2026秋冀教版七上数学第1章有理数（14类题型突破）

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第一章有理数（14类题型突破）（学生版）

目录

题型一相反意义的量...............................................................................................................................1

题型二求一个数的相反数、绝对值、倒数...........................................................................................1

题型三化简多重符号...............................................................................................................................2

题型四绝对值的非负性...........................................................................................................................2

题型五有理数大小的比较.......................................................................................................................2

题型六数轴的三要素及其画法...............................................................................................................2

题型七用数轴上的点表示有理数...........................................................................................................3

题型八数轴上两点之间的距离...............................................................................................................4

题型九有理数的加减中的简便运算.......................................................................................................4

题型十有理数的乘除混合运算...............................................................................................................5

题型十一含乘方的有理数四则混合运算...............................................................................................6

题型十二有理数的混合运算中错题复原问题.......................................................................................7

题型十三用科学记数法表示绝对值大于1的数...................................................................................9

题型十四有理数混合运算中的实际应用...............................................................................................9

题型一相反意义的量

例1.若长江水位升高1m时水位变化记作1m，那么水位下降0.5m时水位变化记作（）

A．0mB．0.5mC．0.5mD．1m

巩固训练

1．如果公元前121年记作121年，那么公元后2024年应记作年．

2．中国是世界上最早使用负数的国家．负数广泛应用到生产和生活中，例如，若零上3℃记作3℃，

则零下2℃记作℃．

3．负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，如果把收入5元记作5元，

那么支出5元记作元．

题型二求一个数的相反数、绝对值、倒数

例2．有理数2024的相反数是（）

11

A．2024B．2024C．D．

20242024

巩固训练

111

1．的相反数是，的绝对值是，的倒数是．

222

1

2．的相反数是，3的绝对值是，2023的倒数是．

2

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第一章有理数（14类题型突破）（学生版）

555

．1的倒数是；1的相反数是；1的绝对值是．

3888

题型三化简多重符号

例3.化简：6，9=．

巩固训练

113

1．化简：3；4；；3．

255

2．化简：（1）10；（2）0.15；

（3）3；（4）20；（5）8.2；

11

（6）0.2；（7）；（8）1．

23

3.若a1，a的相反数为，若a3与a1互为相反数，则a为

题型四绝对值的非负性

例4.若|3a||b1|0，则a，b．

巩固训练

1

1.已知b、c满足b1c0，则bc的值是．

2

2.已知a为有理数，则a24的最小值为．

3.a是最大的负整数，且a、b、c满足abc50．那么a＝，b＝，c＝．

题型五有理数大小的比较

1

例5.比较大小：|1|(0.2)（填“”或“”或“”)．

4

巩固训练

73

1.比较大小：（填“”或“”）．

84

52

2.比较大小（填“>”“<”或“=”）

63

11

3.比较大小：22（请用“<”、“>”或“＝”填空）．

33

题型六数轴的三要素及其画法

例6．下列图形中是数轴的是（）

A．B．

C．D．

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第一章有理数（14类题型突破）（学生版）

巩固训练

1．下列选项中，数轴表示正确的是（）

A．B．C．D．

2．下列数轴正确的是（）

A．B．

C．D．

3．下列数轴表示正确的是（）

A．B．

C．D．

题型七用数轴上的点表示有理数

例7.在数轴上画出表示下列各数表示的点(请标注原数)，并用“”把这些数连接起来．

21

2，2，0，1，3

3

巩固训练

1

1．把下列各数分别表示在数轴上，并用“＞”号把它们连接起来：22，（--5），1，0，|3|．

2

1

2．已知下列有理数：0,3,2.5,13,3．

2

(1)这些有理数中，整数有_____________个，非负数有_____________个．

(2)画出数轴并在数轴上标出上述有理数，并按从小到大的顺序用“＜”连接起来．

3．现有一组数：13、4、3、22、0、2，请回答下列问题：

(1)这组数中所有负数的和为______；

(2)若一组数中的服大值与最小值的差称为极差，则这组数的极差为______；

(3)画出数轴，并在数轴上表示这一组数，再．用．“．<．”．连．接．起．来．.

