小学奥数七大模块知识梳理-含真题分类练习

小学奥数七大模块知识梳理——含真题分类练习

标签：小学奥数/七大模块/知识体系/真题分类/计算/数论/几何/行程/应用题/计数/组合

日期：2026年9月

文档定位与覆盖承诺

本文档解决的核心问题：小学奥数知识点散落在各类教材和题库中，学生和家长不清楚七大模块各自包含什么内容、

学习顺序如何安排、每个模块的核心考点是什么、真题演示。

覆盖承诺：全文覆盖七大模块，每个模块含知识框架、核心公式速查、真题分类练习（附完整详细解析，每一步推导

都完整呈现）。

目录

第一章七大模块总览与学习优先级

第二章计算模块

第三章数论模块

第四章几何模块

第五章行程模块

第六章应用题模块

第七章计数模块

第八章组合模块

第一章七大模块总览与学习优先级

小学奥数根据高思课本“知识树”体系，划分为七大模块。各模块的章节数量、难度定位和学习优先级如下：

模块章节数量难度定位学习优先级核心定位

应用题约80个基础盘最高最重要的基本盘

计算37个基础盘最高一切的基础

组合数学37个次难较低拔高模块，优先级靠后

几何31个中间盘较高难度不是很高，尽量拿下

行程约30个中高难度较高应用题中的重点和难点

数论约25个高难度中等杯赛高频考点

计数约20个中等中等排列组合与容斥原理为核心

各模块年级分布：

模块一二年级三四年级五六年级

间隔、排队、周期初步、鸡兔植树、盈亏、和差倍、行程初复杂行程、工程、浓度、比

应用题

同笼图解法步、牛吃草例、方程

速算巧算、数列规律、乘除法等差数列、乘法分配律、整数分数计算、分数裂项、比较

计算

基础裂项与估算

组合数游戏策略、抽屉原理、最值问

位置、分类、找路线、奇偶数复杂逻辑推理、构造论证

学题

面积计算、等积变形、格点面直线形比例、圆与扇形、立

几何拼图、角初步、立体图形初步

积体几何

流水行船、环形路线、钟表

行程—相遇问题、追及问题初步

问题

整除特征、奇偶分析、质数合余数定理、中国剩余定理、

数论—

数完全平方数

排列组合、容斥原理、图形

计数—加法原理、乘法原理

计数

第二章计算模块

2.1模块概述

计算是小学奥数的根基，37个章节贯穿小学六年。低年级以培养数感和运算灵活性为主，中年级以掌握运算律和巧算

技巧为主，高年级以分数运算和代数思维为主。

2.2核心公式速查

运算律：

加法交换律：a+b=b+a

加法结合律：a+b+c=a+(b+c)

减法的性质：a-b-c=a-(b+c)

乘法交换律：a×b=b×a

乘法结合律：a×b×c=a×(b×c)

乘法分配律：a×(b+c)=a×b+a×c

除法的性质：a÷b÷c=a÷(b×c)

平方公式：

完全平方公式：(a+b)²=a²+2ab+b²

平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b²

等差数列公式：

通项公式：aₙ=a₁+(n-1)d

项数公式：n=(aₙ-a₁)÷d+1

求和公式：S=(a₁+aₙ)×n÷2

奇数项求和：S=中间项×项数

特殊数列求和：

山顶和公式：1+2+…+n+…+2+1=n²

奇数和公式：1+3+5+…+(2n-1)=n²

偶数和公式：2+4+6+…+2n=n²+n

平方和公式：1²+2²+…+n²=n(n+1)(2n+1)÷6

立方和公式：1³+2³+…+n³=[n(n+1)÷2]²

2.3真题分类练习

练习一（加减法巧算）

计算：2010-2009-2008+2007+2006-2005-2004+2003+…+6-5-4+3+2-1

解析：

观察数字排列规律。从2010开始，每4个数字构成一组：

第1组：2010-2009-2008+2007。计算：2010-2009=1，1-2008=-2007，-2007+2007=0。

第2组：2006-2005-2004+2003。计算：2006-2005=1，1-2004=-2003，-2003+2003=0。

每一组的结果都是0。

从2010到3共有2008个数（2010-3+1=2008），2008÷4=502组，每组结果为0，所以502组的总和为0。

剩余数字：+2-1=1。

原式=0+1=1。

答案：1

练习二（乘法巧算）

计算：25×5×64×125

解析：

观察到25需要与4配对得100，125需要与8配对得1000。将64拆分为4×8×2（因为64=4×8×2）。

原式=25×5×(4×8×2)×125

利用乘法交换律和结合律重新分组：

=(25×4)×(8×125)×(5×2)

