m有两个不同的解x1,x2，

x1x2

（i）直接写出m的取值范围，并求证：m；

lnx1lnx2

（ii）判断m与x1x2的大小关系，并说明理由.

试卷第17页（共72页）

2

25．已知函数fxxlnx1.

(1)判断fx的单调性.

(2)设gxfxax，其中a1.

（i）证明：gx在0,上有唯一的极值点；

（ii）若m为gx在0,上的零点，n为gx在0,上的

极值点，比较2n与m的大小，并说明理由.

sinBsinC

26．已知直角坐标系中ABC满足2，B(1,0)，C(1,0)，动

sinA

试卷第18页（共72页）

点A的轨迹为曲线T．

(1)求曲线T的方程；

6

(2)若半径为的圆的圆心M在曲线T上运动，过原点O作圆M的两条切线，

3

分别与曲线T交于E，F，射线OE，OF的斜率存在，并记为k1，k2．

①求证：k1k2为定值；

②求OEOF的最大值．

27．已知抛物线:y24x与斜率为1的直线l相交于A，B两点．F是的焦

点．C是上异于A，B的一点．

(1)证明：FAFB；

(2)若C是的顶点且CACB，求直线l的方程；

(3)设AB42且ABC的外接圆与有异于A，B，C的公共点D．证明：

直线CD斜率为定值，并求出此定值．

试卷第19页（共72页）

x2y23

28．已知椭圆C:1(ab0)的离心率为，以椭圆两个焦点与短

a2b22

轴的两个端点为顶点构成的四边形的面积为43.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过点P(0,2)作直线l与椭圆C相切于点Q，且直线l斜率大于0，过线段PQ

的中点R作直线交椭圆于A，B两点（点A，B不在y轴上），连结PA，PB，分

别与椭圆交于点M，N，记MPQ,NPQ的面积分别为S1,S2，比较S1与S2的

大小关系，并说明理由.

试卷第20页（共72页）

29．固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线．1691年，

xx

cecec

莱布尼茨等得出“悬链线”方程，其中c为参数．当c1时，就

y

2

exex

是双曲余弦函数chx，悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双

2

曲拱桥、拱坝等工程．类比三角函数的三种性质：①平方关系：sin2xcos2x1；

②两角和公式：cosxycosxcosysinxsiny，③导数：

sinxcosxxx

定义双曲正弦函数ee．

shx

cosxsinx2

(1)直接写出shx，chx具有的类似①、②、③的三种性质(不需要证明)；

(2)当x0时，双曲正弦函数yshx的图像总在直线ykx的上方，求直

线斜率k的取值范围；

，2

(3)无穷数列an满足a1aan12an1，是否存在实数a，使得

5

a？若存在，求出a的值，若不存在，说明理由．

20264

试卷第21页（共72页）

x2y2

30．已知椭圆C：1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，离

a2b2

25

心率为e，左顶点为P，下顶点为Q，过点F2且垂直于x轴的直线交椭

5

圆于两点，且所得弦长为25．

5

(1)求椭圆的方程；

(2)若点T是椭圆上在第一象限内的一个动点，求三角形△PQT面积的最大值；

(3)过F1且斜率不为0的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的中点为M，连

5

接OM并延长交直线x于点N．试探究：在x轴上是否存在一定点G，

2

使得以MN为直径的圆恒过点G？若存在，求点G坐标；若不存在，请说明理

由．

试卷第22页（共72页）

x2y223

31．已知椭圆的长轴长为4，点0,在C上．

C:221(ab0)