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题型八数轴上两点之间的距离

例8.数轴上，点A、B所对应的实数分别是2和3，则A、B两点的距离AB．

巩固训练

1.如图，数轴上A、B两点之间的距离为．

2.如图，点A是数轴上的点，若点B在数轴上点A的左边，且AB4，则点B表示的数是．

3.在数轴上有P，M，N三点，点P在点M左侧，M，N两点所表示的数分别是1，8，点P到与

点M，N其中一点距离等于点P到另一点距离的2倍，则满足条件的点P所表示的数是．

题型九有理数的加减中的简便运算

例9.计算：

122222

(1)9.27.49643；(2)1411121411；

553535

2113

(3)．

3838

巩固训练

11

1.计算下列各式：(1)1.255.25(2)(3)(7)8

23

11

(3)0.367.40.50.240.6(4)3(0.5)(3.2)5．

52

15

2.计算题：(1)8115；(2)128；

22

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1121443

(3)0.125350.25；(4)51236．

4835757

725

3.计算：(1)79(2)73

1536

(3)4.853.25(4)71012

314

(5)2.63.42.31.52.3(6)3.367.36．

1717

题型十有理数的乘除混合运算

1211

例10.计算：(1)；(2)(32)4；(3)24(2)1．

2345

巩固训练

114

1.计算：(1)861.25；(2)8128．

349

74

2.计算：(1)20(5)(18)(2)4916

47

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第一章有理数（14类题型突破）（学生版）

11731324

(3)48(4)1995

12642425

3311

3.计算：(1)310.756；(2)0.110；

47525

238

(3)72．

3515

题型十一含乘方的有理数四则混合运算

31

例11.计算：251115

5

巩固训练

5

1.计算：12022(5)2()15．

3

1112022321

2.计算：(1)(12)；(2)1(5)(2)2(4)．

4622

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第一章有理数（14类题型突破）（学生版）

232

(3)422364；(4)1424[53]．

题型十二有理数的混合运算中错题复原问题

例12.课代表发下作业本之后，小刚同学发现有一个题做错了，检查了多遍也没有找出错误的原因，

你能帮他纠错吗？

1111

原题是：计算：244

4323

这是小刚的计算过程：

1111

解：原式24244第一步

4323

11

6844第二步

23

2812第三步

6．第四步

观察小刚的计算过程回答下列问题：

(1)小刚在进行计算第一步时运用了______律；

(2)他在计算中出现了错误，你认为他在第______步出错了？

(3)请你给出正确的解答过程．

巩固训练

11

1.在计算555时，小明的解法如下：

1010

11

解：原式5（第一步）

22

51（第二步）

4（第三步）

回答：

(1)小明的解法是错误的，主要错在第_______步，错因是___________；

(2)请在下面给出正确的解答过程．

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第一章有理数（14类题型突破）（学生版）

11

2.阅读下列解题过程：(15)136

32

25

解：原式(15)6（第一步）

6

(15)(25)（第二步）

3

（第三步）

5

解答问题：

(1)上面解答过程有两个错误，第一处是第_______步，错误的原因是______；第二处是第_______

步，错误的原因是_______．

(2)请你正确解答本题．并请你根据平时的学习经验，就有理数的计算过程还需要注意的事项给同

学们提出一条建议．

3.解答下列各题

4311

(1)计算：261024

468

(2)认真阅读材料，解决问题：

12112

计算：

3031065

2112

分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算；

31065

21121

解：原式的倒数是：

3106530

2112

30

31065

2112

30303030

31065

203512

10

1

故原式．

10

11322

请你根据对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：

4261437

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第一章有理数（14类题型突破）（学生版）

题型十三用科学记数法表示绝对值大于1的数

例13.我国神舟十三号载人飞船的起飞推力为5923000牛．将5923000用科学记数法表示应为．

巩固训练

1.据国家卫健委6月20日通报，截至2021年6月19日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产

