北师版九年级数学下册第一章1.5《三角函数的应用》(共5份)

第一章

直角三角形的边角关系5三角函数的应用【创设情境】问题2如图，海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁．今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处．之后，货轮继续往东航行．你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？你是怎样想的？与同伴进行交流．【启发思考】问题3表示方向的角——方位角在航行、测绘等工作中经常用到．在平面图形中，方位是如何规定的？方位角一般以什么方向为基准？结论：上北下南，左西右东；正北、正南方向为基准．追问1：问题2中的A岛南偏西55°和A岛南偏西25°分别指的是什么角？答案：∠BAD=55°，∠CAD=25°．追问2：现在可以解决问题2中的问题了吗？【探究问题】问题4如图，小明想测量塔CD的高度．他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处．测得仰角为60°．那么该塔有多高？(小明的身高忽略不计，结果精确到1m)追问：什么是仰角？在这个图中，30°的仰角、60°的仰角分别指哪两个角？结论：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．30°的仰角指∠DAC，60°的仰角指∠DBC．【探究问题】问题5某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由40°减至35°，已知原楼梯长为4m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面？(结果精确到0.01m)要求：请同学们根据题意，画出示意图，将这个实际问题转化成数学问题，（先独立完成，然后相互交流，讨论各自的想法）已知：如图，AD⊥DB，∠ABD＝40°，∠ACD＝35°，AB＝4m．求AC－AB及BC的长度．【形成结论】利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)；(2)根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形；(3)获得数学问题的答案；(4)检验答案是否符合实际问题．【巩固提高】练习1如图，一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且DB＝5m，现再在C点上方2m处加固另一条钢缆ED，那么钢缆ED的长度为多少？【巩固提高】练习2如图，水库大坝的截面是梯形ABCD，坝顶AD＝6m，坡长CD＝8m．坡底BC＝30m，∠ADC=135°．(1)求∠ABC的大小；(2)如果坝长100m．那么建筑这个大坝共需多少土石料？(结果精确到0.01m3)【巩固提高】布置作业：1、教科书习题1.6第1题，第2题．（必做题）2、教科书习题1.6第3题，第4题．（选做题）单击此处编辑母版标题样式三角函数的应用1、一物体沿坡度为

的山坡向上移动

m,则物体升高了

m

．2、在地面上一点，测得一电视塔尖的仰角为,沿水平方向，再向塔底前进am

，又测得塔尖的仰角为

，那么电视塔的高为

3、如图所示，在高2m

，坡角为

的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要

m

．1m温故知新，引入新课船有无触礁的危险如图,海中有一个小岛A,该岛四周10海里内暗礁.今有货轮四由西向东航行,开始在A岛南偏西550的B处,往东行驶20海里后到达该岛的南偏西250的C处.之后,货轮继续向东航行.请与同伴交流你是怎么想的?怎么去做?你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?A导学知识，合作探究1、思路点拔

（2）请同学们根据题意在练习本上画出示意图,然后说明你是怎样画出来的.

ABCD北东（1）我们注意到题中有很多方位,在平面图形中,方位是如何规定的?

应该是“上北下南,左西右东”.首先我们可将小岛A确定,货轮B在小岛A的南偏西55°的B处,C在B的正东方,且在A南偏东25°处.示意图如右.（3）货轮要向正东方向继续行驶,有没有触礁的危险,由谁来决定?

根据题意,小岛四周10海里内有暗礁,那么货轮继续向东航行的方向如果到A的最短距离大于10海里,则无触礁的危险,如果小于10海里则有触礁的危险.A到BC所在直线的最短距离为过A作AD⊥BC,D为垂足,即AD的长度.我们需根据题意,计算出AD的长度,然后与10海里比较.ABCD北东

（4）下面我们就来看AD如何求.根据题意,有哪些已知条件呢?已知BC＝20海里,∠BAD＝55°,∠CAD＝25°.（5）在示意图中,有两个直角三角形Rt△ABD和Rt△ACD.你能在哪一个三角形中求出AD呢?ABCD北东

在Rt△ACD中,只知道∠CAD=25°,不能求AD.