ab3

(1)求C的方程；

(2)点P是C上一动点，过点P作两条直线分别交C于M，N两点，直线PM，

22

PN与圆xy1都相切，设直线PM，PN的斜率分别为k1，k2．

（ⅰ）证明：k1k2为定值，并求出该定值；

6

（ⅱ）若直线MN的斜率为，求弦长MN．

3

32．已知函数fxxasinxa0．

(1)若yfx在R上单调递增，求实数a的取值范围．

1

(2)已知a，gxfxblnx1bR,b0，若

2

，求证：2．

gx1gx2x1x2x1x24b

试卷第23页（共72页）

ax

33．已知函数fxx24x5aR．设gxefx，当m1时，

ex

gx1gx22gm（其中x1m,x2m），求证：x1x22m．

34．甲、乙、丙、丁四人进行一场乒乓球比赛，具体赛制为：首先四人抽签两

两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者

试卷第24页（共72页）

进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局并获得第四名；紧接着“败

区”的胜者和“胜区”的“败者”对阵，胜者晋级到决赛，败者获得第三名；最后，

剩下的两人进行决赛，胜者获得冠军，败者获得第二名．已知甲对阵乙、丙、

32

丁时甲获胜的概率均为，乙对阵丙、丁时乙获胜的概率均为，丙与丁对阵

43

时，相互之间获胜的可能性相同，且不同对阵结果相互独立．经过抽签，第一

轮由甲对阵乙，丙对阵丁．

(1)求丙获得第四名的概率；

(2)求甲获得冠军的概率；

(3)求乙参与对阵的比赛场数恰为3的概率．

2

35．已知fxlnxaxa0，若存在均属于区间1,3的，，且

ln3ln2ln2

1，使得ff．证明：a．

53

试卷第25页（共72页）

22

xy13

36．已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，过点A1,．

a2b222

(1)求C的方程；

(2)已知点B0,3，过点P4,0的直线l交C于E，F两点（E，F在x轴

的下方），直线BF交直线x1于点M．

（ⅰ）设直线ME的斜率为k1，直线MF的斜率为k2，判断k1k2是否为定值，

并说明理由；

（ⅱ）证明：直线ME过定点．

试卷第26页（共72页）

37．已知函数fxxalnx1(a1)，此时fx有一个极值点x0，两个零

点x1，x2（不妨设x1x2），记点Ax1,0，Bx2,0，C(x0,f(x0))．

(1)求函数fx的单调区间；

(2)在三角形ABC中，当1ae2时，证明：ACBCAB；

(3)设Dx3,0是动点，且x31，A，D，C是三角形ADC的三个内角，记

TksinDcosAsin2DCcosA(k1)，若T在ae时取到最小值m，

证明：m1．

38．已知焦点在x轴的等轴双曲线C的焦距为4．

(1)求C的标准方程；

(2)设在C的左支上任意一点P处的切线为l，右焦点F关于l的对称点为Q，

证明：直线PQ过定点，并求出该定点坐标：

试卷第27页（共72页）

(3)设（2）中求得的定点为M，求QMF面积的最大值．

39．点A为直线x4上的动点，O为坐标原点，过点A作直线l垂直于y轴，

过点O作直线OA的垂线交直线l于点P．

(1)求点P的轨迹方程；

(2)记P点轨迹为曲线C，C上一定点B，过B作两条不同直线分别交C于M，

N两点，

①直线BM、BN的斜率满足kBMkBN1，且直线MN过点3,2，求定点

B坐标；

②若点B1,2，且直线BM、BN的斜率满足kBMkBN0，设BMN的外

接圆为圆E，过点B作曲线C的切线m，判断直线m与圆E位置关系，并说

明理由．

试卷第28页（共72页）

x

40．已知函数fxeax1

(1)若ae2，求证：fx0；

(2)讨论函数fx的零点个数；

(3)令gxfxax1，若x1，x20,1，求证：

．

gx1gx22x1x2

3

41．已知函数fxx9x12sinx．

试卷第29页（共72页）

(1)若fx21xa在1,1上恒成立，求实数a的取值范围；

(2)设数列an的前n项和为Sn，且2Sn93an．

（ⅰ）求数列an的通项公式；

12221

（ⅱ）求证：*，2coscoscos2n．

nNn1

3a1a2an3

x2

42．已知函数fxx1eaxb．

(1)讨论fx的单调性；

1e21

(2)从以下①和②中选择一项，①a，b2a；②0a，b2a．证

222

明：fx恰有一个零点．

试卷第30页（共72页）

x2

43．已知函数fxekx，xR．

(1)若fx在区间0,上单调递增，试求k的取值范围；

1

(2)若k，求证：当x0,时，fx1；

2

2222

(3)若对任意nN，1111m（mN）恒

142434n4

成立，求m的最小值.