建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗101万剂次．其中，101万用科学记数法表示为（）

A．1.01104B．1.01´106C．101104D．0.101107

2.2016年5月下旬，中国大数据博览会在贵阳举行，参加此次大会的约有89000人，将89000用科学

记数法表示为．

3.第二届“一带一路”国际合作高峰论坛于2019年4月25日至27日在北京召开，“一带一路”建设进行

5年多来，中资金融机构为“一带一路”相关国家累计发放贷款约2500亿元，重点支持了基础设施、

社会民生等项目．数据2500亿用科学记数法表示为．

题型十四有理数混合运算中的实际应用

例14.现有15箱苹果，以每箱25千克为标准，超过的部分用正数来表示，不足的部分用负数来表

示，记录如下表

标准质量的差（单位：千克）21.51022.53

箱数1322241

请解答下列问题：

(1)这15箱苹果中，最重的一箱比最轻的一箱重千克．

(2)与标准质量相比，这15箱苹果的总重量共计超过或不足多少千克？

(3)若苹果每千克售价为8元，则这15箱苹果全部售出，共销售多少元？

巩固训练

1.某仓库将运进货物记为正，运出货物记为负，一周进出数的记录如下表(单位∶吨)

星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日合计

261642302596

表中星期五的进出数被墨水涂污了．

(1)请你算出星期五的进出数；

(2)如果进出的装卸费都是每吨10元那么这一周要付多少元装卸费？

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第一章有理数（14类题型突破）（学生版）

2.出租车司机小李某天下午的运营是在一条东西走向的大道上．如果规定向东为正，他这天下午的

行程记录如下：（单位：千米）15，3，14，11，10，18，14

(1)将最后一名乘客送到目的地时，小张在出车点的哪侧，距离出车点多少千米？

(2)离开下午出发点最远时是__________千米；

(3)若汽车的耗油量为0.15升/千米，油价为9.6元/升，这天下午到送完所有乘客时，共需要支付多少

油钱？

3.出租车司机小明在东西向的大直街运营，若规定向东为正，向西为负，他今天共载了11名乘客，

行车里程如下：（单位：千米）

13,5,6,1,10,4,5,12,2,7,9

(1)他将最后一名乘客送到目的地时，距离出车时的地点多少千米？

(2)若汽油耗油量为a升/千米，今天小明开车共耗油多少升？（用含a的整式表示）

(3)若出租车按物价部门规定收费：起步价9元（即：不超过3km，收9元），超过3km后，超过的

部分是每行驶1千米再收2.5元，小王今天共收入多少元？（不计油钱）

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第一章有理数（14类题型突破）（解析版）

目录

题型一相反意义的量.............................................................................................................................11

题型二求一个数的相反数、绝对值、倒数.........................................................................................12

题型三化简多重符号.............................................................................................................................13

题型四绝对值的非负性.........................................................................................................................14

题型五有理数大小的比较.....................................................................................................................15

题型六数轴的三要素及其画法.............................................................................................................16

题型七用数轴上的点表示有理数.........................................................................................................18

题型八数轴上两点之间的距离.............................................................................................................20

题型九有理数的加减中的简便运算.....................................................................................................21

题型十有理数的乘除混合运算.............................................................................................................23

题型十一含乘方的有理数四则混合运算.............................................................................................25

题型十二有理数的混合运算中错题复原问题.....................................................................................26

题型十三用科学记数法表示绝对值大于1的数.................................................................................30

题型十四有理数混合运算中的实际应用.............................................................................................31