在Rt△ABD中,知道∠BAD=55°,虽然知道BC＝20海里,但它不是Rt△ABD的边,也不能求出AD.这两个三角形有联系,AD是它们的公共直角边.而且BC是这两个直角三角形BD与CD的差,即BC＝BD-CD.BD、CD的对角是已知的,BD、CD和边AD都有联系.（6）那该怎么做呢?是不是可以将它们结合起来,站在一个更高的角度考虑?ABCD北东在Rt△ABD中,,在Rt△ACD中,

利用BC＝BD-CD就可以列出关于AD的一元一次方程,即ADtan55°-ADtan25°＝20.

（7）有何联系呢?ABCD北东解:过点A作AD⊥BC交BC延长线于点D,根据题意可知,∠BAD=550,∠CAD=250,BC=20海里.设AD=x,则答:货轮继续向东航行途中没有触礁的危险.D┌ABCD北东550250（海里）因为，AD>10海里,所以无触礁的危险.古塔究竟有多高如图,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为300,再往塔的方向前进50m至B处,测得仰角为600,那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计,结果精确到1m).要解决这问题,我们仍需将其数学化.请与同伴交流你是怎么想的?准备怎么去做?现在你能完成这个任务吗?合作探究，理解新知这个图形与前面的图形相同,因此解答如下:DABC┌50m300600答:该塔约有43m高.解:如图,根据题意可知,∠A=300,∠DBC=600AB=50m.设CD=x,则∠ADC=600,∠BDC=300,楼梯加长了多少某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由原来的40°减至35°，已知原楼梯的长度为4m，调整后的楼梯会加长多少?楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.01m).现在你能完成这个任务吗?请与同伴交流你是怎么想的?准备怎么去做?ABCD┌课堂练习，巩固新知解:如图,根据题意可知，∠A=350,∠BDC=40°，DB=4m.求(1)AB-BD的长，(2)AD的长.ABCD┌4m350400答:调整后的楼梯会加长约0.48m.解:如图,根据题意可知,∠A=350,∠BDC=400,DB=4m.求(2)

AD的长.ABCD┌4m350400答:楼梯多占约0.61m一段地面.钢缆长几何如图，一灯柱AB被一钢缆CD固定.CD与地面成40°夹角，且DB=5m.现再在CD上方2m处加固另一根钢缆ED，那么，钢缆ED的长度为多少?(结果精确到0.01m).EBCD2m4005m课堂练习，检测新知解:如图,根据题意可知,∠CDB=40°，EC=2m，DB=5m.求DE的长.EBCD2m4005m答:钢缆ED的长度约为7.97m.大坝中的数学计算2如图,水库大坝的截面是梯形ABCD,坝顶AD=6m,坡长CD=8m.坡底BC=30m,∠ADC=1350.(1)求坡角∠ABC的大小;(2)如果坝长100m,那么修建这个大坝共需多少土石方(结果精确到0.01m3).解答问题需要有条有理解:如图,(1)求坡角∠ABC的大小;过点D作DE⊥BC于点E,过点A作AF⊥BC于点F.答:坡角∠ABC约为13°.计算需要空间想象力解:如图,(2)如果坝长100m，那么修建这个大坝共需多少土石方(结果精确到0.01m3).答:修建这个大坝共需土石方约10182.34m3.如图，20海里／时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货.此时.接到气象部门通知，一台风中心正以40海里／时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中200海里的圆形区域(包括边界)均受到影响.

(1)问：B处是否会受到台风的影响?请说明理由.(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物?(供选用数据：)拓展延伸，升华知识解：(1)过点B作BD⊥AC.垂足为D.