44．已知函数fxxlnx1,x1，定义数列bn满足：

试卷第31页（共72页）

*

b11,bnfbn1,nN，

1111*

(1)证明：2,nN；

bn12bn2

11

(2)证明：b,nN*．

2n1n2n2

x2y2

45．已知双曲线C:1(a0,b0)的离心率为5，左焦点为

a2b2

，右焦点为，点在双曲线上．

F1c,0F2c,0P5,2

(1)求双曲线C的方程；

(2)过点F1作斜率为k（0k1）的直线l与双曲线C交于A,B两点，记

S1

AF1F2与BF1F2的面积分别为S1与S2，求的取值范围；

S2

(3)设M为线段AB的中点，在x轴上是否存在定点N，使得kkMN恒为定值？

若存在，求出N的坐标；若不存在，说明理由．

试卷第32页（共72页）

46．某商场为吸引顾客，推出“幸运大转盘”活动．转盘分为三个区域：红色、黄

11

色、蓝色，指针指向各区域的概率分别为1、、．活动规则为：顾客每转

244

动一次转盘，记录颜色后再次转动转盘，直到三种颜色均至少出现过一次为止，

活动结束，根据转动次数，顾客可获得相应等级的奖品．设X表示活动结束时

顾客转动转盘的次数．

(1)求X3的概率；

(2)求XkkN且k3的概率表达式：

(3)设Y表示出现两种不同颜色之后到出现第三种颜色所需的转动次数（包括第

三种颜色出现的那一次），求Y的数学期望．

1

n1

参考公式：nx2．

n11x

试卷第33页（共72页）

x

47．已知函数fxxeaxb，曲线yfx在点0,f0处的切线方

程为y2x1．

(1)求a，b；

(2)当x0时，fxmfxm，求m的取值范围；

(3)当x0时，fkxfkx2fk，求k的最小值．

x2

48．已知函数fxe1xax，x0．

试卷第34页（共72页）

1

(1)若a，证明：fx0；

2

(2)讨论函数fx在0,上零点的个数；

(3)求实数的最大值，使得对任意x0，都有ex1xx2．

49．某公司研究两款AI对战机器人（星锐，猎影）进行对抗赛，比赛规则为：

共进行奇数局比赛，全部完成后，获胜局数多的机器人胜出．假设每局比赛中，

星锐获胜的概率都是p0p1，各局比赛的结果相互独立，且无平局．

2

(1)当p时，两款机器人共进行5局比赛，设两款机器人所赢局数之差的绝

3

对值为X，求X的分布列和数学期望；

1

(2)当p时，若两款机器人共进行2n1（nN*且n2）局比赛，记事

3

件Ak表示“在前2n1局比赛中星锐赢了kk0,1,2,,2n1局”．事件B表

∣∣∣∣

示“星锐最终获胜”．求PBAn2，PBAn1，PBAn，PBAn1值；

*

(3)若两款机器人共进行了2n1nN局比赛，星锐获胜的概率记为Pn；若

试卷第35页（共72页）

两款机器人共进行了2n1局比赛，星锐获胜的概率记为Pn1；若两款机器人共

1

进行了2n3局比赛，星锐获胜的概率记为P．证明：当0p时，

n22

PnPn22Pn1．

50．设函数fx的定义域为R，若对任意实数x，恒有ffxfx2x

成立，则称函数具有“性质”．

(1)若一次函数fxaxb具有性质，其中a0，求实数a，b的值；

(2)若函数fx具有性质，且fx在R上严格增，证明：fxx；

(3)若具有性质的函数fx满足：存在常数M0，使得对任意xR，都

有fxxM．证明：具有该性质的函数fx是唯一的，并写出其解析式．

试卷第36页（共72页）

51．A，B两盒中各有10件产品，其中A盒中有4件次品，B盒中有5件次品.

(1)在A盒中随机取4件产品，这4件产品中次品数为变量X，求变量X的概

率分布及E(X).

(2)若随机交换A盒与B盒中两件产品后，再从A，B盒中各随机取2件产品，

这4件产品中次品数为变量Y，求E(Y).