题型一相反意义的量

例1.若长江水位升高1m时水位变化记作1m，那么水位下降0.5m时水位变化记作（）

A．0mB．0.5mC．0.5mD．1m

【答案】C

【分析】本题考查了正数和负数表示相反意义的量，根据水位升高记为正，则水位下降记为负即可

得出答案．

【详解】解：若长江水位升高1m时水位变化记作1m，那么水位下降0.5m时水位变化记作0.5m，

故选：C．

巩固训练

1．如果公元前121年记作121年，那么公元后2024年应记作年．

【答案】2024

【分析】本题考查正负数的意义，根据正负数表示一对相反意义的量，公元前为负，则公元后为正，

进行作答即可．

【详解】解：公元前121年记作121年，那么公元后2024年应记作2024年；故答案为：2024．

2．中国是世界上最早使用负数的国家．负数广泛应用到生产和生活中，例如，若零上3℃记作3℃，

则零下2℃记作℃．

【答案】2

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第一章有理数（14类题型突破）（解析版）

【分析】本题考查了正数和负数的意义，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另

一个就用负表示．

【详解】解：零上3℃记作3℃，则零下2℃记作2℃，故答案为：2．

3．负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，如果把收入5元记作5元，

那么支出5元记作元．

【答案】5

【分析】本题考查正数和负数，正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案．

【详解】解：收入5元记作5元，那么支出5元记作5元，故答案为：5．

题型二求一个数的相反数、绝对值、倒数

例2．有理数2024的相反数是（）

11

A．2024B．2024C．D．

20242024

【答案】B

【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，

据此求解即可．

【详解】解：有理数2024的相反数是2024，故选：B．

巩固训练

111

1．的相反数是，的绝对值是，的倒数是．

222

11

【答案】/0.5/0.52

22

【分析】主要考查相反数，绝对值，倒数的概念及性质．只有符号不同的两个数互为相反数，0的

相反数是0；若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数；一个正数的绝对值是它本身，一

个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．根据相关的定义进行解答即可．

1111111

【详解】解：的相反数是，的绝对值是，的倒数是2．故答案为：；；2．

2222222

1

2．的相反数是，3的绝对值是，2023的倒数是．

2

11

【答案】3

22023

【分析】本题主要考查了倒数、绝对值、相反数等知识点，掌握乘积为1的两个数互为倒数，正数

和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相

反数是0成为解题的关键．

根据倒数、绝对值、相反数的定义解答即可．

11111

【详解】解：的相反数是，3的绝对值是3，2023的倒数是；故答案为：，3，．

22202322023

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555

．1的倒数是；1的相反数是；1的绝对值是．

3888

855

【答案】11

1388

【分析】本题考查倒数相反数绝对值的概念，熟练掌握相关概念是解答本题的关键．若两个数的乘

积是1，我们就称这两个数互为倒数；一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个负数的

绝对值是它的相反数．

585555855

【详解】解：1的倒数是，1的相反数是1，1的绝对值是1．故答案为：；1；1．

81388881388

题型三化简多重符号

例3.化简：6，9=．

【答案】69

【分析】本题考查的是化简双重符号，化简绝对值，利用相反数，绝对值是含义化简即可.