依题意，得∠BAC＝30°，在Rt△ABD中，

∴B处会受到台风影响.(2)以点B为圆心，200海里为半径画圆交AC于E、F，由勾股定理可求得DE=120..

∴(小时).因此，该船应在3.8小时内卸完货物.感悟：利用解直角三角形的知识解决实际问题

的一般步骤:1.将实际问题抽象为数学问题;(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题)2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形;3.得到数学问题的答案;4.得到实际问题的答案.(有“弦”用“弦”;无“弦”用“切”)1、本节课我们运用三角函数解决了与直角三角形有关的实际问题,提高了我们分析和解决实际问题的能力.2、

其实,我们这一章所学的内容属于“三角学”的范畴.请同学们阅读“读一读”,了解“三角学”的发展,相信你会对“三角学”更感兴趣.课后小结作业布置P21

习题1.6

1,2,3题;祝你成功！九年级数学(下)第一章

直角三角形的边角关系5.三角函数的应用(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）;1、解直角三角形的依据(2)两锐角之间的关系:∠A＋∠B＝90º;(3)边角之间的关系:ＡＣＢabc知识回顾指南或指北的方向线与目标方向线构成小于900的角,叫做方位角.如图:点A在O的北偏东30°点B在点O的南偏西45°（西南方向）30°45°BOA东西北南方位角介绍:船有无触礁的危险如图,海中有一个小岛A,该岛四周10海里内暗礁.今有货轮四由西向东航行,开始在A岛南偏西550的B处,往东行驶20海里后到达该岛的南偏西250的C处.之后,货轮继续向东航行.

想一想ABCD北东550250船有无触礁的危险

想一想要解决这个问题,我们可以将其数学化,如图:请与同伴交流你是怎么想的?怎么去做?你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?ABCD北东550250解:过点A作AD⊥BC交BC延长线于点D,根据题意可知,∠BAD=550,∠CAD=250,BC=20海里.设AD=x,则答:货轮继续向东航行途中没有触礁的危险.D┌ABCD北东550250（海里）因为,AD>10海里,所以无触礁的危险.古塔究竟有多高如图,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为300,再往塔的方向前进50m至B处,测得仰角为600,那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计,结果精确到1m).要解决这问题,我们仍需将其数学化.请与同伴交流你是怎么想的?准备怎么去做?现在你能完成这个任务吗?合作探究，理解新知这个图形与前面的图形相同,因此解答如下:DABC┌50m300600答:该塔约有43m高.解:如图,根据题意可知,∠A=300,∠DBC=600AB=50m.设CD=x,则∠ADC=600,∠BDC=300,楼梯加长了多少某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由原来的400减至350,已知原楼梯的长度为4m,调整后的楼梯会加长多少?楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.01m).现在你能完成这个任务吗?

做一做ABCD┌4m350400联想的功能

随堂练习解:ABCD┌4m350400答:调整后的楼梯会加长约0.48m.1如图,有一斜坡AB长40m,坡顶离地面的高度为20m,求此斜坡的倾斜角.2.有一建筑物,在地面上A点测得其顶点C的仰角为30°,向建筑物前进50m至B处,又测得C的仰角为45°,求该建筑物的高度(结果精确到0.1m).3.如图,燕尾槽的横断面是一个等腰梯形,其中燕尾角∠B=55°,外口宽AD=180mm,燕尾槽的深度是70mm,求它的里口宽BC(结果精确到1mm).ABC┌ABCD┌E┐F答案1如图,有一斜坡AB长40m,坡顶离地面的高度BC为20m,求此斜坡的倾斜角.ABC┌2.有一建筑物,在地面上A点测得其顶点C的仰角为300,向建筑物前进50m至B处,又测得C的仰角为450,求该建筑物的高度(结果精确到0.1m).BACD50m┌300450答:建筑物约高68.3米.解:作,垂足为点D,设3.如图,燕尾槽的横断面是一个等腰梯形,其中燕尾角∠B=550,外口宽AD=180mm,燕尾槽的深度是70mm,求它的里口宽BC(结果精确到1mmm).答:燕尾槽的里口宽约为278mm解:作