(3)甲乙两人轮流从A盒中和B盒中有放回地抽取一件产品，规则如下：甲先从

A盒中抽取，抽到次品加一分后甲继续抽，若抽到正品换乙从B盒中继续抽，

规则一样.求前10轮结束后，甲乙得分期望值的差？

试卷第37页（共72页）

．已知函数|xp|，xp2（，，为常数）．函

52f1(x)3f2(x)23xRp1p2

若

f1(x),f1(x)f2(x)

数f(x)定义为：对每个给定的实数x，f(x).

若

f2(x),f1(x)f2(x)

(1)求f(x)f1(x)对所有实数x成立的充分必要条件（用p1，p2表示）；

(2)设a,b是两个实数，满足ab，且p1，p2(a,b)．若f(a)f(b)，求

ba

证：函数f(x)在区间[a,b]上的单调增区间的长度之和为．（闭区间[m,n]

2

的长度定义为nm）

2nx1

53．设函数fxxmx4e（n是整数）.已知曲线yfx在点

1,f1处的切线方程为4xe2ye280．

(1)求m，n的值；

(2)求fx的极值点个数；

(3)求直线l：ykx1k0与曲线yfx的交点个数．

试卷第38页（共72页）

2

54．已知f(x)exsinx．

3

(1)求曲线yf(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

1x

(2)当x,时，证明f(x)1；

33

1111

(3)求实数a的最大可能值，使得f()f()f()f()(n1)a对任意的

123n

nN*都成立．

试卷第39页（共72页）

2

55．已知函数fxxln1xax，x0，a0．

(1)讨论函数fx在区间0,上的单调性；

1

(2)若0a，求fx在0,上的最大值；

2

2

(3)求实数的最小值，使得对任意x0，都有xln1xx．

56．已知函数fxlnx2aax.

(1)当a1时，求函数fx的单调区间；

(2)若函数fx在其定义域内恰好有两个零点，求实数a的取值范围；

(3)当a1时，求证：函数gxfxx在fx的最小零点x0处取得最小

值x0.

试卷第40页（共72页）

x2

57．已知椭圆Γ:y21，平行四边形ABCD的四个顶点在椭圆Γ上，直

4

线AB，AC，BD的斜率分别为k0，k1，k2．

(1)求椭圆的离心率；

(2)若四边形ABCD为菱形，证明：直线AB，CD之间的距离为定值；

x2y2

(3)若k1，k0，k2成等比数列，射线AC，BD分别交椭圆1于E，F

82

两点，求四边形ABEF面积的取值范围．

试卷第41页（共72页）

x3

58．已知函数fxeaxaaR．

(1)讨论fx的单调性；

(2)若fx存在两个零点．

（i）求实数a的取值范围；

2

（ii）证明：xR，fx3aa．

a2

59．已知函数fxlnxaxaR，gxx1．

x

(1)讨论函数fx的单调性；

1x21

(2)证明：当a时，fxgx；

22x

fx2fx1gx2

(3)若fx有两个极值点x1，x2x1x2，求证：．

gx2gx12

试卷第42页（共72页）

2

60．已知正项数列an的前n项和为Sn，2Snanan2．

(1)求数列an的通项公式；

b

(2)将数列an的前2kk1项重新排列后，得到新数列b1，b2，…，2k，设

b1b2b2b3b3b4b2k1b2k的最大值为T2k，证明：

n111

；

k1T2k8

(3)将数列an1的前2m1m2项重新排列后得到新数列c1，c2，…，

c2m1，该数列满足c1c2，c2c3，c3c4，…，c2m2c2m1是1，2，3，…，

2m2的一个排列，求c1c2m1的最小值．

试卷第43页（共72页）

2

61．已知函数fx2xlnxax，fx是fx的导函数.

(1)当a1时，求函数fx的单调区间.

fxfx

当时，是否存在，使得21成立请说明

(2)a0x1,x2fx1x2?

x2x1

理由.