=100×1000×10

=1,000,000

答案：1,000,000

练习三（等差数列）

计算：2+4+6+…+98+100+98+…+6+4+2

解析：

将原式拆分为两部分：

第一部分：2+4+6+…+98+100

这是首项a₁=2、末项aₙ=100、公差d=2的等差数列。

项数n=(100-2)÷2+1=50。

和S₁=(2+100)×50÷2=102×50÷2=2550。

第二部分：98+96+…+4+2

这是首项a₁=98、末项aₙ=2、公差d=-2的等差数列。

项数n=(98-2)÷2+1=49。

和S₂=(98+2)×49÷2=100×49÷2=2450。

原式=S₁+S₂=2550+2450=5000。

答案：5000

练习四（平方和公式）

利用公式1²+2²+3²+…+n²=n(n+1)(2n+1)÷6，计算1²+2²+3²+…+19²+20²

解析：

n=20，代入公式：

S=20×(20+1)×(2×20+1)÷6

=20×21×41÷6

先算20÷6无法整除，调整计算顺序：20×21=420，420÷6=70。

=70×41

=2870

答案：2870

练习五（整数裂项）

计算：1×3+3×5+…+17×19+19×21

解析：

观察每一项的形式：n(n+2)，其中n为奇数，从1到19。

利用裂项技巧：n(n+2)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]÷3。

验证：n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)=n(n+1)[(n+2)-(n-1)]=n(n+1)×3。除以3后等于n(n+1)。这与n(n+2)不一致。

正确的裂项应为：n(n+2)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]÷3。

展开验证：n(n+1)(n+2)=n³+3n²+2n，(n-1)n(n+1)=n³-n。相减得(n³+3n²+2n)-(n³-n)=3n²+3n=3n(n+1)。除以3得

n(n+1)。但这等于n²+n，不等于n(n+2)=n²+2n。

正确的裂项公式应为：n(n+2)=[n(n+1)(n+2)-(n-2)(n-1)n]÷3？需要重新推导。

直接计算前几项找规律：

1×3=3，3×5=15，5×7=35，7×9=63。

使用裂项：n(n+2)=n²+2n。

考虑n(n+1)(n+2)-(n-2)(n-1)n=n[(n+1)(n+2)-(n-2)(n-1)]=n[(n²+3n+2)-(n²-3n+2)]=n×6n=6n²。除以3得2n²，不

对。

换一种思路：直接对n²+2n求和。

奇数序列1,3,5,...,19，共10项。

Σn(n+2)=Σn²+2Σn=(1²+3²+5²+...+19²)+2×(1+3+5+...+19)。

前n个奇数平方和公式：1²+3²+5²+...+(2n-1)²=n(2n-1)(2n+1)÷3。

这里n=10，奇数平方和=10×19×21÷3=3990÷3=1330。

1+3+5+...+19=10²=100。

Σn(n+2)=1330+2×100=1330+200=1530。

答案：1530

第三章数论模块

3.1模块概述

数论是小学奥数中理论性最强、难度最高的模块，也是华杯赛、希望杯等杯赛的高频考点。核心专题包括整除特征、

奇偶性分析、质数与合数、最大公因数与最小公倍数、位值原理、余数三大定理、中国剩余定理、完全平方数等15个

专题。

3.2核心公式速查

整除特征：

除数特征示例

2末位是0、2、4、6、8128

3各数位数字之和是3的倍数123（1+2+3=6）

5末位是0或5135

9各数位数字之和是9的倍数729（7+2+9=18）

11奇数位数字和与偶数位数字和之差是11的倍数1331（1+3=4，3+1=4，差为0）

4和25末两位数是4或25的倍数1316

8和125末三位数是8或125的倍数5120

除数特征示例

7、11、13末三位数与前几位数的差是7、11或13的倍数—

余数三大定理：

加法余数：两数和除以m的余数=两数分别除以m的余数之和再除以m的余数

乘法余数：两数积除以m的余数=两数分别除以m的余数之积再除以m的余数

同余定理：若a÷m余r，b÷m余r，则a≡b(modm)

约数个数定理：

设n=p₁ᵃ¹×p₂ᵃ²×…×pₖᵃᵏ，则n的约数个数=(a₁+1)(a₂+1)…(aₖ+1)