垂足分别为E,F

如图,在小岛上有一观察站A.据测,灯塔B在观察站A北偏西450的方向,灯塔C在B正东方向,且相距10海里,灯塔C与观察站A相距10海里,请你测算灯塔C处在观察站A的什么方向？北ABCD10510F45°45°知识拓展与延伸

如图,在小岛上有一观察站A.据测,灯塔B在观察站A北偏西450的方向,灯塔C在B正东方向,且相距10海里,灯塔C与观察站A相距10海里,请你测算灯塔C处在观察站A的什么方向？解:过点C作CD⊥AB,垂足为D北ABCD10510F∵灯塔B在观察站A北偏西45°的方向∴∠B=45°∴CD=BC·sinB=10×sin45°=10×=∵在Rt△DAC中,

sin∠DAC=∴∠DAC=30°∴∠CAF=∠BAF

-∠DAC=45°-30°=15°45°45°∴灯塔C处在观察站A的北偏西15°的方向回味无穷解三角函数应用题的基本思想小结拓展解三角函数应用题的一般步骤:1.数学化:将实际问题抽象出一个几何图形;2、解直角三角形:选择适当的边角关系,按题意要求求出末知的边和角3、答案:按题意要求作出正确的答案.作业布置:课本第21页习题1.6:1、2、3题《三角函数的应用》课件3船有无触礁的危险如图,海中有一个小岛A,该岛四周10海里内暗礁.今有货轮四由西向东航行,开始在A岛南偏西550的B处,往东行驶20海里后到达该岛的南偏西250的C处.之后,货轮继续向东航行.

想一想1驶向胜利的彼岸要解决这个问题,我们可以将其数学化,如图:请与同伴交流你是怎么想的?怎么去做?你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?ABCD北东真知在实践中诞生解:要知道货轮继续向东航行途中有无触礁的危险,只要过点A作AD⊥BC的延长线于点D,如果AD>10海里,则无触礁的危险.根据题意可知,∠BAD=550,∠CAD=250,BC=20海里.设AD=x,则

随堂练习2驶向胜利的彼岸数学化?答:货轮继续向东航行途中没有触礁的危险.D┌ABCD北东550250古塔究竟有多高如图,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为300,再往塔的方向前进50m至B处,测得仰角为600,那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计,结果精确到1m).

想一想3驶向胜利的彼岸要解决这问题,我们仍需将其数学化.请与同伴交流你是怎么想的?准备怎么去做?现在你能完成这个任务吗?行家看“门道”这个图形与前面的图形相同,因此解答如下:

例题欣赏4驶向胜利的彼岸?这样解答DABC┌50m300600答:该塔约有43m高.解:如图,根据题意可知,∠A=300,∠DBC=600,AB=50m.设CD=x,则∠ADC=600,∠BDC=300,老师期望:这道题你能有更简单的解法.楼梯加长了多少某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由原来的400减至350,已知原楼梯的长度为4m,调整后的楼梯会加长多少?楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.01m).

做一做5现在你能完成这个任务吗?驶向胜利的彼岸请与同伴交流你是怎么想的?准备怎么去做?ABCD┌联想的功能

随堂练习6这样做驶向胜利的彼岸解:如图,根据题意可知,∠A=350,∠BDC=400,DB=4m.求(1)AB-BD的长,(2)AD的长.ABCD┌4m350400答:调整后的楼梯会加长约0.48m.联想的功能

随堂练习7这样做驶向胜利的彼岸解:如图,根据题意可知,∠A=350,∠BDC=400,DB=4m.求(2)AD的长.ABCD┌4m350400答:楼梯多占约0.61m一段地面.钢缆长几何如图,一灯柱AB被一钢缆CD固定.CD与地面成400夹角,且DB=5m.现再在CD上方2m处加固另一根钢缆ED,那么,钢缆ED的长度为多少?(结果精确到0.01m).