1

(3)若fx恒成立，求实数a的取值范围.

a

62．已知函数yfx的图象在定义域R上连续不断，fxfx，

fxf2x0，fx在区间0,2上单调递减，fx是fx的导数．

(1)证明：fx是周期函数；

(2)给定t0,2，设aR，证明：存在kat,at，使得fkft；

试卷第44页（共72页）

π12

(3)若fxfx1，f02，f，设函数

222

Fx3fxf3x．

（ⅰ）求Fx的最大值；

（ⅱ）若存在R，使得3fxf3xb对xR恒成立，求实数b

的最小值．

xn

63．已知函数fxaax（a0且a1，x0，nN*）．

(1)若fx0恒成立，求a的取值范围；

(2)讨论fx零点的个数．

试卷第45页（共72页）

x2y2

64．已知椭圆：1（ab0）的左顶点A2,0，右顶点B2,0，

a2b2

6

且过点2,．

2

(1)求出椭圆的方程；

(2)若直线l：yxm上存在点M，椭圆上存在点N，使MAN是以A为

直角顶点的等腰直角三角形，求实数m的取值范围；

(3)若直线l过点Q1,0，与交于C，D两点，C在x轴上方，设直线AC与

直线x2相交于点G，BG中点为H，T为l上一点且满足BTQH，证

明：直线TH与定圆相切．

试卷第46页（共72页）

1

65．已知函数fx2mlnxx(m0)．

x

(1)讨论fx的单调性；

3

1111*

(2)证明：1111e4nN,n2；

223242n2

1

(3)若函数gxm2ln2xx2有三个不同的零点，求m的取值范围．

x

2

66．已知函数fxxasinxaxaR．

π5π

(1)当a0时，求函数gxxfx在,上的最小值；

26

(2)若x0是fx的导函数fx的极大值点，求a的取值范围；

(3)证明：sin0.01sin0.03sin0.05sin0.9924．

试卷第47页（共72页）

xnn1

67．已知函数fxe．对每个正整数n，记Ann,e，Bnn1,e为

函数图象上的两点．设xnn,n1，且曲线yfx在xxn处的切线与直

线AnBn平行．

(1)证明：这样的xn存在且唯一；

(2)求xn；

xnn

(3)设dnee，求数列dn的前n项和．

试卷第48页（共72页）

68．已知双曲线x2y21与直线l:ykxm(k1)有唯一的公共点

Px0,y0，过点P且与直线l垂直的直线分别交x轴、y轴于Mx,0、

N0,y两点.当点P运动时，点Qx,y的轨迹为曲线.

(1)求曲线的方程；

(2)设点T2,0，若过点6,0的直线与曲线的右支交于A、B两点.

（ⅰ）证明：直线TA和直线TB的斜率乘积为定值；

（ⅱ）若直线TA、TB与圆O:x2y24分别交于C、D两点，记四边形

S1

ABDC的面积为S1，△TCD的面积为S2，求的取值范围.

S2

m1n1

．对于任意正整数m,n，证明：kkkk．

69(1)Cm(1)Cn

k0nk1k0mk1

试卷第49页（共72页）

70．已知函数f(x)lnxmx有两个不同的零点x1，x2，求证：

2

x1x22e,x1x2>e.

n(n1)

71．求所有既是三角形数又是完全平方数的正整数，即求满足m2的

2

正整数n，m．

注意：把“两类特殊数相等”的问题，通过配方化为佩尔方程，再用其解的递推一

网打尽，是数论中“不定方程结构化”的经典范式．

试卷第50页（共72页）

72．给定整数n3，由n元实数集合S定义其相伴数集

T{|ab∣|aS,bS且ab}，如果min(T)1，则称集合S为一个n元

规范数集，并定义S的范数f为其中所有元素绝对值之和.

(1)判断A{0.1,1.1,2,2.6},B{1.5,0.5,0.5,1.5}是不是规范数集；（结

论不要求说明理由）

(2)任取一个n元规范数集S，求证：|min(S)||max(S)|n1；

(3)当Sx1,x2,,x2026取遍所有2026元规范数集时，求范数f的最小值.

注：min(X),max(X)分别表示数集X中的最小数与最大数.

试卷第51页（共72页）

x

73．已知函数fxxae1．

(1)求fx的单调区间；

1

(2)当1x1时，fxe，求a的取值范围；

e

st

(3)设st，且当sxt时，efxe，证明：2eset3．

y2x26

74．已知椭圆：1ab0的短轴长为2，离心率为．

a2b23

(1)求椭圆的方程；

(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，C，D为椭圆上不同的两点，

1

（ⅰ）若C，D关于直线yx1对称，求实数k的取值范围；

k

（ⅱ）若C，D关于x轴