3.3真题分类练习

练习一（整除特征）

一个三位数是3的倍数，去掉它的个位数字后，所得的两位数是17的倍数。这个三位数最大是多少？

解析：

设三位数为abc（a为百位，b为十位，c为个位）。

去掉个位后所得两位数是ab，ab是17的倍数。

17的两位数倍数有：17,34,51,68,85。其中最大的是85。

所以ab=85，即a=8，b=5。

三位数为85c，它是3的倍数。

根据3的整除特征，各位数字之和8+5+c=13+c必须是3的倍数。

13+c能被3整除。逐一尝试c的值：

c=0：13+0=13，13÷3=4余1，不整除

c=1：14÷3=4余2，不整除

c=2：15÷3=5，整除

c=3：16÷3=5余1，不整除

c=4：17÷3=5余2，不整除

c=5：18÷3=6，整除

c=6：19÷3=6余1，不整除

c=7：20÷3=6余2，不整除

c=8：21÷3=7，整除

c=9：22÷3=7余1，不整除

满足条件的c值：2,5,8。要使三位数最大，取c=8。

验证：858，去掉个位是85，85÷17=5。858各位数字和=8+5+8=21，21÷3=7。

答案：858

练习二（余数定理）

号码分别为101，126，173，193的四个运动员进行乒乓球比赛，规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的

余数。那么打球盘数最多的运动员打了多少盘？

解析：

先计算每个号码除以3的余数：

101÷3=33余2→余数为2

126÷3=42余0→余数为0

173÷3=57余2→余数为2

193÷3=64余1→余数为1

两人号码和除以3的余数=(两人余数之和)÷3的余数。

逐对计算：

对阵组合余数之和除以3的余数

101(2)vs126(0)2+0=22

101(2)vs173(2)2+2=41

101(2)vs193(1)2+1=30

126(0)vs173(2)0+2=22

126(0)vs193(1)0+1=11

173(2)vs193(1)2+1=30

统计每个运动员的总盘数：

101号：2+1+0=3盘

126号：2+2+1=5盘

173号：1+2+0=3盘

193号：0+1+0=1盘

打球盘数最多的是126号，打了5盘。

答案：5盘

练习三（奇偶性分析）

有多少个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数？

解析：

四位数的各位数字都是奇数。

奇数数字有：1,3,5,7,9，共5个。

千位：不能为0，但奇数中没有0，所以千位有5种选择（1,3,5,7,9）。

百位：有5种选择。

十位：有5种选择。

个位：有5种选择。

根据乘法原理，总数=5×5×5×5=625个。

答案：625

第四章几何模块

4.1模块概述

几何模块占31个章节，难度定位为“中间盘”。核心内容包括平面直线型几何的五大模型（等积模型、鸟头模型、蝴蝶

模型、相似模型、燕尾模型）和立体几何的表面积与体积计算。

4.2核心公式速查

平面几何五大模型：

模型一：等积模型

等底等高的两个三角形面积相等

两个三角形高相等，面积比等于底之比

两个三角形底相等，面积比等于高之比

夹在一组平行线之间的等积变形

模型二：鸟头模型（共角模型）

共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比

S₁:S₂=(AB×AC):(AD×AE)

模型三：蝴蝶模型

任意四边形中，对角线分割的四个三角形：S₁×S₃=S₂×S₄

梯形中，S₁:S₂:S₃:S₄=a²b²:ab（a、b为上底和下底）

模型四：相似模型

相似三角形对应边成比例

面积比等于相似比的平方

金字塔模型和沙漏模型

模型五：燕尾模型

三角形ABC中，AD、BE、CF相交于同一点O，则S△ABO:S△ACO=BD:CD

周长与面积公式：

图形面积周长

长方形S=abC=2(a+b)

正方形S=a²C=4a

三角形S=½ahC=a+b+c

平行四边形S=ahC=2(a+b)