【详解】解：66，99；故答案为：6，9

巩固训练

113

1．化简：3；4；；3．

255

113

【答案】343

255

【分析】根据相反数的定义化简相应符号即可．

11

【详解】解：33，

22

11

44，

55

33

，

55

33，

113

故答案为：3，4，，3．

255

【点睛】本题考查了相反数，解题的关键是利用相反数的定义化简符号．

2．化简：

（1）10；（2）0.15；（3）3；

（4）20；（5）8.2；（6）0.2；（7）

11

；（8）1．

23

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11

【答案】100.153208.20.21

23

【分析】负数的绝对值等于其相反数，正数与0的绝对值等于其本身，据此即可作答．

【详解】（1）1010；（2）0.150.15；（3）33；（4）2020；

1111

（5）8.28.2；（6）0.20.2；（7）；（8）11，

2233

11

故答案为：10，0.15，3，20，8.2，0.2，，1．

23

【点睛】本题主要考查了符号的多重化简，绝对值以及相反数等知识，掌握解答的方法是解本题的

关键．

3.若a1，a的相反数为，若a3与a1互为相反数，则a为

【答案】11

【分析】本题考查了相反数及化简多重符号，先根据化简多重符合得a1，则可得a的相反数，根

据相反数的性质得a3a10，进而可得a1，熟练掌握相反数的定义及化简多重符合的运算法

则是解题的关键．

【详解】解：若a1，则a1，即：a1，

a的相反数为：1，

若a3与a1互为相反数，则a3a10，即：a1，故答案为：1；1．

题型四绝对值的非负性

例4.若|3a||b1|0，则a，b．

【答案】31

【分析】本题考查了绝对值的非负性；根据非负数的性质可得3a0，b10，即可求解．

【详解】因为|3a||b1|0，且3a0，|b1|0，

所以3a0，b10，所以a3，b1．故答案为：3，1．

巩固训练

1

1.已知b、c满足b1c0，则bc的值是．

2

31

【答案】/1/1.5

22

11

【分析】本题考查了绝对值的性质，根据b1c0，得到b1,c,

22

代入计算即可．

1

【详解】∵b1c0，

2

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第一章有理数（14类题型突破）（解析版）

1

∴b1,c，

2

13

∴bc1，

22

31

故答案为：或1或1.5．

22

2.已知a为有理数，则a24的最小值为．

【答案】4

【分析】本题考查了绝对值的非负性，解题的关键是掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是

它的相反数，0的绝对值是0．根据绝对值的非负性即可解答．

【详解】解：∵a20，

∴a244，

∴a24的最小值为4，故答案为：4．

3.a是最大的负整数，且a、b、c满足abc50．那么a＝，b＝，c＝．

【答案】115

【分析】本题考查了绝对值非负性的应用，先根据已知条件得到a的值，然后根据绝对值的非负性

得到b、c的值，掌握绝对值的非负性是解题的关键．

【详解】解：∵a是最大的负整数，

∴a1，

∵abc50，

∴ab0，c50，

∴ab0，c50，

∴1b0，c50，

解得：b1,c5，

∴a1,b1,c5，

故答案为：1,1,5．

题型五有理数大小的比较

1

例5.比较大小：|1|(0.2)（填“”或“”或“”)．

4

【答案】

【分析】利用绝对值性质及相反数定义将两数计算后进行比较即可．本题考查绝对值性质，相反数

的定义及有理数的大小比较，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．

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111

【详解】解：|1|1，(0.2)0.2，10.2，

444

1

|1|(0.2)，故答案为：．

4

巩固训练

73

1.比较大小：（填“”或“”）．

84

【答案】

【分析】本题主要考查了有理数比较大小，根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝

对值越大其值越小进行求解即可．

77336

【详解】解：∵，

88448

73

∴，故答案为：．

84

52

2.比较大小（填“>”“<”或“=”）

63

【答案】

【分析】本题考查的是两个负数的大小比较，先比较两数的绝对值，再根据绝对值大的反而小即可

得到答案．

5555224

【详解】∵，，，

6666336

54

∴，

66

52

∴

63

故答案为：．

11

3.比较大小：22（请用“<”、“>”或“＝”填空）．

33

【答案】

【分析】本题考查了有理数的大小比较，解题的关键是掌握有理数的大小比较方法；

先化简，再根据有理数的大小比较法则比较即可．

11

【详解】22

33

11

22

33

11

22

33

11

22

33

故答案为：．

题型六数轴的三要素及其画法

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第一章有理数（14类题型突破）（解析版）

例6．下列图形中是数轴的是（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【分析】本题主要考查数轴的概念，熟练掌握数轴的三要素：正方向，原点，单位长度，是解题的

关键．

根据数轴的三要素：正方向，原点，单位长度，逐一判断选项，即可．

【详解】A中的没有单位长度，错误；

B中没有正方向，错误；

C中满足原点，正方向，单位长度，正确；

D中没有原点，错误．故选C．

巩固训练

1．下列选项中，数轴表示正确的是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【分析】根据数轴的特点进行解答即可．

【详解】A、数轴无原点，此选项不符合题意；B、数轴位长度不统一，此选项不符合题意；

C、数轴方向不统一，此选项不符合题意；D、数轴表示正确，此选项符合题意；故选：D．

【点睛】此题考查了数轴三要素，熟知规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴是解题的关

键．

2．下列数轴正确的是（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【分析】本题考查的是数轴．根据数轴定义：规定了正方向、原点、单位长度的直线叫做数轴，我

们一般规定，数轴向右为正方向，单位长度必须一致，依据以上标准判断即可．

【详解】解：A、不正确，错误原因：数轴单位长度不一致；B、正确；

C、不正确，错误原因：缺少正方向；D、不正确，错误原因：缺少了原点．故选：B．

3．下列数轴表示正确的是（）

A．B．

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第一章有理数（14类题型突破）（解析版）

C．D．

【答案】D

【分析】本题考查了数轴的认识，数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，据此作答即可．

【详解】解：A、的正方向错了，故该选项是错误的；

B、的数值标错了，故该选项是错误的；

C、没有正方向，故该选项是错误的；

D、原点、正方向、单位长度都正确，故该选项是正确的；故选：D

题型七用数轴上的点表示有理数

例7.在数轴上画出表示下列各数表示的点(请标注原数)，并用“”把这些数连接起来．

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