随堂练习8驶向胜利的彼岸怎么做?我先将它数学化!EBCD2m4005m真知在实践中诞生解:如图,根据题意可知,∠CDB=400,EC=2m,DB=5m.求DE的长.

随堂练习9驶向胜利的彼岸就这样?∴∠BDE≈51.12°.EBCD2m4005m答:钢缆ED的长度约为7.97m.回味无穷由锐角的三角函数值反求锐角小结拓展填表:已知一个角的三角函数值,求这个角的度数(逆向思维)驶向胜利的彼岸∠A=∠A=∠A=∠A=∠A=∠A=∠A=∠A=∠A=知识的升华独立作业P26习题1.61，2，3，4题祝你成功！驶向胜利的彼岸结束寄语悟性的高低取决于有无悟“心”,其实,人与人的差别就在于你是否去思考,去发现.下课了!再见本课时编写：西平中学谢老师第1单元·直角三角形的边角关系解直角三角形北京师范大学出版社九年级|下册

解直角三角形的原则：(1)有角先求角无角先求边(2)有斜用弦,无斜用切；宁乘毋除,取原避中。仰角:水平线与在它上方的视线所成的角.俯角:水平线与在它下方的视线所成的角北京师范大学出版社九年级|下册

例1.一艘轮船在A处观测灯塔S在船的北偏东30度,轮船向正北航行15海里后到达B处,这时灯塔S恰好在船的正东.求灯塔S与B处的距离.(精确到0.1海里)例2.在地面上,利用测角仪CD,测得旗杆顶A的仰角为45度,已知点D到旗杆底部的距离BD=28米,测角仪高CD=1.3米.求旗杆高AB(精确到0.1米)画出平面图形北京师范大学出版社九年级|下册

例3.一铁路路基的横断面是等腰梯形,路基顶部的宽为9.8米,路基高为5.8米,斜坡与地面所成的角A为60度.求路基低部的宽(精确到0.1米)坡角:坡面与水平的夹角.通常指锐角或直角.坡度(或坡比):坡面的垂直高度h与水平宽度l的比.北京师范大学出版社九年级|下册

练习：热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高？（结果精确到0.1m)?ABCD北京师范大学出版社九年级|下册

单击此处编辑母版标题样式北京师范大学出版社九年级|下册

ABP

解：过P点作PD垂直于AB，交AB的延长线于D∴

∠PAD=30°,∠PBD=45°在Rt△BDP中，∴

BD=PDAB=9×20÷60=3海里设BD=PD=x海里∴

AD=(3+x)海里tanA=在Rt△ADP中x=AD·tan30°=(3+x)·∴

PD=x>3∠PBD=45°北东∵∠1＝60°∠2＝45°

60°45°xxD12北京师范大学出版社九年级|下册

练习:公路MN和公路PQ在点P处交汇，且

QPN=30

，点A处有一所中学.AP=160米，假设拖拉机行驶时，周围100米内会受噪音的影响.那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响？请说明理由.已知拖拉机的速度是18千米/小时，如果受到影响，那么学校受影响的时间是多长？北京师范大学出版社九年级|下册

解：过点A作AB垂直于MN，垂足为B点。∵PBA=90°，

BPA=30°，PA=160米∴AB=80米〈100米∴受影响.以A为圆心，100米为半径作圆弧，与PN交于点C、D.∵AC=100米，AB=80米∴BC=60米∴CD=2BC=120米∵v=18千米/小时=5米/秒∴t=s/v=120/5=24（秒）答：学校受影响，时间为24秒.PMNACBDQ∟︵30°·160连接AC，AD。北京师范大学出版社九年级|下册

例5、一架外国侦察机沿ED方向侵入我国领空进行非法侦察，我空军派出战斗