梯形S=½(a+b)hC=a+b+c+d

圆S=πr²C=2πr

4.3真题分类练习

练习一（一半模型）

长方形ABCD的面积为36，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，求阴影部分面积。

解析：

连接BH、HC。

根据一半模型：长方形内任意一点与四顶点连线，相对两个三角形面积之和等于长方形面积的一半。

点H在AD上，连接BH和HC后，三角形ABH和三角形HCD的面积之和等于长方形面积的一半。

因为E、F、G是中点，阴影部分是由中点连线构成的部分。

由一半模型，阴影部分面积=长方形面积的一半=36÷2=18。

答案：18

练习二（等积变形）

在平行四边形ABCD中，EF平行AC，连结BE、AE、CF、BF，则与△BEC面积相等的三角形一共有哪几个？

解析：

∵EF∥AC

∴△AEC和△AFC同底（AC）等高（因为EF∥AC，两平行线间距离处处相等），面积相等。

△BEC与△AEC：同底EC，且B和A到EC的距离相等（因为在平行四边形ABCD中，AB∥CD，所以B和A到CD的距离相

等，即到EC的距离相等），面积相等。

△BEC与△BFC：同底BC，且E和F到BC的距离相等，面积相等。

因此，与△BEC面积相等的三角形有：△AEC、△AFC、△BFC。

答案：△AEC、△AFC、△BFC

练习三（面积变化）

一个长方形，如果宽不变，长增加8米，面积增加72平方米；如果长不变，宽减少4米，面积减少48平方米。原长方形

的面积是多少？

解析：

第一种情况：宽不变，长增加8米，面积增加72平方米。

面积增加量=宽×长增加量

72=宽×8

宽=72÷8=9米

第二种情况：长不变，宽减少4米，面积减少48平方米。

面积减少量=长×宽减少量

48=长×4

长=48÷4=12米

原长方形面积=长×宽=12×9=108平方米。

答案：108平方米

第五章行程模块

5.1模块概述

行程问题是应用题模块中的重点和难点，核心数量关系为速度×时间=路程，涵盖相遇、追及、流水行船、火车过桥、

环形跑道等十余种子类型。

5.2核心公式速查

基本公式：路程=速度×时间

相遇问题（相向而行）：

相遇时间=总路程÷速度和

速度和=甲速+乙速

追及问题（同向而行）：

追及时间=路程差÷速度差

速度差=快者速度-慢者速度

流水行船：

顺水速度=船速+水速

逆水速度=船速-水速

船速=(顺水速度+逆水速度)÷2

水速=(顺水速度-逆水速度)÷2

环形跑道：

反向相遇：相遇时间=周长÷速度和

同向追及：追及时间=周长÷速度差

5.3真题分类练习

练习一（相遇问题）

华华和兰兰同时从甲、乙两地出发，相对走来，华华每分钟走60米，兰兰每分钟走50米，经过3分钟两人相遇，甲乙

两地相距多少米？

解析：

华华速度=60米/分钟，兰兰速度=50米/分钟。

速度和=60+50=110米/分钟。

相遇时间=3分钟。

根据相遇公式：总路程=速度和×相遇时间。

总路程=110×3=330米。

答案：330米

练习二（多次相遇）

甲、乙两地相距290千米，客车和货车分别从两地同时出发，相向而行，客车每小时45千米，货车每小时42千米，客

车到达乙地后立即返回甲地，货车到达甲地后立即返回乙地，几小时后两车在途中相遇？

解析：

两车到达对方出发点后返回，第二次相遇时，两车合走的路程是3个全程。

总路程=290×3=870千米。

速度和=45+42=87千米/小时。

相遇时间=总路程÷速度和=870÷87=10小时。

答案：10小时

练习三（环形追及）

甲、乙两人沿着400米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行，甲的速度是270米/分，乙的速度是230

米/分。经过多少分钟甲第一次追上乙？

解析：

甲追上乙时，甲比乙多跑了一圈，即路程差=400米。

速度差=270-230=40米/分。

追及时间=路程差÷速度差=400÷40=10分钟。

答案：10分钟

第六章应用题模块

6.1模块概述

应用题是小学奥数中最大的模块，约80个章节，是“最重要的基本盘”。涵盖和差问题、和倍问题、差倍问题、年龄问

题、植树问题、盈亏问题、鸡兔同笼、牛吃草问题、工程问题、浓度问题等。

6.2核心公式速查

题型核心公式关键思路

和差问题大数=(和+差)÷2，小数=(和-差)÷2画线段图

和倍问题小数=和÷(倍数+1)找1倍数

差倍问题小数=差÷(倍数-1)找差值对应的倍数

年龄问题年龄差不变转化为差倍问题

植树问题段数=总长÷间距区分两端植树/一端/两端不植

盈亏问题份数=(盈+亏)÷两次分配差两次分配对比

鸡兔同笼兔数=(总脚数-2×总头数)÷(4-2)假设法

工程问题工作效率=1÷工作时间设总工作量为单位1

浓度问题浓度=溶质÷溶液×100%溶质质量不变

牛吃草问题草生长速度=(多天总量-少天总量)÷(天数差)原有草量不变

6.3真题分类练习

练习一（和差问题）

小刚说：“我若给你两个，我们的玻璃弹球一样多。”小明说：“我若给你两个，你的弹球数量将是我的3倍。”小明和小

刚共有玻璃弹球多少个？

解析：

第一步：分析小刚的话。

小刚给小明2个后两人一样多，说明原来小明比小刚多4个（小明多得2个，小刚少2个，差距变化4个）。

第二步：分析小明的话。

小明给小刚2个后，小明少2个，小刚多2个，此时小明比小刚多：4-2-2=0？需要重新计算。

原来小明比小刚多4个。小明给小刚2个后：

小明变为：原小明-2

小刚变为：原小刚+2

此时小明比小刚多：(原小明-2)-(原小刚+2)=(原小明-原小刚)-4=4-4=0。

但题目说“你的弹球数量将是我的3倍”，即小刚是小明的3倍。

设小刚原来有x个，小明原来有x+4个。

小明给小刚2个后：

小刚有x+2个

小明有x+4-2=x+2个

此时小刚是小明的3倍：x+2=3(x+2)？这不对，因为此时两人数量相等。

重新理解题意：“我若给你两个，你的弹球数量将是我的3倍”——小明说“我若给你两个”，意思是小明给小刚2个。

小明给小刚2个后：

小明有：原小明-2

小刚有：原小刚+2

此时小刚的数量是小明的3倍。

设原来小明有M个，小刚有G个。

从小刚的话：G+2=M-2，即M=G+4。

从小明的话：G+2=3(M-2)。

代入M=G+4：

G+2=3(G+4-2)=3(G+2)=3G+6

G+2=3G+6

-2G=4

G=-2？

这出现了负数，说明理解有误。

重新理解小刚的话：“我若给你两个，我们的玻璃弹球一样多。”——小刚给小明2个。

小刚给小明2个后：

小刚有：G-2

小明有：M+2

一样多：G-2=M+2，即G=M+4。

所以小刚比小明多4个。

小明的话：“我若给你两个，你的弹球数量将是我的3倍。”——小明给小刚2个。

小明给小刚2个后：

小明有：M-2

小刚有：G+2

小刚是小明的3倍：G+2=3(M-2)。

代入G=M+4：

M+4+2=3(M-2)

M+6=3M-6

12=2M

M=6。

G=M+4=10。

总数=M+G=6+10=16个。

答案：16个

练习二（植树问题）

有一根长为180厘米的绳子，从一端开始每隔3厘米作一个记号，每隔4厘米也作一个记号，然后将标有记号的地方剪

断。问绳子共被剪成了多少段？

解析：

3厘米记号的位置：3,6,9,…,177。

数量=180÷3-1=60-1=59个（不包括端点180）。

4厘米记号的位置：4,8,12,…,176。

数量=180÷4-1=45-1=44个。

重合记号（既是3的倍数又是4的倍数，即12的倍数）：12,24,…,168。

数量=180÷12-1=15-1=14个。

总记号数=59+44-14=89个。

剪断后段数=记号数+1=89+1=90段。

验证：如果绳子长12厘米，3厘米记号在3,6,9（3个），4厘米记号在4,8（2个），重合在12（端点，不算）。总记号5

个，段数6段。公式：12÷3-1=3，12÷4-1=2，12÷12-1=0，总=3+2-0=5，段数=5+1=6。正确。

答案：90段

练习三（工程问题）

一项工程，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成。两人合作需要多少天完成？

解析：

设工程总量为1。

甲的工作效率=1÷10=1/10。

乙的工作效率=1÷15=1/15。

合作效率=1/10+1/15。

通分：1/10=3/30，1/15=2/30。

合作效率=3/30+2/30=5/30=1/6。

合作时间=1÷(1/6)=6天。

答案：6天

第七章计数模块

7.1模块概述

计数模块的核心是加法原理、乘法原理、排列组合和容斥原理，涵盖有序计数、加乘原理、容斥原理、标数法、排列

问题、组合问题、图形计数等专题。

7.2核心公式速查

加法原理：完成一件事有n类方法，第1类有m₁种方法，第2类有m₂种方法，…，则总方法数=m₁+m₂+…+mₙ。

乘法原理：完成一件事需要n个步骤，第1步有m₁种方法，第2步有m₂种方法，…，则总方法数=m₁×m₂×…×mₙ。

排列数：A(n,m)=n!/(n-m)!

组合数：C(n,m)=n!/[m!(n-m)!]

容斥原理：

两集合：|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|

三集合：|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|

7.3真题分类练习

练习一（容斥原理）

有一根长为180厘米的绳子，从一端开始每隔3厘米作一个记号，每隔4厘米也作一个记号，然后将标有记号的地方剪

断。问绳子共被剪成了多少段？

解析：见第六章练习二。本题同时是植树问题和容斥原理的应用。

答案：90段

练习二（排列组合）

四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法有多少种？

解析：

恰有一个空盒，意味着有一个盒子空着，另外三个盒子中有一个放2个球，另外两个各放1个球。

第一步：选出空盒。从4个盒子中选1个作为空盒，C(4,1)=4种。

第二步：选出放2个球的盒子。从剩下3个盒子中选1个，C(3,1)=3种。

第三步：从4个球中选2个放入该盒。C(4,2)=6种。

第四步：剩下2个球放入剩下2个盒子，每个盒子1个。有2!=2种放法。

总数=4×3×6×2=144种。

答案：144种

练习三（乘法原理）

由数字1、2、3组成五位数，要求这五位数中1、2、3至少各出现一次，那么这样的五位数共有多少个？

解析：

用排除法。

所有由1、2、3组成的五位数：每个位置有3种选择，总数=3⁵=243个。

不满足条件的（至少缺少一个数字）：

缺少1个数字（只由2种数字组成）：C(3,1)×2⁵=3×32=96个。

缺少2个数字（只由1种数字组成）：C(3,2)×1⁵=3×1=3个。

根据容斥原理，至少缺少一个数字的个数=96-3=93个。

满足条件的=243-93=150个。

答案：150个

第八章组合模块

8.1模块概述

组合模块是七大模块中难度次高的模块，主要涉及抽屉原理、最值问题、逻辑推理、统筹规划、构造论证等。对抽象

思维和逻辑推理能力要求较高。

8.2核心公式速查

抽屉原理：

第一抽屉原理：把n+1个物体放入n个抽屉，至少有一个抽屉有2个或以上物体。

第二抽屉原理：把mn+1个物体放入n个抽屉，至少有一个抽屉有m+1个物体。

最不利原则：考虑最坏情况，保证结果发生。

最值问题：

和一定求积最大：两数越接近，积越大。

积一定求和最小：两数越接近，和越小。

8.3真题分类练习

练习一（抽屉原理）

在11名学生中，有正、副班长各一名，现选派3人分别参加铅球、跳远、长跑比赛，如果正、副班长至少有一人在内，

则有多少种不同的选法？

解析：

分两种情况讨论。

情况一：正副班长2人都在内。

从剩下9人中选1人，有9种选法。

3人分配3个项目，有3!=6种分配方式。

共9×6=54种。

情况二：正副班长中恰好1人在内。

选1人当班长，有2种选法。

从剩下9人中选2人，C(9,2)=36种。

3人分配3个项目，有3!=6种分配方式。

共2×36×6=432种。

总数=54+432=486种。

答案：486种

练习二（最不利原则）

兔妈妈摘了15个蘑菇，分装在3个筐子里，如果不允许有空筐，共有多少种不同的装法？

解析：

15个蘑菇分到3个筐，每筐至少1个。

先每筐放1个，共放3个，剩余12个。

将12个蘑菇分到3个筐，允许某筐为0。

使用隔板法：在12个蘑菇之间的11个空隙中插入2个隔板，将12个蘑菇分成3份。

C(11,2)=11×10÷2=55种。

答案：55种

练习三（构造论证）

由数字0，2，4，7组成6位数，要求每个数字都要用到，允许重复使用，那么能组成多少个不同的六位数？

解析：

0,2,4,7四个数字都要用到，组成6位数，说明有两个数字各多用一次。

总共使用6个数字：0,2,4,7各至少1次，另外2个位置由某个数字重复。

分类讨论重复的数字：

情况一：重复0。数字为0,0,2,4,7。

6个数字排列：6!÷2!=360种（0重复，除以2!）。

千位不能为0。0在千位的情况：固定千位为0，剩下5个位置排列0,2,4,7（其中还有一个0），排列数=5!÷2!=60种。

有效排列=360-60=300种。

情况二：重复2。数字为0,2,2,4,7。

6个数字排列：6!÷2!=360种。

千位不能为0。0在千位的情况：固定千位为0，剩下5个位置排列2,2,4,7，排列数=5!÷2!=60种。

有效排列=360-60=300种。

情况三：重复4。同情况二，300种。

情况四：重复7。同情况二，300种。

总数=300×4=1200个。

答案：1200个

附录：七大模块核心公式速查总表